《向量的加法》示范公开课教学设计【高中数学人教】

《向量的加法》教学设计

1．通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义．能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量．提升学生的数学抽象、逻辑推理素养．

2．在探究活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义．掌握有特殊位置关系的两个向量的和，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养．

教学重点：向量加法的运算及其几何意义．

教学难点：对向量加法法则定义的理解．

PPT课件．

一、整体概览

问题1：阅读课本，回答下列问题：

（1）本节将要研究哪类问题？

（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．

预设的答案：（1）主要研究向量的加法．（2）通过向量的概念，让学生认识了向量，本节延续前面的要求，开始向量的运算，从加法运算到后面的减法、数乘运算．加法运算属于向量运算的第一节，为后面后续学习打好基础，做好铺垫．

设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．

二、探索新知

1、形成定义

问题2：如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C．

◆教学目标

◆教学重难点

◆

◆课前准备

◆教学过程

（1）分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；

（2）这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述．

师生活动：通过学生学过的物理知识自行解决问题，教师给出引导性话语，引出本节主题．

预设的答案：（1）上午的位移是AB ，下午的位移是BC ，一天的位移是AC ．（2）位移AC 可以看成位移AB 与BC 的和．

设计意图：给出了向量加法的实际背景，这说明了研究向量加法的意义及合理性．这一内容的设置，旨在说明从生活中能抽象出数学问题，以此激发学生的学习热情．

引语：而本节要讲的内容即额为向量的加法．（板书：向量的加法）

教师讲解：一般地，平面上任意给定两个向量a b ，，在该平面内任取一点A ，作==,，作出向量，则向量称为向量a b ，的和（也称为向量a b ，的和向量）．向量a b ，的和向量记作+，因此=+．

当a b ，不共线时，求它们的和可用图1所示，当a b ，共线时，求它们的和可用图2所示．因+正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．

图1

图2

需要提醒学生的是：

（1）与实数加法（即标量的加法）运算不同，实数加法是数值的运算，而向量的加法既要关注大小又要关注方向，两者有本质区别；

（2）由定义可知两个向量的和仍然是向量除了需要通过作图来帮助学生理解两个向量的和之外，还需要带领学生分析=+的代数特点，要向学生说明：从左边往右边看，等式左边的两个向量，其中一个向量的终点与另外一个向量的始点是一样的，而右边的向量相当于消去了这个点；从右边往左边看，相当于是引入了个新的字母，而且引入的这个新字母是任意的． 值得注意的是，对任意向量a ，有a a a =+=+00，向量a b ，的模与b a +的模之间满足不等式||||||||||||a b a b a b -++≤≤．

三、初步应用

例1 已知|a |＝3，|b |＝4，求a b +的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a 与b 的关系．

师生活动：教师使用信息技术进行动态演示，学生观察到所求对象的变化情况． 预设的答案：由||||||a b a b ++≤可知，||a b +的最大值为||||a b +＝3＋4＝7，

当且仅当a 与b 方向相同时取得最大值．

由||||||||a b a b -+≤可知，||a b +的最小值为4－3＝1，

当且仅当a 与b 方向相反时取得最小值．

设计意图：直观形象的理解题目的本质，特别是取得最值时两个向量的相对位置，让学

生体会数形结合的思想方法在解决问题中的应用．

问题3：从物理学中我们已经知道，力既有大小也有方向，因此力是向量．

当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力或所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？

师生活动：学生观察图，自己写出答案，教师给出答案．

预设的答案：我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则．因此，情境中的物体不会沿着AB 或AC 所在的方向运动，其会沿着以AB ，AC 为邻边的平行四边形的对角线运动．

设计意图：视学生的情况，引导学生联想到平抛物体时，物体运动速度的求法也遵循平行四边形法则．还可以引导学生举出更多实际生活中的例子，这样可以开阔学生的学习思路，提高学习兴趣．

教师讲解：一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量与b ，在该平面内任取一点A ，作=，=，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，作出向量，因为AC BD =，因此AC AB BD AB AD +=+=．这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．

由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a 与b ，都有a ＋b ＝b ＋a ．

注意：（1）该法则是求两个向量和的另外一种作图方法，实际作图时，需要将两个向量的始点平移到一起（使它们重合），然后再作平行四边形；

（2）平行四边形法则适用于两个向量不共线的情形，这就是说，当两个向量共线时，不能用平行四边形法则得到它们的和，平行四边形法则具有一定的局限性；

（3）平行四边形法则揭示了两个不共线向量的和向量的一个几何意义．

问题4：从前面已经知道，两个向量的和还是一个向量，因此我们可以用得到和向量与另外一个向量相加．而且我们也已经知道，如同数与数的加法一样，向量相加满足交换律，那么向量相加是否满足结合律呢？也就是说，三个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序有关呢？

师生活动：学生自行思考并给出答案，教师给出正确答案．

预设的答案：满足结合律．三个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序无关．因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．

设计意图：通过向量加法的交换律和结合律与实数加法的交换律和结合律形式上是完全心相同的，为以后线性运算做好铺垫．

问题5：给出如图中的三个向量、、，分别作出（＋）＋和＋（＋），看看两个向量是否相等？

师生活动：学生根据题目要求画出（a＋b）＋c和a＋（b＋c），并观察说明答案．

预设的答案：

不难发现：（＋）＋＝＋（＋），及向量的加法运算满足结合律．

设计意图：通过向量加法的交换律和结合律与实数加法的交换律和结合律形式上是完全心相同的，为以后线性运算做好铺垫．

问题6：图中向量的和，与向量相加的顺序有关吗？为什么？

师生活动：学生自己思考并有教师指导给出答案．

预设的答案：无关．原因在于向量的加法运算满足交换律，因此可以任意调整有关顺序．事实上，由于向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的．

设计意图：利用作图，让学生观察和总结，在这个过程中，为了方便学生观察，可以增加相应的网格，以便学生平移有关向量．

三、初步应用

例2 化简下列各式：（1）AB CD BC ++； （2）AB FA BD DE EF ++++．

师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．

预设的答案：

解：（1）()AB CD BC AB BC CD AC CD AD ++=++=+=．

（2）()AB FA BD DE EF AB FA BD DE EF ++++=++++

AB FA BF =++

()AB BF FA =++

AF FA =+

AA ==0．

设计意图：注意其中用了向量加法的交换律和结合律．

巩固练习

1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为（ ）

A ．0

B ．3

C ． 2

D ．22

2．如图，D 为△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →等于（ ）

A ．－BC →＋12BA →

B ．－B

C →－12

BA → C ．BC →－12BA → D ．BC →＋12

BA → 预设的答案：1．D 2．A

设计意图：通过巩固训练的设置，加深概念的理解和应用．

四、归纳小结，布置作业

问题7：（1）向量加法的三角形法则是什么？

（2）向量加法的平行四边形法则是什么？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：（1）一般地，平面上任意给定两个向量b a ,，在该平面内任取一点A ，作==,，作出向量，则向量称为向量,的和（也称为向量,的和向量）．向量,的和向量记作+，因此=+． 当,不共线时，求它们的和可用图1所示，当,共线时，求它们的和可用图2所示．因+正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．

图1

图2

（2）一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量与b ，在该平面内任取一点A ，作a AB =，b AC =，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，作出向量AD ，因为=，因此+=+=．这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确向量的概念的有关知识．

五、目标检测设计

1．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b ．

设计意图：考查学生对向量的加法的作图能力．

2．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，

设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝__________．（用a 、b 、c 表示） 设计意图：考查学生对向量加法的简单应用．

3．已知△ABC 为直角三角形，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于D ，

求证：|BC →|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2．

设计意图：考查学生对向量加法的应用．

参考答案：

1．解：作法：在平面内任取一点O （如图），作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ．

2．答案：a ＋b ＋c

3．证明：如图所示，以DB 、DA 为邻边作□ADBE ，于是DB →＋DA →＝DE →．

∵|DE →|＝|AB →|，∴|DB →＋DA →|＝|AB →|．同理可得|DA →＋DC →|＝|AC →|．

在Rt △ABC 中，由勾股定理，得|BC →|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2．