勾股定理单元检测试题

勾股定理单元检测试题

邮编：518052 地址：深圳市南山区常兴南路荔香中学数学组 作者：钟国雄（中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师）

一、选择题（每题3分,共18分）

1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）

（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6 解：因为222345+=，故选（C ）

2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）

（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60

解：由勾股定理知，

5=，所以这个直角三角形的

面积为1

125302

??=.

3．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米

解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ?中,由勾股定理,得

2

7 2.4

A C =

= 由12.4,0.4AC AA ==,

得1

1 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ?中, 由勾股定理,得

21 1.5B C =

= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=

故选(C)

4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）

（A ）132 （B ）121 （C ）120 （D ）以上答案都不对 解：设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >.

由勾股定理,得22211x y =+.

图1

因为,x y 都是自然数，则有()()1211211x y x y +-==?. 所以121,1x y x y +=-=.

因此直角三角形的周长为121+11=132. 故选（A ）

5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）

（A

）2d （B

d （C

）2d （D

）d 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12

S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.

所以()2

22222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.

所以a b +=所以a b c ++

=2d . 故选（C ）

6. 直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )

（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()2

2

2a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.

即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .

因为只有81是3的倍数. 故选（C ） 二、填空题（每题3分,共24分）

7. 如图2，以三角形ABC ?的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____. 解:根据题意，有123S S S +=，即

222

111222222a b c πππ??????

+= ? ? ???????.

整理,得222a b c +=.

图2

故此三角形为直角三角形.

8. 在Rt ABC ?中,3,5a c ==,则边b 的长为______.

解：本题在Rt ABC ?中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：

当C ∠为直角时,c 为斜边，由勾股定理,得222a b c +=， ∴

4b =；

当C ∠不为直角时, c 是直角边，b 为斜边，由勾股定理，得222a c b +=， ∴

b === 因此,本题答案为4

9. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.

解：由勾股定理，知最短距离为

10BD ===.

10. 如图4，已知ABC ?中，90ACB ∠=?，以ABC ?的各边为边在ABC ?外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则

3_____.

S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =．

11．如图5,已知，Rt ABC ?中，90ACB ∠=

?，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,AD BE ==，则斜边AB 之长为______.

解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已

知，

5,A D B E ==

所以2

2

2

240,25.22y x x y ????

+=+= ? ?????

两式相加，

得

()2

25654

x y +

=

，所以AB ===

图 5

图4

图3

12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ?折叠，

使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF ?的面积为230cm ,那么折叠AED ?的面积为_____. 解:由折叠的对称性,得,AD AF DE DF ==.

由1

30,52

ABF S BF AB AB ?=

?==,得12BF =. 在Rt ABF ?中,由勾股定理,

得13AF =

=.所以13AD =.

设DE x =,则5,,1EC x EF x FC =-==.

在Rt ECF ?中,222EC FC EF +=,即()2

2251x x -+=.解得135

x =. 故()21113

1316.9225

ADE S AD DE cm ?=

?=??=. 13.如图7，已知：ABC ?中，2BC =， 这边上的中线长1AD =，

1AB AC +=则AB AC ?为_____.

解:因为AD 为中线，所以1BD DC AD ===,于是1,2C B ∠=∠∠=∠.

但12180C B ∠+∠+∠+∠=?,故()212180,1290∠+∠=?∠+∠=?,即90BAC ∠=?.

又

1AB AC +=+,两边平方,

得

2224AB AC AB AC ++?=+而由勾股定理,得224AB AC +=. 所以24AB AC ?=.故2AB AC ?=.

即2AB AC ?=.

14．在ABC ?中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,

P P P ,

记()2

1

,2,2006i i i i m AP BP PC i =+?=,则122006m m m ++

=_____.

解:如图8,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以

()()2222

AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC -=-=-+=?.

所以2221AP BP PC AB +?==.

图8

图7

图6

因此2122006120062006m m m ++

=?=.

三、解答题（每题10分,共40分）

15．如图9，一块长方体砖宽5AN cm =，长10ND cm ==，CD 上的点B 距地面的高8BD cm =，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？

【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结AB ，则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．

在Rt ABD ?中，因为51015AD AN ND =+=+=，8BD =，

所以22222215828917AB AD BD =+=+==． 所以()17AB cm =．

因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．

16．如图11所示的一块地，90ADC ∠=?，12AD m =，9CD m =，39AB m =，36BC m =，求这块地的面积S ．

解：连结AC ，在Rt ACD ?中，由勾股定理，得

222AC AD DC =+，即222129AC =+，所以15AC =．

在ABC ?中，由22222153639AC BC +=+=，即222AC BC AB +=． 所以ABC ?为直角三角形，90ACB ∠=?．

所以()211

153612921622ABC ADC S S S m ??=-=??-??=．

所以这块地的面积为2216m ．

17．如图12所示，在Rt ABC

? 图9 图

图11

中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =,

4CE =,求DE 的长

.

图12答图13

解:如图13,因为ABC ?为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=?. 所以把AEC ?绕点A 旋转到AFB ?,则AFB AEC ???. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=?.连结DF . 所以DBF ?为直角三角形.

由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =. 因为45,DAE ∠=?所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=?. 所以()ADE ADF SAS ???. 所以5DE DF ==.

18．ABC ?中，,,BC a AC b AB c ===，若90C ∠=?，如图14，根据勾股定理，则222c b a =+，若ABC ?不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，

试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论。 解：若ABC ?是锐角三角形，则有222.a b c +>

若ABC ?是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222.a b c +< 当ABC ?是锐角三角形时，如图17,

图14 图15 图16

证明：过点A 作AD CB ⊥，垂足为.D 设CD 为x ，则有DB a x =-，

根据勾股定理，得 ()2

222.b x c a x -=-- 即 222222.b x c a ax x -=-+- ∴ 2222.a b c ax +=+

∵ 0,0a x >>， ∴ 20.ax > ∴ 222.a b c +>

当ABC ?是钝角三角形时，图18,

证明：过点B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于点.D

设CD 为x ，则有222.DB a x =-

根据勾股定理，得 ()2

222.b x a x c ++-= 即 222222.b bx x a x c +++-= ∴ 2222.a b bx c ++=

∵ 0,0b x >>，∴ 20.bx > ∴ 222.a b c +<

图17

图18