二次函数压轴题解题思路

?二次函数压轴题解题思路路

?一、基本知识

1会求解析式

2.会利利?用函数性质和图像

3.相关知识：如?一次函数、反?比例例函数、点的坐标、?方程。图形中的三?角形、四边形、圆及平?行行线、垂直。?一些?方法：如相似、三?角函数、解?方程。?一些转换：如轴对称、平移、旋转。

?二、典型例例题：

（?一）、求解析式

1.（2014?莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；

2.（2012?莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；

练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位?长度，再向上平移2个单位?长度后，所得函数的表达式为（）

A.y=﹣2（x+1）2+2

B.y=﹣2（x+1）2﹣2

C.y=﹣2（x﹣1）2+2

D.y=﹣2（x﹣1）2﹣2

（?二）、?二次函数的相关应?用

第?一类：?面积问题

例例题.（2012?莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）

与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的?面积；

2.（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线

y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．）

（3）若△AOC沿CD?方向平移（点C在线段CD上，且不不与点D重合），

在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的?面积记为S，试求S的最?大值．

3.（2014?兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的?一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什什么位置时，四边形CDBF的?面积最?大？求出四边形CDBF的最?大?面积及此时E点的坐标．

第?二类：.构造问题

（1）构造线段

（2013?莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、

C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第?二象限部分上的?一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM

于点F，求线段DF?长度的最?大值，并求此时点D的坐标；

（2）构造相似三?角形

（2013?莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=．）（3）抛物线上是否存在?一点P，作PN垂直x 轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三?角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不不存在，请说明理理由．

（3）构造平?行行四边形

（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x

于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的?一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是

否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平?行行四边形？若存在，

求此时点M的横坐标；若不不存在，请说明理理由；

（4）构造等腰三?角形

（2013?泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的?一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE?面积的最?大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上?一点，且△OMD为等腰三?角形，求M点的坐标．

练习：（2014遵义）如图，?二次函数的图象与交于（3,0）、(-1,0)

与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位?长度的速度分别

沿，边运动，其中?一点到达端点时，另?一点也随即停?止运动.（1）求该

?二次函数的解析式及点的坐标.

（2）当点运动到点时，点停?止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以

，，为顶点的三?角形是等腰三?角形.若存在，请求出点的坐标，若不不存在，请

说明理理由.

（3）当，运动到秒时，△沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，

请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.

（5）构造直?角三?角形

22.（2014?四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛

物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有?一动点P，过点P作y轴的平?行行线，交抛物线于点Q，求线段PQ

的最?大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直?角边的直?角三?角形？

如果存在，求出点M的坐标；如果不不存在，说明理理由．

（6）构造?角相等

（2014?娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），

x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满?足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）

在抛物线上能不不能找到?一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不不

能，请说明理理由．

（7）构造梯形

（2011莱芜）如图，在平?面直?角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、

O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M 是抛物线对称轴上?一点，试求AM ＋OM 的最?小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不不存在，请说明理理由．

练习：（2010临沂）如图：?二次函数y =﹣x 2+ax +b 的图象与x 轴交于A （-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）在x 轴上?方的抛物线上有?一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直?角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不不存在，说明理理由．

（8）构造菱形

（2013?

枣庄）如图，在平?面直?角坐标系中，?二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下?方的抛物线上?一动点．（1）求这个?二次函数的表达式．

（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不不存在，请说明理理由．（3）当点P 运动到什什么位置时，四边形ABPC 的?面积最?大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最?大?面积．

（9）构造对称点

A

C B

（2011莱芜）如图，在平?面直?角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M是抛物线对称轴上?一点，试求AM＋OM的最?小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不不存在，请说明理理由．

（10）构造平?行行线

（2013?威海?）如图，在平?面直?角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平?行行，并说明理理由．

练习：（2014??山东烟台）如图，在平?面直?角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理理由；

（3）延?长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理理由．

（11）构造垂直

（2014宜宾市）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交

于A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理理由；(3)过原点的任意直线(不不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理理由．

（12）构造圆

(2014年年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直?角坐标系内的?一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有?无数个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满?足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最?大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最?大的理理由；若没有，也请说明理理由．

（13）轴对称

（2012浙江丽?水）在直?角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第?二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，

交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正?方形；

(2)如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；

②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试

判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如

果可以，说出变换的过程；如果不不可以，请说明理理由．

（14）规律律

（2014?江?西抚州，第23题，10分）如图，抛物线

()位于轴上?方的图象记为1，它与轴交于1、两点，图象2与1关于原点

对称，2与轴的另?一个交点为2，将1与2同时沿轴向右平移12的?长度即可得3与4；再将3与4同时沿轴向右平移12的?长度即可得5与6；……按这样的?方式?一直平移下去即可得到?一系列列图象1,2,……，n,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴当时，①求图象1的顶点坐标；

②点(2014,－3)不不在(填“在”或“不不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n的顶点n的横坐标为201，则图象n对应的解析式为，其?自变量量的取值范围为.⑵设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1(m为正整数),轴上?一点Q的坐标为(12,0).试探究：当为何值时，以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.

解析：(1)当时，①，∴F1的顶点是（-1,1)；

②由①知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1，∴点H(2014,-3)不不在“波浪抛物线”上；

由平移知：F

2：F3：

，…，∵F n的顶点横坐标是201，∴F n的解析式是：

，此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、

(202,0),∴200≤≤202.

(2)如下图，取OQ的中点O′,连接T m T m+1,∵四边形OT m QT m+1

是矩形，∴T m T m+1=OQ=12,且T m T m+1经过O′,∴OT m+1=6,∵F1：

∴T m+1的纵坐标为，

∴()2+12=62,∴=±,已知＜0，∴.

∴当时，以以O、T m、T m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.此时m=4.

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）

∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．

∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三?角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，

0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式

为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线

BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，

设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣

a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BC D+S△CEF+S△

BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a ﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDB F的?面积最?大=，∴E（2，1）．

（2014?莱芜）解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．

∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代?入求得k=，∴直线OD解析式为y=x．

设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+x），∴MN=|y M﹣y N|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平?行行四边形，则有MN=AC=3．∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整理理

得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=．

∴存在满?足条件的点M，点M的横坐标为：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．

如解答图所示，设平移中的三?角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与

直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设?水平?方向的平移距离为t

（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．设直线O′C′的解析式为

y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代?入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．∴E（t，0）．联

?立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．∴S=S△O FQ

﹣S△O E P=OF?FQ﹣OE?PG=（1+t）（+t）﹣?t?t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最

?大值为．∴S的最?大值为．

（2013?莱芜）解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．

（2）将x=0代?入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为

（）．DF==．

当时，DF的最?大值为．此时，即点D的坐标为（）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三?角形与△MAO相似．设P（m，）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三?角形相似，由题意可知，点P不不可能在第?一象限．①设点P在第?二象限时，∵点P

不不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．?又﹣3＜m＜0，故此时满?足条件的点不不存在．

②当点P在第三象限时，∵点P不不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即

m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．

③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．

若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐

标为（10，﹣39）．综上所述，满?足条件的点P

的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．

（2012?莱芜）解：（1）依题意，设抛物线的解析

式为y=a（x﹣2）2﹣1，代?入C（O，3）后，得：

a（0﹣2）2﹣1=3，a=1

∴抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；

设直线BC的解析式为：y=kx+3，代?入点B的

坐标后，得：3k+3=0，k=﹣1

∴直线BC：y=﹣x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；∴AD2=2，AC2=10，CD2=8

即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直?角三?角形，且AD⊥CD；∴S△A C D=AD?CD=××2=2．

（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：

①∠DFE=90°，即DF∥x轴；将点D纵坐标代?入抛物线的解析式中，得：x2﹣4x+3=1，解得x=2±；

当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+；∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．②∠EDF=90°；易易知，直线AD：y=x﹣1，联?立抛物线的解析式有：x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；当x=1时，y=﹣x+3=2；当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；

综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．

（2011莱芜）解得：∴抛物线的函数表达式为。

（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂?足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最?小值为。（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线对称，由A(－2，－4),得P(4,－4),则得梯形OAPB。②若OA∥BP，设直线OA的表达式为，由A(－2，－4)得，。

设直线BP的表达式为，由B(2,0)得，，即，∴直线BP的表达式为由，解得，（不不合题意，舍去）当时，，∴点P()，则得梯形OAPB。③若AB∥OP，设直线AB的表达式为，则，解得，∴AB的表达式为。∴直线OP的表达式为。由，得，解得，（不不合题意，舍去），此时点P不不存在。综上所述，存在两点P(4,－4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。（2014??山东临沂）解：（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）．设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上，

∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．

（2）如答图2所示，直线y=2x﹣1，当y=0时，x=；设直线CD交x轴于点E，则E（，0）．在

Rt△OCE中，OC=1，OE=，由勾股定理理得：CE=，设∠OEC=θ，则sinθ=，cosθ=．过

点A作AF⊥CD于点F，则AF=AE?sinθ=（OA+OE）?sinθ=（1+）×=，∴点A到直线

CD的距离为．（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上，∴设P（t，2t﹣1），则平移后抛物线的解析式为y=（x

﹣t）2+2t﹣1．联?立，化简得：x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，解得：x1=t，x2=t+2，即点P、点Q的横

坐标相差2，∴PQ===．△GPQ为等腰直?角三?角形，可能有以下情形：

i）若点P为直?角顶点，如答图3①所示，则PG=PQ=．∴CG====10，

∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，∴G（0，9）；ii）若点Q为直?角顶点，如答图3②所示，则QG=PQ=．

同理理可得：Q（0，9）；iii）若点G为直?角顶点，如答图3③所示，此时PQ=，则GP=GQ=．

分别过点P、Q作y轴的垂线，垂?足分别为点M、N．易易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，∴GN=PM，GM=QN．

在Rt△QNG中，由勾股定理理得：GN2+QN2=GQ2，即PM2+QN2=10①∵点P、Q横坐标相差2，∴NQ=PM+2，

代?入①式得：PM2+（PM+2）2=10，解得PM=1，∴NQ=3．直线y=2x﹣1，当x=1时，y=1，∴P（1，1），即OM=1．

∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，∴G（0，4）．

综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．

（2010临沂）（1）根据题意，将，B（2，0）代?入中，?得解这个?方程，得∴该抛物线的解析式为当时，.∴点的坐标为.?∴在中，?.在中，?

..∵

，∴是直?角三?角形.（2）点的坐标为

（3）存在.由（1）知，.?①若以BC为底边，则BC∥AP，如图5所示.?可求得直线BC的解析式为.直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，

所以设直线AP的解析式为.把点代?入直线的解析式，求得

，∴直线AP的解析式为.∵点既在抛物线上，?又在直线上,?∴点的纵坐标相等，?即解得(不不合题意，舍去).?

当时，.∴点的坐标为.②若以为底边，则BP∥AC，

如图6所示.?可求得直线的解析式为.直线可以看作是由直线

平移得到的，?所以直线的解析式为.?把点代?入直线

的解析式，求得∴直线的解析式为.∵点既在抛物线

上，?又在直线上.?∴点的纵坐标相等,?即.解得

(不不合题意，舍去).?当时，.∴点的坐标为.综上所述，满?足题?目条件的点为或.

（2014遵义）

（2）存在分三种情况讨论如下：

①以为圆?心，为半径画弧，交轴于点,.=4，=3，=1，=3+4=7.∴,

②以为圆?心，为半径画弧，交轴于,(与点重合，不不合题意)过作⊥轴于点,则∥

轴，即，∴,

,,∴,.

③作的中垂线交轴于点,垂?足为,=,==.∴∽

∴即，,∴

综上，这样的点有四个，,，，.

（3）（6分）四边形是菱形.

解法?一：过作⊥轴于点,设运动的时间为秒，则

==.

∵∥,∴=,==.

∴∽,∴,∵,即，∴

，,∵，∴∴∵点在抛物线上，

∴解得（舍去），

，∴

（2014娄底）解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，∵x1+x2+x1x2=7，∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，∴（﹣

m）2﹣（m﹣1）=7，即m2﹣m﹣6=0，解得m1=﹣2，m2=3，∵c=m﹣1＜0，∴m=3不不合题意∴m=﹣2

抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）能如图，设p是抛物线上的?一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂?足为D．若∠POC=

∠PCO则PD应是线段OC的垂直平分线∵C的坐标为（0，﹣3）∴D的坐标为（0，﹣）∴P的纵

坐标应是﹣令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣）

(2014年年淄博)（1）以AB为边，在第?一象限内作等边三?角形ABC，以点C为圆?心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在

优弧AP1B上任取?一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有?无数个．故答案为：?无数．（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂?足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆?心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等边三?角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．∴点C的坐标为（3，2）．过点C作CD⊥y轴，垂?足为D，连接CP2，如图1，∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．∵点C为圆?心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=．∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．

②当点P在y轴的负半轴上时，同理理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．

综上所述：满?足条件的点P的坐标有：（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最?大．

①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂?足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，

∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形．

∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH=

==∴OP=∴P（0，）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理理可得：P（0，﹣）．理理由：①若点P在

y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取?一点M（不不与点P重合），

连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外?角，

∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，

同理理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最?大值，

此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．

2014泰安解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），根据题意得：，解

得：，则?二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．

∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，则当x=﹣时，MN的最?大值为；

（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于

BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．（2014?四川内江，第28题，12分）解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．

∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴

解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．

∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最?大值，最?大值为．∴线段PQ的最?大值为．

（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．

∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°

时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG=

==．同理理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．

∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．

（2014宜宾市）解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），∴b=0，c=

﹣1，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．

（2）△MAB是等腰直?角三?角形，由抛物线的解析式为：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），

B（1，0），∴OA=OB=OC=1，∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°∵y轴是对称轴，∴A、B为对称点，∴AM=BM，

∴△MAB是等腰直?角三?角形．

（3）MC⊥MF；分别过C点，D点作y轴的平?行行线，交x轴于E、F，过M点作x

轴的平?行行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，∵OM=1，∴CG=n2，DH=m2，

∵FG∥DH，

∴=，即=解得m=﹣，∵==﹣n，==，

∴=，∵∠CGM=∠MHD=90°，∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，∵∠MDH+∠DMH=90°∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，即MC⊥MF．

（2013?泰安）解：（1）把点C（0，-4），B（2，0）分别代?入y=x2+bx+c

中，得，解得。∴该抛物线的解析式为y=x2+x-4．（2）令y=0，即x2+x-4=0，解得x1=-4，

x2=2，∴A（-4，0），S△ABC=AB?OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2-x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE=（2-x）2．S△PC E=S△PC B-S△PBE=PB?OC-S

=×（2-x）×4-（2-x）2=-x2-x+=-（x+1）2+3∴当x=-1时，S△PC E的最?大值为3．

△PBE

（3）△OMD为等腰三?角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（-2，-2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD 的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，?又△AMN为等腰直?角三?角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（-1，-3）；（III）当

OD=OM时，∵△OAC为等腰直?角三?角形，∴点O到AC的距离为×4=2，即AC上的点与点O之间的最?小距离为2．∵2＞2，∴OD=OM的情况不不存在．综上所述，点M的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）．

（2013?威海?）解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于

点A，得，解得，，∴点A的坐标

是（3，3）．∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA，∴直线OB的解析

式为y=-x．?又∵点B在直线y=x+上，∴

，解得，，∴点B的坐标是（-1，1）．综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，∴，解得，∴该抛物线的解析式为y=x2-x，或y=（x-）2-．∴顶点E的坐标是（，-）；（3）OD与CF平?行行．理理由如下：由（2）知，抛物线的对称轴是x=．∵直线y=x 与抛物线的对称轴交于点C，∴C（，）．设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（，）代?入，得，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+．∵直线BC与抛物线交于点B、D，∴

-x+=x2-x，解得，x1=，x2=-1．把x1=代?入y=-x+，得y1=，∴点D的坐标是（，）．如图，作DN⊥x轴于点N．则tan∠DON=．∵FE∥x轴，点E的坐标为（，-）．∴点F的纵坐标是-．把y=-代?入y=x+，得x=-，∴点F的坐标是（-，-），∴EF=+=．∵CE=+=，∴tan∠CFE=，∴∠CFE=∠DON．?又∵FE∥x轴，∴∠CMN=∠CFE，∴∠CMN=∠DON，∴OD∥CF，即OD与CF平?行行．

（2012浙江丽?水10分）解：(1)－1。(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，当x＝－时，y＝(－)2＝，即OE＝，AE＝。∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，21

∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠EAO＝

∠BOF。?又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，

∴△AEO∽△OFB。

∴。设OF

＝t，则BF＝2t，∴t2＝2t，解得：t1＝0(舍去)，t2＝2。∴点B(2，4)。②过点C作CG⊥BF于点G，∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠EOA＝∠FBO，∴∠EAO＝∠CBG。在△AEO和△BGC中，∠AEO＝∠G=900，∠EAO＝∠CBG,AO=BC，∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG＝OE＝，BG＝AE＝。∴x c＝2－，y c＝4＋。∴点C()。∵当x

＝时，y＝－()2＋3×＋2＝，∴点C也在此抛物线上。∴经过A、B、C三点的抛物线解

析式为y＝－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋。平移?方案：先将抛物线y＝－x2向右平移个单位，再

向上平移个单位得到抛物线y＝－(x－)2＋。