《二次根式》培优专题一精编版

二次根式培优专题

、【基础知识精讲】

1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。

3. 同类二次根式：

二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：

（1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ）

5. 二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式

的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。

JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）.

\ b

（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因

式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 ,

.8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub .

（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘

法公式，都适用于二次根式的运算.

（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.

6. 双重二次根式的化简：

二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是：

设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U

a 2、

b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2

如：要化简5 —26,??? 2, 3=5, 2 3=6 /? 5 —2~6 =、（—2 —一3）2「3 —、、2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是 2 —.3

二、【例题精讲】

类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）

1、下列各式中，不是二次根式的是（）

A.45 B . C . . 14 D

J2x _1

2、二次根式二孕丄有意义时的X的取值范围是 ___________________________

x -4

3、已知：y = . x ■ 2 ：【，：..：一x —2 ________________ 1，贝U （x y）2001= 。

类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）

1、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a-1|+ ..（a匚2）2= _______

-..?.'■（图1）

2、把-4.、3的根号外的因式移到根号内得 ___________ ;

3、化简：—xj_g = _____________ ;

4、化简、；(3 - 7)2 2 . ( 7 -5)2：(2 - . 7)2-

5、化简./7 - 2 ；6 = _______ 。

6、代数式3 - 4 - x2的最大值是______________ ，类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）

把3.1 , 2-..3 , 1 ,27 , ；、75按由大到小的顺序排列为：_____________________

类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）

1、若a =2，3 , b =2 - .3 , 则a与b的关系是（)

A .互为相反数；B.互为倒数； C.互为负倒数；D.以上均不对。

1 + 1 + 1 ■■

■?■?? 4+ 1

2、计算：12 .2:3 3 499 ,100

【同步练习】

?、选择题（每小题 3分，共30分） 下列说法正确的是（ ）

若寸a? = —a ，则 a<0 B .若%；a? = a,则a > 0

二次根式3：2（m ?3）的值是（）

3.2

B . 2.3

C . 2.2

3.

化简 | x — y | x 2 （x ：：： y ：：： 0）的结果是（ y - 2x B . y C . 2x - y

a

是二次根式，则a , b 应满足的条件是

b

把mJ -------- 根号外的因式移到根号内,

V m

B .

-、m

F 列各式中，一定能成立的是（

二、填空题（每小题 3分，共30 分） 11.若?. x-5不是二次根式，则 x 的取值范围是 12 . (2005 ?江西)已知 a<2, .(a-2)2

二

13 .当x=. 时，二次根式■. X * 1取最小值，其最小值为 ____________

14 .计算： 12" 27

18 二 ______ ; （3. 48 -4.27 亠 2.3） = _______

15 .若一个正方体的长为 2 6cm ，宽为3cm ，高为2cm ，则它的体积为 _____________ Cm ' 16 .若 y = x-3

3-x 4，贝U x y= ___________

17 .若 3的整数部分是a ,小数部分是b ,^ U\3a -b 二 _____________ 18 .若..m （m -3） = m , m -3，贝U m 的取值范围是 ____________

a ,

b 均为非负数 B . a , b 同号 a >0, b>0

_0

(2005 ?湖北武汉) -a \ -ab

已知 a

C . a , ab 一- a 3b 的正确结果是（

D . a 「一 ab

A . C. ■ 2

---------------- 2

■ （-2.5） =（、2.5）

、x 2 -2x 1 =x-1

若x+y=0 ,则下列各式不成立的是（

x 2 - y 2 = 0 B . 3. x 3 y = 0 当x - -3

时，二次根m2

、

2

B .鱼

2

.18 x =10，则 x 等于（）

10 .已知 X 2 2 B . ± 2

=(?

a)2

■■.a 2 .2 _ 9 = Jx - 3

C . ■ x 2 y 2 二 0

D .、x . y 二 0

x 5x 7式的值为 5 , 则m 等于()

C.-

5

D .

D . 5的平方根是5

得（

19

.

20.已知a, b, c 为三角形的三边，则(a?b-c)2? (b-c-a)2? . (b ? c - a)2=

化简21.（前5题每小题6分,

2〔1 18电

\2 23.

25.已

知:

2 2 ，求x ￡3—1

26.已

知: 27

、

后两题每题7分, 共44分）

22.

24.

-X ? 1的值。

y = 1 -8x 8x -1

阅读下面问题:

1 (

2 1) 1 .2 ( . 2 1)(、2 -1)

3 — 2

3 .2 (一3 、2)(、3 - 2) 试求：⑴1的值;

<7 +V6

(5 48 _ 6.27 4.. 15)「3

,18 G. 2 1)J (-2)，

X y 2- y x y -2的值。

y

「3一?2; 1二5-2

丁5+2 (丁5 +2)((5 -2)

1的值;

3.2 . 17

=.5 -2

⑶_____ 1（n为正整数）的值。

.n 1 ■ n

【培优练习】

?、二次根式的非负性

1 ?若 2004 —a + Ja —2005 = a ，贝U a —2004

2 = __________ 2?代数式2x —3—J4x —13的最小值是 _________________

4. 若 m 适合关系式 3x 5y - 2 - m 、2x 3y-m = x-199 y . 199-x-y ，求 m 的值.

、二次根式的化简技巧 （一）构造完全平方

化简得，1 +4 +一1_2

=

\ n (n +1)

________________

2 .化简：y23、2y-5-y-2.2y-5 .

3.化简.,6 ? .8 ?

12，24 .

3.已知y - . x -8 ?.一8 -x 18，求代数式

2xy x.. y _ y. x

的值.

1、由1丄- n 1

2- (n 1)

2 2 2

1 . n (n 1)

1 . 2n 2n 1 1 . 2n(n 1) . 1

—I 2

2

_ 1

2 2

_ 1

2

2

2

2

n (n +1)

n (n +1)

n (n +1) n (n +1)

=1 2

1 1

n(n 1)

[

n (n 1)

（拓展）

计算计弓弓弓吋弓专*…十乩金

- 6.6 - 4.2

3 ”2

(二) 分母有理化

111 1

1 .计算： ------- ■ ---------- ■ ---------- --------- --- : ---------- 的值.

3 +U3 5j3 +3J5 7 <5 +5j7 49J47 +47』49

2 .分母有理化：

艮+启+药

三、二次根式的应用 （一）无理数的分割

■' E—1的整数部分为x ，小数部分为

.5 -1

3 ?设、19-8、'3 的整数部分为a ，小数部分为b ，试求a b 1的值

b

（二）性质的应用

1.设m 、x 、y 均为正整数，且

m_ 28 二 x_ y ，贝y x y m

2.设 x = i 2 + 2 + T2 +P"

, y = 弋2\'2$"，则(

(A ) x y (B ) x y (C ) x = y (D )不能确定

3 .计算:

-2 -，3

1?设a 为.,3 ? .5 - ： 3 - 5的小数部分,

b 为；.6 ? 3,. 3 - ? 6 - 3「3的小数部分，则

---的值为（ b a

1 二

(B ) ( C )

1

j- 兀

(D) 2 - 3 ——

8

2 ?设 2

1 2

y ，试求x xy y 的值.

2

（三）有二次根式的代数式化简

已知.xC. x 2、y）?y（6、x 5 y），求

，求

1-2汀『一為\2a+1的值2,3 a -1 a - a

5 .已知：a , b 为实数，且b = "a一2+￥一a.求（J2 b+a *2 b a 2的值. a+J2

x「x

y-y的值.

2x ,xy 3y

已知、x i x y =3、. y x 5 y，求2x , xy 3y

的值。

3 .已知: x y 2 xy

的值x y

4 .已知a

.8.7