费业泰误差理论与数据处理课后答案全

《误差理论与数据处理》练习题

参考答案

第一章 绪论

1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？

【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的

绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。

相对误差=

0.3

100%0.3%100.5

-?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2

（h 1

+h 2

）/T 2

给定。今测出长度（h 1

+h 2

）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1

+h 2

）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2

，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1

+h 2

）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。

由2

1224()g h h T

π=+,得：

22

2

4 1.042309.81053(/)2.0480

g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：

22

12121223122

1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T

h h T T T

T

h h h h T T

πππ???=?++?=?+-+??+??=

?+-+

22

23224842()g g g h T h h T

h T T T

T h h T T

πππ???=?+?=?-????=?-

g 的最大相对误差为：

2

222

2

2

2212

4422[]

[]244()

0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480

T T h h h h g h T

T T T T g

h T

h h h T T

ππππ???-

?-???==

=-+±?±=-?≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ?<

也即 21212242[()()]0.001T

g h h h h T T

π??=?+-

+< 22

420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106

T

T T π?±-?<±-?< 求得：

0.00055()T s ?<

1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的

示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？

【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：

2

2%100

m m m U r U =

== 由于： 2%<2.5% 所以该电压表合格。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：

多级火箭的相对误差为：

射手的相对误差为：

%001.000001.010000

1

.0==%002.00002.05001.0501===m

m

m cm

多级火箭的射击精度高。

附加1－1 测得某三角块的三个角度之和为180o

00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：

绝对误差等于： 相对误差等于：

21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈='

''

'''??''=''＝o

第二章 误差的基本性质与处理

2-2. 试述单次测量的标准差σ和算术平均值的标准差x

σ-，两者物理意义和实际用途有何

不同？ 【解】

单次测量的标准差σ表征同一被测量n 次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。222

12n n

δδδσ+++=

算术平均值的标准差x

σ-是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可

作为算术平均值不可靠性的评定标准x

n

σ

σ-=

在n 次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1

n

，当测量次数n 愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。

2-3. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在2,2σσ??-+??

中的概

率。 【解】（1）误差服从正态分布时

222222(2)

(2)

20

1

2(2)22P e

d e

d δδσ

σ

σσσ

σδδσπ

σπ

-

-

+-±=

=

?

?

引入新变量t:,t t δ

σ

δσ==,经变换上式成为： 22

2

(2)2()20.41950.8484%2t t P e

dt t σσπ

-

±=

=Φ=?==?

（2）误差服从反正弦分布时

因反正弦分布的标准差为：2

a

σ=，所以区间[]2,2,a a σσ??-+=-??

,

故: 2

2

1

1(2)1a

a

P d a σδπδ

+-±=

=-?

（3） 误差服从均匀分布时

因其标准差为：3

a

σ=，所以区间222,2,33a a σσ????-+=-

????

?

?

，故 2

323

1

112(2)20.8282%223

a a P d a a a σδπ

+

-±=

=??==?

2-4. 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g ）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，

236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。

【解】①选参考值0236.00x =，计算差值236.00i i x x ?=-、0x ?和残差i v ?等列于表中。

或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： 8

1

1236.43()8i i x x g ===∑

②计算标准差：用贝塞尔公式计算：21

0.0251

0.06()1

81

n

i

i v

g n σ==

=

=--∑ 0.06

0.028

x

n

σ

σ-

=

=

= 2－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40，

168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解：

)(49.1685

5

1

mA I

I i i

==

∑=

5

1

()

0.0851i

i I

I σ=-=

=-∑ 0.08

0.045

x

n

σ

σ-=

=

= 5

1()

22

0.080.053

51

3

i

i I

I ρ=-≈

=?=-∑ 0.67450.02x R σ-==

5

1

()

4

4

0.080.065

51

5

i

i I

I θ=-≈

=?=-∑ 0.79790.03x T σ-==

2—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，

20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解：

①求算术平均值

②求测量列单次测量的标准差

用贝塞尔公式计算：2

841

2610 2.551014

n

i

i v

mm n σ--=?=

==?-∑ 用别捷尔斯公式计算：41

0.0008

' 1.253 1.253

2.2410(1)

54

n

i

i v

mm n n σ-====?-?∑ ③求算术平均值的标准差

4

42.5510 1.14105

x mm n σ

σ--?==?＝

mm

n l x n

i i

0015.201==∑

=

4

'

2.2410'5

x n σσ-?==＝0.0001

④求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差

做法1 ：

因n ＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t 分布处理。 现自由度为：ν＝n －1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：t α＝4.60 单次测量的极限误差：

433lim 4.60 2.5510 1.17310 1.1710x t mm αδσ---=±=±??=?≈?

算术平均值的极限误差：

44lim 4.60 1.1410 5.2410x x t mm αδσ--=±=±??=?

⑥写出最后测量结果

做法2 ：

因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查正态分布积分表，得置信系数 2.6t = 单次测量的极限误差：

44lim 2.60 2.5510 6.63100.00066x t αδσ--=±=±??=?≈

算术平均值的极限误差：

44lim 2.60 1.1410 2.964100.0003x x t αδσ--=±=±??=?≈

⑥写出最后测量结果

()lim 20.00150.0003L x x mm δ=+=±

2－10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有

0015.0≤±=±n

t

t x σ

σ

根据题目给定得已知条件，有

5.1001

.00015

.0=≤

n

t

()

mm

x x L 4lim 1024.50015.20-?±=+=δ

查教材附录表3有

若n ＝5，v ＝4，α＝0.05，有t ＝2.78，

24.1236

.278

.25

78.2==

=

n

t 若n ＝4，v ＝3，α＝0.05，有t ＝3.18，

59.12

18

.34

18.3==

=

n

t 即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-11 已知某仪器测量的标准差为0.5μm 。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm ，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm ）为26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。 解：① 单次测量的极限误差以3σ计算:

lim 330.5 1.5()0.0015()x m mm δσμ=±=±?=±=±

所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015 (mm) ② 重复测量10次，计算其算术平均值为：10

1

26.2025()i

i x x

mm ==

=∑

取与①相同的置信度，算术平均值的标准差: 0.0005

10

x n

σ

σ=

=

?-4＝1.5810mm lim 33 4.745x x δσ=±=±??=?≈?-4-4-41.58101010mm

则测量结果为：326.20250.0005x x σ±=± (mm)

③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值026.202x =，计算差值26.202i i x x ?=-、0x ?和残差i v 等列于表中。

用贝塞尔公式计算：2

841

4210 2.2101101

n

i

i v

mm n σ--=?=

==?--∑ 算术平均值的标准差：42.21010

x mm n σ

σ-?==＝0.00007 取与①相同的置信度，则测量结果为：3i x σ± 此时①的测量结果为

26.202530.0002226.20250.0006626.20250.0007±?=±≈±(mm)；

②的测量结果为

26.202530.0000726.20250.0002126.20250.0002±?=±≈± (mm).

2-13 测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，α2=24°13’24”，其标准差分别为σ1=3.1”，σ2=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。

【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。

1222

22

12

1

1

1111::

::19044:9613.113.89.61190.44

p p σσ=

=

== 取： 1219044,961p p ==

选取02413'36''α=?，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：

101

190440961(12'')

2413'36''19044961

2413'35.4''

m

i i

i m

i

i p p

α

αα==?+?=+

=?+

+=?∑∑ 加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差：

120.6'',11.4''v v ==-

算术平均值的标准差为：

2

221

1

190440.6961(11.4) 6.6''(21)(19044961)

(1)m

i xi i x m

i

i p v

m p σ==?+?-=

==-+-∑∑

2-15. 试证明n 个相等精度测得值的平均值的权为n 乘以任一个测量值的权。

【证明】因为等精度测量，可设n 个测得值的标准差均为σ，且其算术平均值的标准差为：x n

σ

σ=

又设各测量值的权相等，即：120i p p p p ==???==???=。n 个相等精度测得值的平均值的权为x p ，则：n 个相等精度测得值的平均值的权x p 与各测得值的权

(1,2...)i p i n =的比为22

1

1

1

::

::1x i x i n p p n σσσσ

=

=

=

x i p np ∴=

2-17 对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 解：先计算算术平均值：14.96x =。各测量数据的残余误差分别为：

123456789100.260.040.240.160.540.36

0.06

0.16

0.14

0.04

v v v v v v v v v v =-===-==-=-=-==

① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，

因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。 ② 采用不同公式计算标准差比较法。

按贝塞尔公式：21

10.624

0.2631

101

n

i

i v

n σ==

=

=--∑ 用别捷尔斯法计算：1

22

1.253

1.253

0.264(1)

109

n

i

i v

n n σ====-?∑ 令：

210.264 1.00410.263

σμσ===+ 因为：

22

0.6670.0041101

n μ==>>=--，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 ③ (马利科夫准则)按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值△为

510

1

6

0.4(0.4)0.8i j i j v v ==?=-=--=∑∑

两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。 ④阿卑-赫梅特准则

1

11

0.260.040.040.240.240.160.160.54

0.540.360.360.060.060.160.160.140.140.040.30560.3

n i i i u v v -+=-?+?-?-?=

=

-?+?+?-?+?=≈∑

22190.2630.21n σ-=?= 210.21u n σ>-=

所以测量列中含有周期性系统误差

（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差----这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）

2-18、对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后4次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；

50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81

试判断前4次和后6次测量中是否存在系统误差。

【解】

将两组数据混合排列，用秩和检验法有：

124,6, 5.5791031.514,30,n n T T T T T -++

===+++===>

所以有根据怀疑存在系统误差

2-19 等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V ）为25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V ）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。试用t 检验法（取α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】计算两组测量结果的算术平均值：

2

2221

1

26.00125.97110

10

1()0.00215

1

()0.00155

10

10

y i x i x x y y S y y S x x =

==

==-==-=∑∑∑∑

1010(10102)

(26.00125.971)

1.48(1010)(100.00155100.00215)

t ?+-=-=+?+?

由ν=10+10-2=18及取α=0.05，查t 分布表，得 2.1t α=

因 1.48 2.1t t α=<=，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。

2-20. 对某量进行了12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】先计算算术平均值：12

1

20.125i

i x x

-

==

=∑。各测量数据的残余误差分别为：

1234567891011120.0650.0550.0650.0450.0250.0050.015

0.015

0.055

0.055

0.085

0.065

v v v v v v v v v v v v =-=-=-=-=-=-=-=====

① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符

号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。

②(马利科夫准则)按残余误差校核法：前6个残余误差和与后6个残余误差的差值△为

0.260.260.52?=-=--=-∑∑612

i i i=1

i=7

v v

两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。 ③ 采用不同公式计算标准差比较法。

按贝塞尔公式： 21

10.0321

0.0541

121

n

i

i v

n σ==

=

=--∑

用别捷尔斯法计算： 1

20.55

1.253

1.253

0.06(1)

1211

n

i

i v

n n σ====-?∑

210.06110.110.054

u σσ=

-=-= 220.6030.111121

n μ==>=--，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 ④阿卑-赫梅特准则

1

1

1

0.02n i i i u v v

-+==

=∑ 221110.0540.01n σ-=?≈

因为：21u n σ>

-，所以测量列中含有周期性系统误差

（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）

2－21 对某量进行两组测量，测得数据如下：

试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。

解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表： T 1 2 3 4 5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 x i 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 y i

0.99

1.12

1.21

1.25

x i 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 y i

0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95

T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 x i

1.34 1.39 1.41

1.57

y i

1.31 1.31

1.38

1.41 1.48 1.50

1.59 1.60 1.60 1.84 1.95

T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174 因121510n n ==>，秩和T 近似服从正态分布，1121212(1)(1)

(

,)212

n n n n n n n N ++++

由 112(1)

(

)232.52

n n n a ++==；1212

(1)()24.1112n n n n σ++==求出： 2.43T a

t σ

-=

=-

选取概率295.0)(=t φ，即475.0)(=t φ，查教材附表1有96.1=αt 。由于αt t ≥，因此，可以认为两组数据间有系统误差。

选取置信概率99%（显著度0.01），即取()0.495t ?=，由附录表1查得： 2.60t α=。 由于 2.43 2.60t t

α

=≤=，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。

2-22 对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，

28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。

【解】将有关计算数据：平均值、残差i v 等列于表中：

直接求得15个数据的算术平均值及其标准差：

15

15

1

1

10.9803

28.57

0.265151

151

i

i i i v

x x n σ=====

=

=--∑∑

① 用莱以特准则判别粗大误差

因 40.9530.795v σ=>=，故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。 再对剩余的14个测得值重新计算，得：

14

2

14

1

1

'

1

0.0148

'28.50'0.0337141

141

3'30.03370.1011i i i i v x x n σσ===

===

=--=?=∑∑

由表知第14个测得值的残余误差：(14)'0.1730.1011v σ=>=，故也含粗大误差，应剔除。

再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。

② 用格罗布斯准则判别 已经计算出15个测量数据的统计特征量：28.57,0.265x σ==。

将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：

(1)(1)(15)(15)28.40,28.5728.40.1729.52,29.5228.570.95

x x x x x x =-=-==-=-=

2-26 对某被测量x 进行间接测量得：2 1.44,3 2.18,4 2.90x x x ===，其权分别为5:1:1，试求x 的测量结果及其标准差？ 【解】1231.44 2.18 2.90

0.72,0.727,0.725,234

x x x =

===== 选取1235,1,1p p p ===

可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：

5010.00710.005

0.720.722511

x +?+?=+

=++

加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差：

12310.002,0.005,0.003x x x v x x v v =-=-==

算术平均值的标准差为：

22221

1

50.00210.00510.0030.002(31)(511)

(1)m

i xi i x m

i

i p v

m p σ==?+?+?=

==-++-∑∑

lim 330.0020.006

0.7220.006

x x x δσ=±=±?=±∴

=±

2-28 测量圆盘的直径(72.0030.052)D mm =±，按公式计算圆盘面积2

/4S D π=，由于选取π的有效数字位数不同，将对面积S 计算带来系统误差，为保证S 的计算精度与直径测量精度相同，试确定π的有效数字位数？ 【解】测得D 的平均值为72.003mm 由2

4

D S π=

,得：

22

2

4 1.042309.81053(/)2.0480

g m s π=?= 当D 有微小变化D ?、π有π?变化时，S 的变化量为：

2

2

2

24

3.141672.00372.0030.052(0.052)24

72.0030.052 5.88134

0.00450.004

S S D D S D D D πππ

ππ

π

π???=?+?=?+????±=?±+?±=??=±≈± π∴取4位有效数字

第三章 误差的合成与分配

3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6,44.5,11.2a mm b mm c mm ===，已知测量的系统误差为 1.2,0.8,0.5a mm b mm c mm ?=?=-?=，测量的极限误差为

0.8,0.5,0.5a b c mm mm mm δδδ=±=±=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。 【解】立方体体积：V abc =，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：

30161.644.511.280541.44()V abc mm ==??=

体积V 的系统误差为：

考虑测量系统误差后的立方体体积：

又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：

故测量结果为：3

lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±

3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ 3 。试求体积的标准差。

解：长方体的体积计算公式为：321a a a V ??= 体积的标准差应为：2

323

22222121)()()(

σσσσa V a V a V V ??+??+??=

现可求出：

321a a a V ?=??；312a a a V ?=??；213

a a a V

?=??

若：σσσσ===321 则有：2

3

2221232322222121)()()()()()(

a V a V a V a V a V a V V ??+??+??=??+??+??=

σσσσσ 221231232)()()(a a a a a a ++=σ

若：321σσσ≠≠ 则有：232212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++=

3-4 测量某电路的电流22.5I mA =，电压12.6U V =，测量的标准差分别为

0.5,0.1I U mA V σσ==，求所耗功率P UI =及其标准差P σ。

【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：

312.622.5100.2835P UI W -==??=

322.51012.6P

P

I U U

I

-??==?==?? 且U 、I 完全线性相关，故P=1，所以

2222322232333(

)()2(22.510)0.112.6(0.510)222.51012.60.10.5108.5510()

P U I U I P P P P U I U I

W σσσρσσ-----????=++????=?+??+??????=? 若电压、电流的测量结果相互独立，则所耗功率标准差为

2222

22323233(

)()()()(22.5100.1)(12.60.510)36.69500625106.6910()

P U I U I P P I U U I

W σσσσσ----??=+=+??=??+??=+?=?

3-6 已知x 与y 的相关系数1xy ρ=-，试求2

u x ay =+的方差2

u σ。

【解】属于函数随机误差合成问题。

3-12 按公式V=πr 2

h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为

3222.25120214.3cm h r V =??=??=π

根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：

%1=V

σ

即51.2%12.251%1=?=?=V σ 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：

cm hr r V r 007.021

41.151.2/12

==??=

πσ

σ