北邮2015电磁场与电磁波期末试题,感谢电子院17级fx学长

北京邮电大学2014—2015学年第 2 学期

《电磁场与电磁波》期末考试试题（A 卷）

一、 （10分，每空1分） 填空题

1. 设J 为电流密度矢量，则(',',')x y z ??=J 。

2. 描述了电磁场的变化规律，以及场与源的关系。

3. 根据麦克斯韦方程组，时变电场 旋 散，电场线可以闭合，也可以不闭合；时变磁场 旋 散，磁感线总是闭合的。（注：可选择填写“有”或者“无”）

4. 分离变量法可应用于直角坐标、圆柱坐标、球坐标等坐标系下。同一个问题，在不同的坐标系里求解会导致一般解的形式不同，但其解是 。

5. 在相对介电常数为4，相对磁导率为1的理想介质中，电磁波的波阻抗为 。

6. 平面波()()

sin 2cos z m y m E t kx E t kx ωω=-+-E e e v v v

的传播方向为：

；其极化形式为： 。

答案：

1. 0；

2. 麦克斯韦方程组；

3. 有，有，有，无；

4. 唯一的；

5. 60π 377/2Ω或者

6. x 方向传播，右旋椭圆极化波；

二、（14分）如图1所示，一半径为R 的导体球上带有电量为Q 的电荷，在距离球心D （D > R ）处有一点电荷q ，求：

（1）导体球外空间的电位分布； （2）导体球对点电荷q 的力。

q

(,)

p r θ

A

图1 题二图

解：（1）导体电位不为零，球外任一点P （到球心O 距离为r ）的电位?可分解为一个电位为V 的导体产生的电位?1，以及电位为零的导体的感应电荷q ′与点电荷q 共同产生的电位?2。? = ?1＋?2。q ′与可用镜像电荷代替，电位?1由放在球心的-q ′与Q 产生。

利用球面镜像得

2

',R R q q d D D

=-=…………………………3分

1200102

00102

,4π4π4π4π4π4πQ q q q r r r Q q q q r r r ??εεε?εεε''-==+

''-=++

……………………5分

因此，导体球外任一点的电位为

42

221/2

2

1/2

021(4π(2cos )(2cos )DQ Rq qR

q

R R Dr

r D rD D r r D D

?εθθ+=

-+

+-+-

…………………………8分

导体球的电位为

004πDQ Rq

RD

?ε+=

……… …………………10分

（2）点电荷q 所受到的力为'Q q -和'q 对点电荷q 的力，即

''322222222

00(2)

[][]4π()4π()Q q q q q R q R D f Q D D d D D D R εε--=+=+--

…………………………14分

三、（14分）相对磁导率为r 1μ=的理想介质中传播电场瞬时值为

:8(,)30)cos[3π10π()]x z r t t x =+?-E e V/m 。试求：

（1）该波的波长；

（2）理想介质的相对介电常数； （3）该波的坡印亭矢量平均值。

解：（1）由题意知，8=3π10ω?，8=1.510f ? 因为

=π()k e e k x z k =，=2πk ，故波长为

2π

1k

λ=

=m …………………………3分 （2）因为22k ωμε=，因此

8

8

2π310/(23π10

k ??===? 故介质的相对介电常数：r ε＝4。…………………………6分

（3）根据复数形式的麦克斯韦第二方程得

-j π()

001e j j 0

e e e E H =e x

y z

x y x

z

x

y z E E ωμωμ???

??

=

=

---??? A/m

…………………………10分

因此，坡印亭矢量平均值为

*-j π()

jπ()

av 11

Re Re[30)e (e )]

2215π()

E H e e e x x x z y x z S ??=?=+?-????= W/m 2

…………………………14分

四、（10分）设理想介质中平面电磁波的形式为0cos()x E t kz ω=-E e 。证明其平均电能密度和平均磁能密度相等。

答：平均电能密度：

2222

2

0011111

()()44444

x y y

e m E w E E H

H w μεεεηεμηε

=====

=。

得证。…………………………10分

五、（14分）已知导电媒质中，衰减常数和相移常数，以及损耗角正切的表

达式为：α=

，β=，tan σ

δωε=

。设工作在频率810Hz 下的半径为2mm 的金属圆导线（相对磁导率和相对介电常数都等于1），如果其电导率为710S/m σ=，试：（1）计算其表面电阻率和单位长度的交流、直流电阻；（2）从原理上对比、分析单位长度的交流与直流电阻的不同。

解：（1）对工作在频率810Hz 下的金属圆导线而言，其损耗角正切为

7

8-9

1011102π1036σωεπ

=>>???…………………………3分 显然，该金属属于良导体。因此，其表面电阻率为

3

s 2π10R -=

=?Ω…………………………6分

另外，该金属的趋肤深度为

1

2mm δα

=

=

<<…………………………8分 因此，对于圆导线而言，其单位长度的交流电阻为

3

ac s 3

12π100.52π2π210R R a --?===Ω??…………………………9分

最后，该导线单位长度的直流电阻为

dc 73211110π(210)40π

R S σ-=

==Ω???…………………………10分

（2）表面电阻率（交流电阻率）相当于厚度为c δ、电导率为σ的导体的单位长度的直流电阻。和直流电阻情况下电流均匀分布在导体截面上不同，趋肤效应影响下的电流会集中分布在靠近良导体表面的有限区域内，因此其表面电阻（交流电阻）通常都会大于其直流电阻。…………………………14分

六、（14分）一圆极化平面电磁波由空气（x < 0）垂直投射到x=0的理想导体表面上，已知入射电场为：j 0(j )e x y z E β-+E =e e

试求空气中的电场，并讨论总场的性质、入射波和反射波的极化类型。 解：由于电磁波由空气垂直投射到理想导体表面上反射系数为-1，反射波沿-x 轴传播，因此，反射电场为：

j (j )e x r y z β=-+E e e ………… ………………4分

故总场为

-j j 1(j )e (j )e (22j )sin x x y z y z z y x βββ=+-+=-E e e e e e e …………………8分

入射波为左旋圆极化波，反射波为右旋圆极化波；总场为驻波，没有能量的传输。 …………………………14分

七、（12分）矩形波导尺寸为30mm ×15mm ，中间为空气，求单模传输的频率范围。

解：单模传输时，波长和波导尺寸的关系为

，

…………………………5分

由此得

，

…………………………10分

故单模传输的频率范围为

。…………………………12分

八、（12分）已知空气中电偶极子的辐射场如下所示，求其远区场的表达式，并

讨论远区场的性质。

()()()()3j 2303j 2302cos 1j e 4πsin j 1j e 4π0kr r kr Ilk E kr kr Ilk E kr kr kr E θφθωεθωε--????=-????????????

=+-????????

?

=????

答：远区场的条件：r ?

λ，即1kr ?，故

()

()

2

3

1

1

1

kr

kr kr ??

……………………3分

2j j j 00sin sin sin j e j ()e j e

4π2λ2λkr kr kr Il Ilk Il k

E r r r

θηθθθωεωε---=?=?=?j j sin sin j

e j e 4π2λkr kr Ilk Il H r r

φθθ--=?=? 其他场分量为零。 …………………………9分

远区场是横电磁波（TEM 波），

0120πE H θ

φ

η==Ω；远区场的幅度与源的距离r 成反比；远区场是辐射场；远区场是非均匀球面波；远区场分布有方向性。

（注：在性质中答对以上几点中的3点即为正确）

…………………………12分