初二因式分解习题大全含答案
因式分解进阶
中考要求
例题精讲
一、基本概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项
式分解因式.
因式分解与整式乘法互为逆变形：
()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积
因式分解
式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 因式分解的常用方法：
提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.
分解因式的一般步骤：
如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.
注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；
②结果一定是乘积的形式；
③每一个因式都是整式；
④相同的因式的积要写成幂的形式.
在分解因式时，结果的形式要求：
①没有大括号和中括号；
②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；
④每个因式第一项系数一般不为负数；
⑤形式相同的因式写成幂的形式.
二、提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.
确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.
三、公式法
平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.
完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+
2222()a ab b a b -+=-
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.
一些需要了解的公式：
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++
33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-
2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++
模块一 因式分解的基本方法
【例1】已知248
﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ．
【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．
【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）； ∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．
【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路
【巩固】
333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________. 【解析】 原式22222()()()()()b a x y a b ab x y a b xy ??=--++++++??()()a b x y --22()a ab b ++22()x xy y ++ ()()a b x y abxy =---.
【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++
++ 【解析】 原式()()()20051111x x x x x x ??=+++++++?
?()()()()200411111x x x x x x x ??=++++++++?? …()()2005111x x x x =++++????()20071x =+
【例2】已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ．
【解析】由已知条件构造完全平方公式，得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，然后由非负数的性质求
解．
【答案】由已知得a 2+b 2+c 2+43﹣ab ﹣9b ﹣8c≤0，配方得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，
又∵（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≥0，∴（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2=0，
∴a ﹣=0，﹣3=0，c ﹣4=0，∴a=3，b=6，c=4．故答案为：a=3，b=6，c=4．
【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解． 模块二 重组分解法
【例3】分解因式：2222(1)(2)(1)x x x x x x ++-++-
【解析】 原式424322212x x x x x x x =+++----
43221x x x =--+
3(21)(21)x x x =---
3(21)(1)x x =--
2(1)(21)(1)x x x x =--++.
【答案】2(1)(21)(1)x x x x --++
【巩固】 分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++
【解析】
3322()()ax y b by bx a y +++ 332222axy ab x b x y a by =+++
2222()()xy ay b x ab ay b x =+++
22()()ay b x xy ab =++
【答案】22()()ay b x xy ab ++
【例4】分解因式：2222111[()()](2)222
x y x y x y -++- 【解析】 2222111[()()](2)222
x y x y x y -++- 222222111[](2)442
x xy y x xy y x y =-++++- 222211(2)(2)22
x y x y =+- 【答案】222211(2)(2)22
x y x y +-
【巩固】 分解因式：2231()b a x abx +--
【解析】
2231()b a x abx +-- 2223(1)()a x bx abx =-+-2(1)(1)(1)ax ax bx ax =+-+-2(1)(1)ax ax bx =-++
【答案】2(1)(1)ax ax bx -++
【例5】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．
【解析】 设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则利用()()()222212123251n n n -++++=，求n 的值．
设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则 ()()()222
212123251n n n -++++=
整理后，得2200n n +-=，()()540n n +-=
∴15n =-，24n =∴三个连续奇数分别为-11，-9，-7或7，9，11．
【答案】连续奇数分别为-11，-9，-7或7，9，11．
【巩固】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：2b a c =+
【解析】 22243372a ac c ab bc b ++--+
(3)(2)a b c a b c =-+-+
0=
因为三角形的两边之和大于第三边，
所以30a b c -+≠，故20a b c -+=，即2b a c =+.
【答案】见解析 模块三 拆、填项法
?利用配方思想拆项与添项
【例 1】分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.
【解析】432234232a a b a b ab b ++++ 2222222()2()a b ab a b a b =++++
222()a b ab =++
【答案】222()a b ab ++
【例 2】分解因式： 12631x x -+
【解析】12631x x -+
126621x x x =-+- 6363(1)(1)x x x x =-+--
【答案】6363(1)(1)x x x x -+--
【例 3】分解因式： 841x x ++
【解析】841x x ++ 84421x x x =++- 4242(1)(1)x x x x =+++-
42242(12)(1)x x x x x =++-+-
2242(1)(1)(1)x x x x x x =+++-+- 【答案】6363(1)(1)x x x x -+--
【例 4】分解因式： 4224781x x y y -+
【解析】4224422422781188125x x y y x x y y x y -+=++-
2222(95)(95)x y xy x y xy =+-++
【答案】2222(95)(95)x y xy x y xy +-++
【例 5】已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______.
【解析】原式4222010036n n n =++- 222(10)(6)n n =+-
22(610)(610)n n n n =-+++.
又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.
【答案】3n =
【例 6】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-
【解析】()()()22
2241211y x y x y +-++- ()()()22224
2212114y x y x y x y =+--+--
()()22211(2)
y x y xy ??=+---?? (1)(1)(1)(1)x x x xy y x xy y =+-------
【答案】(1)(1)(1)(1)x x x xy y x xy y +-------
【例 7】分解因式：42222222()()x a b x a b -++-
【解析】42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+--
222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+
()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+
【答案】()()()()x a b x a b x a b x a b ++--+--+
【例 8】分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++ 【解析】33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++
322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+
22()()x xy y ax by x y =-++++
【答案】22()()x xy y ax by x y -++++
【例 9】 把444x y +分解因式．
【解析】4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．
44422422422422x y x x y y x y +=+??+-??
2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+
【答案】2222(22)(22)x xy y x xy y ++-+
【例 10】分解因式：464x +
【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+
【答案】22(48)(48)x x x x ++-+
【例 11】证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．
【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++-
由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>
即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．
【答案】见解析
【例 12】分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++
【解析】444222222222a b c a b b c c a ---+++444222222(222)a b c a b b c c a =-++---
44422222222(2224)a b c a b b c c a a b =-+++---22222[()(2)]a b c ab =-+--
222222(2)(2)a b c ab a b c ab =-+-++--2222[()][()]a b c a b c =-+---
()()()()a b c a b c a b c a b c =-+++--+--()()()()a b c a b c a b c b c a =+++--++-
【答案】()()()()a b c a b c a b c b c a +++--++-
?拆项与添项
【例 13】（“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：4322928x x x x +--+
【解析】原式()()()()()()42322222228812181x x x x x x x x x x =-+---=-+---
()()()()()()221281142x x x x x x x =-+-=+-+-
【答案】()()()()1142x x x x +-+-
【例 14】若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )
A.0
B.1-
C.1
D.3
【解析】
43222234
585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++
42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=
【答案】1
【例 15】分解因式：323233332a a a b b b ++++++
【解析】前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就
可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是
323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++
33(1)(1)a b =+++
22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++
22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++
【答案】22(2)(1)a b a ab b a b ++-++++
【例 16】分解因式：51x x ++
【解析】法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.
不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去.
那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去.
开始尝试3x ，如下：
55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.
这样尝试下去，可分解如下：
552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.
法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.
只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！
【答案】322(1)(1)x x x x -+++
【例 17】分解因式：541a a ++
【解析】原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++
【答案】32(1)(1)a a a a -+++
【例 18】分解因式：3333a b c abc ++-.
【解析】3333a b c abc ++-
332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++---
33()3()a b c ab a b c =++-++
222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++
222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.
也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .
【答案】222()()a b c a b c ab bc ca ++++---
【例 19】分解因式：22268x y x y -++-
【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--
(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-
【答案】(4)(2)x y x y -++-
【例 20】分解因式： 224414x y x y -++
【解析】2244442222222214216(4)(4)x y x y x y x y x y x y xy x y xy -++=++-=+++-
【答案】2222(4)(4)x y xy x y xy +++-
【例 21】分解因式：42471x x -+
【解析】42422224712149(17)(17)x x x x x x x x x -+=++-=+++-
【答案】22(17)(17)x x x x +++-
【例 22】分解因式： 4414
x y + 【解析】4414x y +442222222211()()42x y x y x y x y xy =++-=+-22221(22)(22)4
x xy y x xy y =++-+ 【答案】22221(22)(22)4
x xy y x xy y ++-+
【例 23】分解因式：441x +=__________.
【解析】442222222414414(21)(2)(221)(221)x x x x x x x x x x +=++-=+-=++-+
【答案】22(221)(221)x x x x ++-+
【例 24】分解因式：432433x x x x ++++
【解析】(法1)：原式432222222()(333)(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++
(法2)：原式432423222433(3)(3)(3)(3)(1)x x x x x x x x x x x x =++++=+++++=+++
【答案】22(3)(1)x x x +++
模块三 换元法
【例1】 分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----
【解析】2(5)(510)a a a a --+
【答案】2(5)(510)a a a a --+
【例2】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-
【解析】2(1)(2)(5)x x x x -+++
【答案】2(1)(2)(5)x x x x -+++
【例3】 分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=
【解析】原式()()()()()()22226112131671651x x x x x x x x x x =----+=-+-++
设2671x x t -+=，原式()()()2
2222661t t x x t x x x =++=+=-+ 【答案】()2
2661x x -+
【例4】 分解因式：()()()()461413119x x x x x ----+=
【解析】原式()()22467112719x x x x x =-+-++
设2671x x t -+=，原式()()()22
2422693971t x t x t x x x =++=+=-+ 【答案】()2
2971x x -+
【例5】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-
【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-，
故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.
故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--
2
2222(31)(23)(232)x x x x x x ??=----+-=--+??. 【答案】22(232)x x --+
【例6】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-
【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，
不妨设,a b x ab y +==，则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-
222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--
【答案】22(1)(1)a b --
【例7】 分解因式：()()()2113212xy xy xy x y x y ??+++-++-+- ??
? 【关键词】1997~1998年，天津市初二数学竞赛决赛，换元法
【解析】设xy a x y b =+=，
则原式()()()2
13211a a a b b =+++----
()()()222221111a a b a b a b a b =++-=+-=+++- ()()()()1111x y x y =++--
【答案】()()()()1111x y x y ++--
【例8】 分解因式：4444(4)a a ++-
【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-
4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++
422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+
【答案】222(416)a a -+
【例9】 分解因式：()()()333
2332125x y x y x y -+---
【解析】设233255x y a x y b x y c -=-=-+=，，，显然0a b c ++=
由公式()()3332223a b c abc a b c a b c bc ca ab ++-=++++---知，此时有3333a b c abc ++= 故原式()()()()()()3233255152332x y x y x y x y x y x y =---+=----
【答案】()()()152332x y x y x y ----
【例10】 分解因式：43241x x x x +-++
【解析】原式222222111144x x x x x x x x x x ????????=+-++=+++- ? ? ??????
????? 设1x t x +=，则22212x t x
+=- 原式()()()2222432x t t x t t =+--=+-
()()2
2311x x x =++- 【答案】()()2
2311x x x ++-
【例11】 分解因式：()()44
13272x x +++-
【解析】设2x t +=，则
原式()()444211272212270t t t t =-++-=+-
()()()()()2222159241951t t x x x x =+-=+++- 【答案】()()()2241951x x x x +++-
模块四 主元法
【例 25】分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++
【解析】这个多项式是a 、b 、c 的三项式，相数多，似乎无从下手，解决它的方法却是最基本的：把a 当
作主要字母，也就是把这个多项式看成a 的二次式，按a 降幂排列整理为：
22222()(3)()b c a b c bc a b c bc +-++++，后用十字相乘进行分解，“常数项”为22()b c bc bc b c +=+ 2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-
【答案】()()a b c ab ac bc --+-
【例 26】分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++
【解析】将x 看为主元，原式可化为：
22(1)(221)(1)y y x y y x y y ++++++
[(1)][(1)]yx y y x y =++++(1)()yx y yx x y =++++
【答案】(1)()yx y yx x y ++++
【例 27】分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++
【解析】以a 、b 为主要字母，这个多项式是a 、b 的二次齐次式，把它整理为：
2222[(1)()]()[()(1)]b xy x y ab x y a x y xy +-++--+++
2222[()(1)]()[()(1)]b xy x y ab x y a x xy y =---+--+++
2222[(1)(1)]()[(1)(1)]b x y y ab x y a x y y =---+--+++
2222(1)(1)()(1)(1)b x y ab x y a x y =--+--++
[(1)(1)][(1)(1)]x b y a y b x a =--+--+
()()bx b ay a by b ax a =----++
【答案】()()bx b ay a by b ax a ----++
课后作业
1.分解因式：()()()244
2111x x x ++-+-
【解析】 原式224222(21)(21)(21)x x x x x x =+++-++-+
423103
x x =++ 22(31)(3)x x =++
【答案】22(31)(3)x x ++
2.若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.
【解析】()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++????????
22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++
令2254x xy y u ++=
∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++
即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++
【答案】见解析
3.分解因式：44(1)(3)272x x +-+- 【解析】设13
22x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272
y y y y -++-=++- 422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+
22(5)(1)(419)x x x x =+-++
【答案】22(5)(1)(419)x x x x +-++
4.分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++-
【解析】原式()()()()()22222222x z y x z xy x z x x z y x =---+-=--
【答案】()()22x z y x --
因式分解-复习-专题-讲义-知识点-典型例题
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式 q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2 中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
初二数学经典因式分解题目
经典因式分解题目 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 一. 填空题 1. 的公因式是___________ 2. 分解因式：__________ 3. 若，则_________ 4. 若是完全平方式，则t ＝________ 5. 因式分解：_________ 6. 分解因式：_________ 7. 若，则x ＝_______，y ＝________ 8. 若，则_________ 9. 计算________ 10. 运用平方差公式分解：－_______＝（a ＋7）（a －_____） 11. 完全平方式 12. 若a 、b 、c ，这三个数中有两个数相等，则 _________ 13. 若，则__________ 分解因式：x x y x y x x y ()()()+--+2x y 4416-x y xy 33-()x y x --3422252034322m m m n m n --+-()()()()x x 2221619---+分解因式164129222a b bc c -+-1218323x y x y -2183x x -=A x y B y x =+=-353，A A B B 222-?+=x x t 26-+944222a b bc c -+-=a c a bc ab c 32244-+=||x x xy y -+-+=214022a b ==9998，a ab b a b 22255-+-+=12798 012501254798....?-?=a 249222 x y -+=()a b c b c a c a b 222()()()-+-+-=a b ab +==-514，a a b ab b 3223+++=
因式分解练习题(超经典)
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
人教版八年级因式分解经典例题详解
初中因式分解的（例题详解） 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ))((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 例4、分解因式：2222c b ab a -+-
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
因式分解易错题和经典题型精选
因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值
初二数学因式分解技巧
因式分解技巧方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应 用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
因式分解练习题精选
一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。 二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x
初二数学因式分解讲解
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
(完整)初二数学人教版因式分解-讲义
八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.
华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解
初二数学——分解因式 一、 考点、热点分析 整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。 (一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± （3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ （4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ （5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．） ①二次三项式： 把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式. 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式； 如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． ②十字相乘法的依据和具体内容 它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”． 注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数
因式分解经典题与解析
2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A、提取公因式B．平方差公式 C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数围）的整数值a，并且将其进行因式分解． 5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．
经典因式分解练习题100道
For personal use only in study and research; not for commercial use 1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 2 14．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30 17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25
21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49 33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121
(易错题精选)初中数学因式分解难题汇编含答案解析
（易错题精选）初中数学因式分解难题汇编含答案解析 一、选择题 1．下列变形，属于因式分解的有（ ） ①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）；②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16；③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16；④x 2+x ＝x （x +1） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：①x 2-16=（x+4）（x-4），是因式分解； ②x 2+3x-16=x （x+3）-16，不是因式分解； ③（x+4）（x-4）=x 2-16，是整式乘法； ④x 2+x =x (x +1))，是因式分解． 故选B ． 2．将3a b ab -进行因式分解，正确的是( ) A ．()2a a b b - B ．()21ab a - C ．()()11ab a a +- D ．()21ab a - 【答案】C 【解析】 【分析】 多项式3a b ab -有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解． 【详解】 ()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-， 故选：C ． 【点睛】 此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解； 3．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）
A ．60 B ．16 C ．30 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可． 【详解】 ∵矩形的周长为10， ∴a+b=5， ∵矩形的面积为6， ∴ab=6， ∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30． 故选：C ． 【点睛】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 4．下列从左到右的变形，是因式分解的是( ) A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2b B ．221(a b)(a b)1-=-+++a b C ．2224(2)x x x -+=- D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出. 【详解】 解：由因式分解的定义可知： A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误； B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误； C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误； D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解； 故选：D 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键. 5．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形
因式分解--典型例题及经典习题
14.3 因式分解 典型例题 【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )． A ．a (x ＋y )＝ax ＋ay B ．y 2－4y ＋4＝y (y －4)＋4 C ．10a 2－5a ＝5a (2a －1) D ．y 2－16＋y ＝(y ＋4)(y －4)＋y 【例2】 把多项式6a 3b 2－3a 2b 2－12a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )． A ．3a 2b B ．3ab 2 C ．3a 3b 3 D ．3a 2b 2 【例3】 用提公因式法分解因式： (1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 【例4】 把下列多项式分解因式： (1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2； (3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2. 【例5】 把下列多项式分解因式： (1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 因式分解的一般步骤 一般步骤可概括为：一提、二套、三查． 【例6】 把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2. 【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )． ①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24 ；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
初二数学人教版因式分解_讲义
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
因式分解练习题精选(含提高题)精编版
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22 +-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。
二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、20 11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、81182 4+-x x 9 、24369y x -
初二数学因式分解专题讲解
因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)） 1 基本方法 1.1提公因式法☆☆☆ 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项都是时，公因式的系数应取各项系数的；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式 1.2 公式法☆☆☆ 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； ：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 补充公式: 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
初中因式分解典型例题汇总(附答案)
初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解
2 2
由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
3
注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3
因式分解练习题精选(含提高题)
15、方程X 2 +4x = 0 ,的解是 o 因式分解习题精选 一、填空：(30分) 若x 2 +2(m-3)x+16是完全平方式，则 m 的值等于 2 2 x +x +m =(x-n)贝U m= _____ n = 2 2 2 2 4 2 2 4 在多项式 m +n ,-a -b ,x +4y ,Vs +9t 中，可以用平方差公式分解因式的 ，其结果是 若x 2 + 2(m-3)x +16是完全平方式，则 m= 1、 2、 3、 3 2 6 2x y 与12x y 的公因式是— 4、 若 x m -y n =(x +y 2 )(x -y 2)(x 2 + y 4 )，贝H m= n= 5、 6、
7、 2 x +( )x +2 =(x +2)(x + —t A-r. /I J. 丄2 , . . . . 2004 , 2005 c urt 2006 已知1+x+x + +x +x =0,则x = 9、2 若16(a-b) +M +25是完全平方式M= 10、x +6x+ (_) = (x+3)2 , X2+(_)+ 9 = (x-3)2 11、若 2 2 9x + k + y是完全平方式，则k= 12、若 2 2 x +4x—4的值为0,贝U 3x + 12x—5的值是 13、若 2 x 一ax -15 =(X +1)(x -15)则a= _ o 2 2 14、若x + y =4,x +y =6则xy = ___ o 15、方程X2+4x = 0 ,的解是o
8 二、选择题：(10分) 1、多项式—a(a —x)(x —b)+ab(a —x)(b —x)的公因式是( ) A 、一 a 、 B 、一a(a — x)(x — b) C 、a(a — x) D 、一 a(x-a) 2 2 2、若 mx +kx + 9=(2x-3)，贝U m , k 的值分别是( A 、m= —2, k=6 , B 、m=2 , k=12 , C 、m= — 4, k= —12、 D m=4 , k=12、 3、下列名式：X 2 — y 2 ,—X 2 +y 2,—X 2 — y 2,(—X)2 +(—y)2,x 4 — y 4 中能用平方差公 式 分解因式的有( A 、1 个， B 、2 个， C 、3 个， D 、4 个 1 1 1 1 4、计算(1 - —)(1 …(1 _ —)(1 —市)的值是() 2 3 9 10 1 1 11 20,C .i0,D.20 三、分解因式：(30分) X 4 -2x 3 -35x 2 -6 - 2 3x -3x 4 2 x -18x +81 9x 4 -36y 2 25(x-2y)2 -4(2y-x)2 *4、 x 2 2 -4xy -1 +4y 5、 X 5 -X 6、 -1 *7、 ax 2 -bx 2 -bx +ax +b -a