水文频率分析方法

水文频率分析方法hydrologic frequency analysis（讲座）

（一、问题；二、原理；三、步骤；四、应用；五、讨论）

一、问题

高等学校的“培养人才、发展科学、服务社会”的功能。其中的培养人才的功能：把所学课程的知识逐步

遗忘，最后未被遗忘的知识，对最后未被遗忘的知识的认识、运用和创新。“水文频率分析方法”，就是我认为

的《水文学》课程中这种很可能最后未被遗忘的知识。

各门自然科学是人类对大自然各种现象（“文”）的系统知识，大自然各种现象之间本身具有普遍的联系。

若各门自然科学的各个知识点看作水分子，则这些知识点象水文循环一样，也在各门自然科学之间运动、更新，

把各门自然科学联结成一个整体上的科学。20世纪30年代普郎克：“科学是内在的整体，实际上存在着从物理

到化学，通过生物学和人类学到社会学的连续链条，这是任何一处都不能打断的链条。目前整体上的科学，被

分解为各门科学，不是取决于自然现象本身，而是取决于人类认识能力的局限性、阶段性。”

[工程水文学主要包括水文计算、水文预报和水利计算三个组成部分。水文计算主要运用概率论和数理统计

的原理和方法，对未来长期的水文情势作出概率预估，为各类水利工程的规划和设计提供设计暴雨、设计洪水

设计年径流及其他有关水文数据。

水文预报是根据流域暴雨洪水形成理论和河道洪水波传播的规律，为各类防洪工程发布洪水预报；同时，也根

据水体热量平衡原理，对山区融雪径流，河流、水库、湖泊冰情作出预报；根据土壤中水分的补给、运动和消

退规律，为农业提供土壤水分的预报；根据河道退水规律，为航运和引水工程等作出枯季径流及其水位预报。

水利计算是研究水资源综合利用中的规划和经济效益论证，管理运用中的优化调度和对环境影响评价的理

论、原则和计算方法，特别是水资源开发利用中系统分析的理论和方法。]

已学教学内容的总结

研究对象：文—自然现象—水文现象（水文循环过程中的降水、蒸发、入渗、径流自然现象，活跃在地面

以上平均约11公里的大气对流层顶至地面以下1～2公里深处的广大空间；全球每年约有577000立方公里的水

参加水文循环，水文循环的内因，是水在自然条件下能进行液态、气态和固态三相转换的物理特性，而推动如

此巨大水文循环系统的能量，是太阳的辐射能和水在地球引力场所具有的势能）—水文随机现象。

研究方法：水文随机现象—水文随机变量—水文随机变量的概率分布（确定一个普通变量，只要指明该变量取

何值即可；确定一个随机变量，必须同时指明该随机变量取何值以及取该值的概率）—水文随机变量的各种统

计特征。

研究问题：计算径流（设计年径流及设计年径流的年内分配过程）；

设计枯水（设计流量历史曲线，设计枯水流量）；

设计洪水（设计洪峰流量，设计洪水过程线）。

[总结为同一类问题—水文统计的基本问题]：建设各类水利水电、土木建筑等工程，需要为其提供一定设

计频率p的水文设计值x p，p=P(X≥x p)，例如：95%的设计年径流量y95%，1%的设计年最大洪峰流量Q m,95%。

思路：水文随机变量的概率分布 水文随机变量的各种统计特征，引出2个问题：

1）概率分布的模型结构形式如何确定？

2）概率分布模型结构中的参数如何确定？

已学教学内容的总结

研究对象：文—自然现象—水文现象（水文循环过程中的降水、蒸发、入渗、径流自然现象，活跃在地面以上平均约11公里的大气对流层顶至地面以下1～2公里深处的广大空间；全球每年约有577000立方公里的水参加水文循环，水文循环的内因，是水在自然条件下能进行液态、气态和固态三相转换的物理特性，而推动如此巨大水文循环系统的能量，是太阳的辐射能和水在地球引力场所具有的势能）—水文随机现象。

研究方法：水文随机现象—水文随机变量—水文随机变量的概率分布（确定一个普通变量只要指明该变量取何值即可；确定一个随机变量，必须同时指明该随机变量取何值以及取该值的概率）—水文随机变量的各种统计特征。

研究问题：计算径流（设计年径流及设计年径流的年内分配过程）；

[水文循环是自然界最重要的物质循环，它成云致雨，影响着一个地区的气候和生态，塑造地貌和实现地球化学物质的迁移，像链条一样连结着全球的生命，为人类提供不断再生的淡水资源和水能资源。水文循环使我们生活的星球变得生机勃勃。倘若没有水和水文循环，我们的星球会像月球一样，是一幅没有生命，寂静荒漠的图景。]

[水文频率分析方法的定义]：根据某水文现象的统计特性，利用现有水文资料，分析水文变量设计值与出现频率（或重现期）之间的定量关系。[目前常用的方法就是通过反复调整具有一定广泛适用性的皮尔逊III型

频率曲线的三个统计参数x、v C和s C，从中确定与经验累积频率曲线吻合较好的理论频率曲线，此时的三个统计参数值作为最终参数估计值，并根据这些参数值和设计频率标准P推求水文随机变量的设计值。]

二、原理

1 确定概率分布的模型结构形式。

试验：人们对某类自然现象进行观测、调查或实验等活动。

随机事件：在一定条件下所有可能发生、也可能不发生的试验结果。要完全描述一个随机事件，必须既要描述该事件所取的具体试验结果，又要描述这些结果发生的可能性。

随机变量：随机事件各次试验结果的实数值变量。

随机变量的总体：随机变量可以取的所有试验结果实数值的全体。

水文现象一般都是随机现象；人们对其进行观测、调查或实验等活动所得的结果就是水文随机事件（例如第三章中的各种水文信息的采集过程：主要通过沿河布设水文站网，长期观测水文要素；水文调查，了解流域自然地理条件、历史洪水、枯水情况和人类活动；室内和野外实验，特别是对实验流域和代表性流域上的水文要素进行观测；成因分析；数理统计分析；地理综合法等方式、方法获取水文信息），可以用水文随机变量表示，应用数理统计学的理论和方法研究水文随机现象。

[历史：约于1880～1890年，美国的Herschel和Rafter首先应用了频率曲线(当时称为历时曲线)。1896年，Horton把频率分析法用于径流研究中，多为正态分布的应用，把概率论和数理统计的理论、方法引入了水文学。1914年Hazen第一次用正态机率格纸选配频率曲线；1924年Foster完整地提出了P-III型频率曲线的分析方法，制成了离均系数Φ值表，给频率计算带来了方便，并得到广泛应用。这些贡献使水文变量与它们出现的概率联系起来，为制定工程设计标准和推求指定设计标准下的水文变量奠定了基础。水文频率分析法及其应用已有百年左右的研究历史。我国自20世纪50年代开始，在水文频率分析工作中，吸取各国经验但不宥于这些经验，参照国外有关规范但不死搬这些规范，创造性地做了大量分析研究，不仅在理论探讨上、处理方法上、同实际资料的拟合验证上以及对成果的合理性分析上都做出了出色的贡献，形成了一套符合中国实情的、能基本上解决实际问题的理论和方法。]

设X为一随机变量，x为任意实数，则P(X≥x)表示“随机变量X≥x”这一随机事件出现的概率。当x取不同值时，(X≥x)代表不同的随机事件，因而相应的概率P(X≥x)也不同。因此概率P(X≥x)是随x的改变而变化的一个普通实数值函数，若记该函数为

F(x)=P(X≥x) (3-7) 则F(x)称为随机变量X的概率分布函数，它表示随机变量X落在区间[x， ]上的概率。在水文学中，概率分布函数又称为频率曲线。

独立随机变量X的各种统计特征，都可以从它的概率分布函数F(x)= P(X≥x)中获得，概率分布函数完整地

描述了随机变量的统计规律性。

[频率曲线实际上是一种样本系列分布统计规律表达形式的模型，是一种外延或内插的频率分析工具。]

水文随机现象、水文随机事件、水文随机变量、水文随机变量的总体、水文随机变量的概率分布；都是对

同一研究对象（水文现象）的不同表达形式，实质上它们之间是相互等价的。

用水文随机变量X 的样本系列{n

x x x ,...,,21}，估计X 的概率分布函数（频率曲线）。

水文随机变量的概率分布函数，一般取皮尔逊三（P-III ）型分布曲线，它的分布密度曲线为（当然也可

以考虑用多项式拟合经验频率点数据，但物理解释缺乏）

10)()()()(0

----Γ=αβααβa x e x f a x 其中：

???????????==???? ??-==Γ?∞--s v s s v x C C x C C C x a dx e x 2421)(200

1βααα P-III 型分布曲线是（负）指数函数

A x e A

/1-和幂函数B Ax （取对数就成为直线关系，P.202-3）的耦合形式。 概率分布函数的统计物理解释：只要存在随机性，信息熵最大的概率分布函数就是稳定的、最可能发生、

最常见的概率分布函数，这就是最大信息熵原理。P-III 型分布曲线这种耦合分布形式，实质上假定了水文随机

变量X -a 0的算术平均值∑--))((0

0a x a x p i i （气候条件整体不变）和几何平均值)(00)(a x p i i a x --∏（X 的相对变化量的算术平均值为常数）为常数：

101

00))(()(C a x a x X P a X E i n i i =--==-∑=，

21

000)ln()()ln(C a x a x X P a X E n

i i i =--==-∑=

（负）指数函数分布反映了变量的总和守衡的各种最随机现象（变量值取越小的概率越大，当地气候条件

在一定时期内不变化），例如：全球大气的风速，日降水量，无雨期长度，一场降雨过程的总降雨量在流域上

的空间分布，区域总收入在区域人口中的分配（需要增加适当的社会新约束条件，提高社会公平的程度），气

体分子的能量分布（麦克斯韦—玻尔兹曼分布）。 水文随机现象?水文随机事件?水文随机变量?水文随机变量的总体?水文随机变量的概率分布?水文随机变量的各种统计特征

幂函数分布反映了统计相似的各种最随机现象（X 的相对变化量的总和守衡：分形（B. B. Mandebort ）；例

如径流过程和洪水过程的分配形式具有一定的稳定性，因此可以用代表年法和典型年法推求设计径流过程和设

计洪水过程），例如：Horton 河流地貌律，月球上不同直径x 的陨石坑的出现概率f (x )。

由于P-III 型分布曲线既可以描述服从负指数函数分布的自然现象，又可以描述服从幂函数分布的自然现

象，目前我国水文设计规范规定，水文随机变量的概率分布函数，一般取P-III 型分布曲线。国内外大量水文

设计实践也表明该分布符合实际。这说明，除了算术平均值守衡和几何平均值守衡以外，再也没有其它的力量

约束着水文随机变量。

[问题：大自然的各种随机现象，其演化机制，很可能就是这些现象所隐含的不同的守衡形式。例如，质量

守衡机制，能量守衡机制，质量-能量守衡机制E =mc 2；信息守衡机制；质量-能量-信息守衡机制?；…]

2 确定P-III 型分布曲线的参数。

?∞

----Γ=≥P x a x P dx a x e x X P 10)()()()(0

αβααβ ),(p C C x x x s v P φ+= P.183 式（7-29）

式中：φ——水文随机变量的离均系数，v

P v P C K C x x x 1-=-=φ，它也是频率P 和偏态系数s C 的函数，),(s C P f =φ；为了便于实际应用，已经预先制成了离均系数φ值表。根据水文随机变量已知的三个统计参数x ，v C 和s C ，就可利用式(3-19)计算对应于任一频率P 的皮尔逊I I I

型频率曲线的纵

坐标x p ，从而可以绘制皮尔逊I I I 型频率曲线。 [水文频率分析方法]，就是通过反复调整皮尔逊III 型频率曲线的三个统计参数x 、v C 和s C ，从中确

定与经验累积频率曲线吻合较好的理论频率曲线，此时的三个统计参数值作为最终参数估计值，并根据这些参

数值和设计频率标准P 推求水文随机变量的设计值。适线法的计算准则是经验累积频率曲线，而后者是由水文

随机变量X 的样本系列确定的。其中方法原理归纳为：

三、步骤 1 [选样]建立水文随机变量X 的样本系列{n x x x ,...,,21}。例如，水利年度的年径流量样本系列，

年最枯3月的径流量样本系列；年最大洪峰流量样本系列。

2 [审查]和插补样本系列。

①可靠性审查可以确保样本系列的客观性和准确性。

②一致性审查要求资料系列的类型应相同、产生资料系列的气候条件和下垫面条件应相同，以保证样本系

列是来自同一分布总体。还原计算、还现计算。[调查流域内影响水文情势的人类活动情况，海河/黑河流域下

游径流断流]

③代表性审查就是检查样本的分布参数与总体的分布参数的接近程度，也就是的样本的抽样误差的大小。

由于水文随机变量的总体分布参数是未知的，一般通过与本资料系列有物理联系的更长系列资料的分布参数的

变化情况论证检验本资料系列的一致性，也可以从本资料系列的丰平枯变化情况、样本容量的大小等方面，来

论证本资料系列的一致性。若资料系列较短，应该通过相关分析方法进行插补延长。

④样本系列的独立性是水文频率分析方法的适用条件。水文统计中认为水文随机变量是纯粹的随机变量，

因此用于水文频率计算的水文资料系列应具有独立性。例如，某断面的日流量资料系列一般具有明显的自相关

性，彼此不独立，因此不能用于水文频率计算。一般一年中只选取一个最大或最小流量或水位组成的系列，其

独立性比较好，而一年中取多个值组成的系列，其独立性比较差。

水文频率分析方法原理

①X 的样本系列{n x x x ,...,,21}?统计参数x ，v C 和s C ?皮尔逊I I I 型频率曲线； ②独立随机变量X 的各种统计特征，都可以从它的概率分布函数F (x )= P(X ≥x )中获

得，概率分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

3 用[经验频率公式]绘制经验频率曲线。把系列

n x x x ,...,,21按照从大到小顺序对系列排序，计算

对应于x m 的经验频率 P (X ≥x m )=p m =m /(n +1) （m =1，…，n ）[数学期望公式]

在频率格线上绘制经验频率点据（p m ，x m ）。

4 试错适线（目估适线法），确定[统计参数]。一般选用P-III 型频率曲线作为理论水文频率曲线[频率曲线线型]。假定一组参数s v C C x 和,，用式

),(j s v Pj P C C x x x φ+=

式中：P j 为给定的几个频率值，一般取P.316的0.001，0.01，0.1，0.2，0.33，0.5，1，2，5，10，20，50，75，90，95和99（%）等26个频率值或其中的部分值；x 为均值，矩法的抽样误差不大，一般取矩法或三点法

的估计值作为第一次假定值；

v C 为离差系数，矩法的抽样误差也不大，一般取矩法或三点法的估计值作为第一次假定值；s C 为偏态系数，因矩法或三点法的估计值的抽样误差大，一般假定取v C 的某一倍数v k sk C n C =。

),(j sk v p P C C x x x kj φ+=

由点据),(kj p j x P 可得到理论水文频率曲线，比较理论频率点据),(kj p j x P 与经验频率点据

),(m m x P 的配合情况，若不理想，则修改参数s v C C x 和,（主要是调整s C ，有时也可调整v C 和x ；具体修改方法按照P.191-2中的图7-8~7-10）再次计算理论水文频率曲线、并与经验频率点据比较。实际上上述试错适线过程就是解一个以s

v C C x 和,（频率曲线）为优化变量的优化问题： 21

),,(min ∑=-=n m m

p s v x x C C x Q m ，其中),(m s v Pm P C C x x x φ+= [以上为建立模型过程

),(P C C x x x s v P φ+=，以下为应用模型过程；样本系列{n x x x ,...,,21}为建模样本，建模方法是试错优化方法，计算设计值是应用模型过程]

5 计算水文随机变量设计值x p 。最后根据理论水文频率曲线与经验频率点据的配合情况，从中选择一

条与经验频率点据配合满意的曲线作为采用曲线，该曲线的参数s v C C x 和,作为水文随机变量X 的总体

参数的估计值。求指定设计频率P 的水文随机变量设计值),(P C C x x x s v P φ+=，以及x P 的[抽

样误差]为),(p C B n s x P σσ=，以P

x P x ασ±作为设计结果值，其中α为安全系数。 [增加安全系数法，实际上是用频率分析法对水文系列进行外延的问题，

}

~1]m ax ,[m in n i p p p i i =?，实测点。现在，通用以一定数学模型(如P-III 型频

率分布曲线)作为外延的工具。外延有误差，其与外延的远近成正比。同时，加上其他误差(如水文测验、方法性和系列代表性等误差)的交织与干扰，使外延误差复杂化。为减少这类误差，积累了许多经验，如详细审查资料、设法展延系列、增加历史洪水和对频率计算结果进行合理性分析等。这些都是为提供可靠设计值的有效措施。]

6 设计成果的合理性分析。单站、单点的计算结果，仅是个初值，必须通过合理性分析。

对频率计算成果xp ，尽可能采用多种方法、综合分析、合理选定的原则，以提高成果的客观性和精度。时间上（长、短时段）的平衡与协调，空间上（相似地区）的平衡与协调，集思广益（经过多次讨论、协调）定出最终取用结果—建议建立专家系统。

以上水文频率分析方法的计算步骤参见下图。

不满意

111,,),1(s v m m C C x x n m P 假定参数计算经验频率点据+= 收集、审查资料系列n x x x ,...,,21

计算理论频率曲线： P i ，

),(111i s v P P C C x x x i φ+= 理论频率曲线与经验调整参数

满意

在上述适线法确定总统参数估计值x ，v C 和s C 中，通常认为，适线过程大多试算s C 值。s C 的初始值根据水文设计变量的不同，在中国如下经验关系在实际应用时供参考：（统计参数的水文变量和地区分布的物理解释（桥涵水文））

设计暴雨量：v s C C 53?=[1954年淮河流域特大洪水中首次发现，经过以后几十年的实践，表明暴雨

系列CS=3.5CV 在我国有普遍的意义] 设计最大流量： 50?

50?>v C 时，v s C C )3~2(=

年径流量研究不足地区：v s C C 2=

年降水量研究不足地区：

v s C C 2= 需要指出的是，适线法得到的设计成果仍存在误差，这种误差目前尚难以精确估算，因此对于工程上最终采用的频率曲线及其相应的统计参数，不仅要从水文统计方面分析计算，而且还要密切结合水文现象的物理成因规律及地区分布规律进行综合分析论证。

四、应用

1 设计径流的计算。再利用代表年的各月径流量占年径流量的比例系数，即可以计算设计年径流的年内分配形式（设计来水过程）。通过设计来水过程与设计条件下的用水过程的水量平衡计算，就可以得到设计兴利库容。（水文计算是指水资源开发利用之前（天然），水文现象的统计特征的分析计算过程；水利计算是指水资源保护开发利用中与水文现象有关的水资源利用指标的计算过程。）[问题：不同设计标准的径流的年际变化过程]

2 设计枯水的计算。最枯3月径流量的样本系列的建立。

3 设计洪水（年最大洪峰流量/时段洪量）的计算。再利用典型洪水过程的最大洪峰流量和各时段洪量，与设计年最大洪峰流量和设计时段洪量之间的比例关系，对典型洪水过程进行缩放，即可以计算设计洪水过程。通过设计洪水过程与设计条件下的水库下泄流量过程的水量平衡计算，就可以得到设计防洪库容。历史洪水(包括古洪水)的应用。

4 设计水质的计算。如何建立水质变量X 的样本系列{n x x x ,...,,21}，如何审查和插补样本系列？

[例如：目前：设计径流的计算，设计枯水的计算，设计洪水的计算；将来：？设计水质的计算（利用王浩院士的天然的“坡面—河道”主水循环过程与“供—用—耗—排”人工侧支水循环过程相耦合的二元演化系统理论）]

五、讨论

1 水文频率分析方法的适用条件分析。

1.1 对水文随机变量X 的样本系列的要求：(可靠性、一致性、代表性、独立性)

①独立性要求：例如年径流量系列{

n x x x ,...,,21}往往具有自相关性，即

[][]211

][/)(∑∑=-+=---=

n i i k i n k i i x x x x x x k r |r (k )|不显着为零。对k =1的情况（AR(1)随机模拟模型）：

),()1()(5.02111i s i i p C r s x x r x x φφ-+-+=- (8)

[比较：

),(P C C x x x s v P φ+=] 式中，),(i s p C φφ为标准P-Ⅲ型分布的纯随机变量，它的5.12131)

1/()1(r r C C s s --=φ。 [应用]：某流域年降雨量系列，截割水平取用多年降雨量均值，对10 000a 的年降雨量模拟序列出现的不同负轮长及出现次数进行统计，将超过一定负轮长的频次进行累加，对年降雨量的负轮长序列进行排频计算，求指定设计频率P 的水文随机变量设计值 ),(1111P C C x x x s v P φ+=；求x P 的抽样误差B n P x σσ= 设计成果的合理性分析