中学数学校本教材_数学思维的培养
数学校本课程开发方案
目标：以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成果，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。
内容：让学生体会数学可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，培养学生良好的思维习惯，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。
开发人员：李明良梁晓辉李文文宋洪军孙蕾曾宪秀王永秀
参加人员：高一一班学生
实施时间：星期三第四节
实施方式：教室
管理与评价：课程评价可分为课程本身评价、教师授课评价和学生学习评价。
课程本身评价主要指对《课程纲要》的评价，包括课程目标是否与学校教育目标相符，课程是否有利于学生的发展等。教师授课评价主要是对教师教学过程的评价。学生学习评价主要对学生在学习过程中，知识与技能等方面取得的成绩做出评价。评价方法有观察、调查、测验、学习成果展示等。
课程实施计划
目标：探索中巩固所学到的数学知识，培养学生善于观察，善于联想，善于将问题转化培养学生热爱数学，热爱生活，将数学知识应用于生活实际的能力
探索讲授内容：第一章：变通性思维的培养，第二章：反思性思维的培养
第三章：严密性思维的培养，第四章：开阔性思维的培养，第五章：数学解题思维过程
时间安排：每周三第四节
中学校本课程
课程名称：数学思维的培养开发人：
学科：数学
第一章 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
（2）善于联想
（3）善于将问题进行转化
（1）观察能力的训练
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知d c b a ,,,都是实数，求证.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++ 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1所示，
则.)()(22d b c a AB -+-=
,,2222d c OB b a OA +=+=
在OAB ?中，由三角形三边之间的关系知：
AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。
因此，.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++
例2 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值。
解 由 x y x 6232
2=+得
.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y 又,2
9)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.42
9)32(212=+-- 思路分析 要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数
,2
9)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
例3 已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系
)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。
思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+
等，说明该函数的图像关于直线2=x 对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由)2()2(x f x f -=+，
知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线
它与2=x 距离越近的点，函数值越小。
)()5.0(25.02ππf f >∴->-
（2）联想能力的训练
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组???-==+3
2xy y x . 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根，
所以???=-=31y x 或???-==1
3y x .可见，联想可使问题变得简单。 例4 在ABC ?中，若C ∠为钝角，则tgB tgA ?的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在ABC ?中确定三角函数tgB tgA ?的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tgB
tgA tgB tgA B A tg ?-+=+1)(可得下面解法。 解 C ∠ 为钝角，0<∴tgC .在ABC ?中)(B A C C B A +-=∴=++ππ
且均为锐角，、B A
[].1.01,0,0.01)()(?-∴>>
=+-=+-=∴tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB tgA B A tg B A tg tgC 即 π
故应选择（B ）
例5 若.2,0))((4)(2z x y z y y x x z +==----证明：
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当0≠-y x 时，等式 0))((4)(2=----z y y x x z
可看作是关于t 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x 有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：
1=--y
x z y 即 z x y +=2 若0=-y x ，由已知条件易得 ,0=-x z 即z y x ==,显然也有z x y +=2.
例6 已知c b a 、、均为正实数,满足关系式222c b a =+,又n 为不小于3的自然数，求证:.n n n c b a <+
思路分析 由条件222c b a =+联想到勾股定理,c b a 、、可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设c b a 、、所对的角分别为A 、B 、.C 则C 是直角，A 为锐角，于是
,cos ,sin c
b A
c a A ==且,1cos 0,1sin 0<<< 于是有1cos sin cos sin 22=+<+A A A A n n 即 ,1)()(<+n n c b c a 从而就有 .n n n c b a <+ （3）问题转化的训练 数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转