2.2微分中值定理

§2.2 微分中值定理

一、罗尔定理 设函数()f x 满足

（1）在闭区间［a ,b ］上连续； （2）在开区间（a ,b ）内可导； （3）()()f a f b =.

则至少存在一点()a b x ?，，使得()0f x ￠=.

几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在(,())A a f a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包括点A 和点B ］.

条件（2）说明曲线()y f x =在A ，B 之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线［不包括点A 和B ］

条件（3）说明曲线()y f x =在端点A 和B 处纵坐标相等。

结论说明曲线()y f x =在A 点和B 点之间［不包括点A 和B ］至少有一点，它的切线平行于x 轴。

注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式

（1）()()k

F x x f x =（加法） （2）()

()k

f x F x x =

（加法） （3）()()kx

F x f x e =（函数加导数）

【例1】设()f x 在[]0，3上连续，在()0，3内可导，且()()()0123f f f ++=，

()31f =，试证：必存在()ξ∈0，3，使()0f ξ'=。

证 ()f x Q 在[]0，3上连续，()f x ∴在[]0，2上连续，且有最大值M 和最小值m ,

于是(0)m f M ≤≤；(1)m f M ≤≤；(2)m f M ≤≤，

故[]1

(0)(1)(2)3

m f f f M ≤

++≤。 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[]c ∈0，2，使得

()[]1

(0)(1)(2)13

f c f f f =

++= 因此()()3f c f =，且()f x 在[]c ，3上连续，()c ，3内可导，由罗尔定理得出必存在()()03ξ∈?c ，3，，使得()0f ξ'=。

【例2】 设()f x 在[]0，1上连续，在()01，内可导，且()()2

3

1

3

0f x dx f =?.

求证：存在()0，1x ?使()0f x ￠

= 证 由积分中值定理可知，存在轾

?犏臌

2,13c ，使得()()2

3

1

213f x dx f c ??

=- ???

?

得到 ()()23

1

3

(0)f c f x dx f ==?

对()f x 在[]0c ，上用罗尔定理（三个条件都满足）， 故存在()

0(01)c ，，x 翁，使()0f x ￠=

【例3】（07）设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=。

分析：令()()()()F x f x g x F x =-?在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，在题设条件下，要证存在(,)a b ξ∈，()0F ξ''=。已知()()0F a F b ==，只需由题设再证(,)c a b ?∈，

()0F c =。

证明：由题设11[,]

(,),max ()()a b x a b M f x f x ?∈==，

22[,]

(,),max ()()a b x a b M g x g x ?∈==。

若12x x =，取12c x x ==，则()0F c =。

若12x x ≠，不妨设12x x <，则111()()()0F x f x g x =-≥，222()()()0F x f x g x =-≤ 12[,]c x x ??∈，()0F c =

由()()()0F a F c F b ===，对()F x 分别在[,]a c 和[,]c b 用罗尔定理

12(,),(,)a c c b ξξ??∈?∈，使得12()()0F F ξξ''==。

再对()F x '用罗尔定理12(,)(,)a b ξξξ??∈?，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=。 二、拉格朗日中值定理 设函数()f x 满足

（1）在闭区间[]a b ，上连续； （2）在开区间()a b ，内可导。 则存在()a b ξ∈，，使得

()()

()f b f a f b a

ξ-'=-

或写成()()()()()f b f a f b a a b ξξ'-=-<<

有时也写成()()()()00001f x x f x f x x x θθ'+?-=+??<

几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在点()()

A a f a ，和点()()

B f b b ，之间［包括点A 和点B ］是连续曲线。

条件（2）说明曲线()y f x =［不包括点A 和点B ］是光滑曲线。

结论说明曲线()y f x =在A 、B 之间［不包括点A 和点B ］至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。

推论1 若()f x 在()a b ，内可导，且()0f x '≡，则()f x 在()a b ，内为常数。 推论 2 若()()f x g x ，在()a b ，内皆可导，且()()f x g x ''≡，则在()a b ，内

()()f x g x c =+，其中c 为一个常数。

推论3 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则

000(1)()(),(,)

()()([,])(2)[,],()()

f x

g x x a b f x g x x a b x a b f x g x ''=∈?=∈??

?∈=? （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当()()f a f b =时的特殊情形，就是罗尔定理）

【例1】 设不恒为常数的函数()f x 在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，且

()()f a f b =，证明()a b ，内至少有一点ξ，使得()0f ξ'>.

证 由题意可知存在(,)c a b ?使得 ()()()f c f a f b ≠=

如果()()f c f a >，则()f x 在[]a c ，上用拉格朗日中值定理存在1(,)a c x ?，使

()1()()

0f c f a f c a

ξ-'=

>-

如果()()f b f c >，则()f x 在[]c b ，上用拉格朗日中值定理存在2(,)c b x ?，使

()2()()

0f b f c f b c

ξ-'=

>-，

因此，必有(,)a b x ?，使得()0f ξ'> 成立.

【例2】 设()0f x ''<，(0)0f =，证明对任意10x >，20x >恒有

1212()()()f x x f x f x +<+

证 不妨假设12x x ￡，由拉格朗日中值定理有

①1111()()(0)(0)()f x f x f x f x ￠

=-=-， 110x x << ②[]1221222()()()()f x x f x x x x f x ￠+-=+-，2212x x x x <<+，从而可知

12x x <，

∵()0f x ⅱ

<，∵()f x ￠单调减少，于是12()()f f x x ⅱ> 这样由①②两式可知 1122()()()f x f x x f x >+- 因此，1212()()()f x x f x f x +<+ 成立. 【例3】(04)设2

e a b e <<<，证明22

2

4

ln ln ()b a b a e ->

-. 分析：即证

222ln ln 4

()b a b a e

->-，符合拉格朗日中值定理。 证明：令2

()ln f x x =，在[,]a b 上用拉格朗日中值定理得

22()()ln ln ln ()2f b f a b a f b a b a ξ

ξξ

--'===--，

其中2

(,)(,)a b e e ξ∈?。注意到ln ()x

x x

?=， 则2

1ln ()0()()x

x x e x x

??-'=

<>?在(,)e +∞单调下降 22

22ln ln 2()()e e e e ξ

?ξ?ξ?=>==，因此222ln ln 4

()b a b a e

->-。

解法二 引入辅助函数，利用函数单调性

三、柯西中值定理

设函数()f x 和()g x 满足： （1）在闭区间[]a b ，上皆连续；

（2）在开区间()a b ，内皆可导且()0g x '≠。则存在()a b ξ∈，使得

()()()()()

()

(

)f b f a f a b g b g a g ξξξ'-=<<'- （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形()g x x =时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）

几何意义：考虑曲线?AB 的参数方程()()[]x g t t a b y f t =??∈?=??，，点()()()A g a f a ，，点()()()B g b f b ，曲线?

AB 上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB 。

值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理

最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。

【例1】 设()f x 在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，且0b a >>，证明：存在

(,)a b x ?，(,)a b h ?使()

()2a b f f x h x

￠+￠

=g 证 考虑柯西中值定理（()g x 待定）

()()()()()()

()()()()f f b f a f b a g b g a g b g a g x h x ⅱ--==￠-- 最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.

再把欲证的结论变形，

()()()()

222f f f b a a b b a

x h h x ⅱ?-==+- 两式比较，看出令()2g x x =即可.

类似地，欲证()()2223f b ab a f x h x

￠

++￠=

g ，则取()3g x x =即可 四、泰勒定理（泰勒公式）

定理1 （皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设()f x 在0x 处有n 阶导数，则有公式

()()()()()()()()()()

200000001!2!!n n

n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L

()0x x →

其中()()()00n

n R x o x x x x ??=-→??称为皮亚诺余项。()

()00lim

0n n x x R x x x →??= ? ?

-??

前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n ，所以对常用

的初等函数如sin cos ln(1)(1)x a

e x x x x ++，

，，和（a 为实常数）等的n 阶泰勒公式都要熟记。

定理2 （拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）

设()f x 在包含0x 的区间()a b ，内有1n +阶导数，在[]a b ，上有n 阶连续导数，则对[]x a b ∈，，有公式

()()()()()()()()()()200000001!2!!

n n

n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L

其中()()()()()1

1

01!

n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在0x 与x 之间）称为拉格朗日余项

上面展开式称为以0x 为中心的n 阶泰勒公式。当00x =时，也称为n 阶麦克劳林公式。 如果()lim 0n n R x →∞

=，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。

【例1】 设函数()f x 在[]01，上二阶可导，

且()()()0010f f f ''===，()11f =.

求证：存在()0，1x ?，使得()4f x ⅱ3

证 先把()f x 在0x =处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式

()()()()211

002!

f x f f x f x ξ'''=++

1(0)x ξ<< 再把()f x 在1x =处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式

()()()()()()2

2111112!

f x f f x f x ξ'''=+-+

- 2(1)x ξ<< 在上面两个公式中皆取1

2

x =

则得 ()111

28

f f ξ??''= ??? 11(0)2ξ<<

()211128f f ξ??

''=+ ???

21(1)2ξ<<

两式相减，得()()128f f ξξ''''-=，于是12()()8f f x x ⅱⅱ+? 因此 {}12max

(),()4f f x x ⅱⅱ3

亦即证明存在()0，1x ?，使 ()4

f x ⅱ3。

用泰勒公式求极限

【例1】 求3

501

sin 6lim x x x x x

→-+. 解 ∵35

5sin ()3!5!

x x x x o x =-

++ （当0x →时） ∴原式＝5

550()

11

5!lim 5!120

x x o x x →+==