人教版九年级上册二次函数压轴题专项训练附答案

二次函数压轴题专项训练

y=（以下几种分类的函数解析式就是这个）

一、和最小，差最大

在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标

在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标

二、求面积最大

连接AC,在第四象限找一点P ，使得面积最大，求出P 坐标

三、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得为直角三角

形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．

四、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得为等腰三角

形，求出P 坐标

322

--x x ACP ?ACP ?ACP

?

五、讨论平行四边形

1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标

2、这里小改动，把C（0，-3）改成C（2，-3）

连接BC,在x轴上找一个点F，抛物线上找一点P，使得以B、C、F、G为顶点的四边形构成平行四边形

六、和最小差最大

1、如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 和D .（1）求抛物线的解析式.

（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动，同

时点Q 由点B 出发沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S =PQ 2(cm 2)

①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取

时，在抛物线上是否存在点

R

，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.

2、如图13，抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 的垂线，垂足为M ，过点M 作直线M N ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.

2(4,3

5

4

（第22题）

七、面积最大

1、如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，

)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B

、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（

1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．

2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

3、如图，抛物线y=ax 2+2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A （﹣4，0）和B ．

（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当△CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标；

（3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l ，使△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

3－

八、讨论等腰

1、如图，已知抛物线y＝x

2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点

A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－

1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2

）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

2 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋3与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A，P是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m（m＞3），过点P作y轴的平行线PM，交直线AB于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若以AB为直径的⊙N与直线PM相切，求此时点M的坐标；

（3）在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点M的坐标；

若不能，请说明理由．

2

1

备用图

九、讨论直角三角

1、如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上

确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（ ）．(A ）2个 （B ）4个 （C ）

6个（D ）7个

2、已知：如图一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝x

2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝

x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（

1，0）（1）求二次函数的解析式；（2

）求四边形BDEC 的面积S ；

（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．

3

、如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；

（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条

件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

212

1

2

1

十、讨论四边形

1、二次函数y ＝x

2＋px ＋q （p ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点

C (0，－1)，△ABC 的面积为．

（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y

轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公

共点，求m 的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点

D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存

在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、已知：抛物线y ＝x

2－2x ＋a

（a

＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线y ＝

x －a 分别与x 轴，y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线AM 相交于点N ．

（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M （

， ），N （

， ）；

（2）如图，将△NAC 沿轴翻折，若点N 的对应点N

′恰好落在抛物线上，AN

′与轴交于点D ，连结CD ，

求a 的值和四边形ADCN 的面积；

（3）在抛物线y ＝x

2－2x ＋a （a

＜0）上是否存在一点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由．

4

5

21

y x 备用图

3、已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax

2＋x ＋c （a ≠0）

与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛

物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q

的坐标；如果不存在，请说明理由．

十一、综合型题目

1、如图，抛物线y ＝ax

2＋bx －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且经过点（2，－3a ），对称轴是直线x

＝1，顶点是M ．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C ，M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P ，A ，C ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线y ＝－x ＋3与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B ，D 重合），经过A ，B ，E 三点的圆交直线BC 于点F ，试判断△AEF 的形状，并说明理由；（4）当E 是直线y ＝－x ＋3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）

2、如图，在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝

x

2－x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线

BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P

以每秒4

个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)

（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0＜t ＜

时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 1819

4

2

9