线性代数期末总复习

第一章

P3：定义1.3 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．排列

12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ.

例1 排列 31542 的逆序数. 解 3排在首位，逆序数为0;

1的前面比1大的数有一个数3，故逆序数为1; 5是最大数，逆序数为0;

2的前面比2大的数有三个数3，5，4，故逆序数为3;

4的前面比4大的数有一个数5，故逆序数为1，故这个排列的逆序数(31542)τ=0+1+0+3+1=5.

P11：定义1.7 在n 级行列式det()ij a 中将元素ij a 所在的第 i 行与第 j 列划去，剩下2(1)n -个元素按原位置次序构成一个1n -级的行列式，

111,1

1,1

1,11,11,1,11,

11,

,1,

j j

n i i j i j

i n ij i i j i j i n

n n j n

j nn

a a a

a a a a a M a a a a a a a a -+----+

-+++-

称之为元素ij a 的余子式．令(1)i j ij ij A M +=-, 称ij A 为元素ij a 的代数余子式．

P15：例1.11 计算行列式

.n a b b b b

a b b d b

b a

b b b

= 解把n d 第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列,行列式也不变

……直到第n 列也加到第一列，即得

12(1)(1)(1)n

a n b

b b a n b

a b d c c c a n b

+-+-++

++-

((1))a n b =+-11

b b a b b b a b b

((1

)

a n

b =+-100000000

b b b a b a b a b

--- 1

((1))()

n a n b a b -=+--

第二章：

P40：定义2.12 如果存在F 上不全为零的数12,,

,s k k k (1)s ≥使

11220s s k k k ααα+++=, 则说向量组12,,,s ααα线性相关; 如果向量组12,,

,s ααα不线性相关，则说向量组12,,,s ααα线性无关. 换句话说，对于一个向量组12,,

,,s ααα若由

11220s s k k k ααα++

必有120s k k k ==

==,则说向量组12,,

,s ααα线性无关.

例2.4 判断向量组 123(1,2,3),(2,1,0),(1,7,9)ααα=-==-是否线性相关，若线性相关，求一组非零数123,,,k k k 使1122330.k k k ααα++=

解设1122330,k k k ααα++=即有方程组

1231231320

270390

k k k k k k k k ++=??

-+-=??+=?

，解之得13

33,k k k k =-??

=?3k 为任意数

令31,k =则有1233,1,1,k k k =-==使1122330.k k k ααα++=所以123,,ααα线性相关. 例2.5 已知向量组123,,ααα线性无关，向量112,βαα=+223,βαα=+

331,βαα=+证明 123,,βββ线性无关.

证明设 1122330,x x x βββ++= 带入后合并，得

131122233()()()0x x x x x x ααα+++++=

由于123,,ααα线性无关，于是有

13122

3000

x x x x x x +=??

+=??+=? 解之得1230.x x x === 所以123,,βββ线性无关.

p42：定义2.13 设12,,,s ααα为n F 中的一个向量组，它的一个部分组12,,,r i i i ααα若满

足

i) 12,,,r i i i ααα线性无关；

ii) 对任意(1)j j s α≤≤可由12,,

,r i i i ααα线性表出；

则称12,,

,r i i i ααα为向量组12,,

,s ααα的一个极大线性无关组，简称为极大无关组.

一般一个向量组有多个极大无关组. 只有当向量组本身线性无关或者是由线性无关向量组添加零向量组成的向量组时极大无关组才唯一.

一个向量组和它的任一极大无关组等价，由等价的对称性和传递性，一个向量组的任意两个极大无关组都等价，由推论3.1可得

推论2.3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量.

定义2.14 向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩.

因此,等价向量组必有相同的秩.

由定义可得，一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；即一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数. 推论2.4 若向量组12,,

,s ααα可经向量组12,,,t βββ线性表出，则秩12{,,

s ααα≤秩12{,,,}t βββ

如果我们用向量12(,,

,,)i i i in i a a a b α=表示1122i i in n i a x a x a x b ++

1,2,

,i s =，则与12,,,s ααα等价的向量组确定的线性方程组与原方程组同解.

例4 设12(1,1,2,4),(0,3,1,2)αα=-=，3(3,0,7,14)α=，4(1,1,2,0)

α=-5(2,1,5,6)α=， 1）证明 12,αα线性无关. 2）把12,αα扩充成一个极大无关组.

解 1) 由于12,αα不成比例，12,αα∴线性无关.

2) 由1122330,k k k ααα++= 即

1312

123123303027042140

k k k k k k k k k k +=??-+=??++=??++=?

解得132333,,k k k k k =-=-为自由未知量. 123,,ααα∴线性相关. 由1122340,k k k ααα++=即

13123

12312

0310220420k k k k k k k k k k +

=??-+-=??++=??+=?

解得 1230k k k ===, 124,,ααα线性无关，又5124αααα=++，1245,,,αααα线性相关，故124,,ααα为由12,αα扩充的一个极大无关组。

P43：定义2.15 设

()11121121

222212

n n n s s sn s a a a a a a A a a a ααβββα???? ? ? ? ?

=== ? ? ? ?????

这里12(,,,),(1,2,

,)i i i in a a a i s α==12,(1,2,

,)j j j sj a a j n a β?? ? ?

== ? ? ???

A 的行向量组12,,,s ααα的秩称为矩阵A 的行秩；A 的列向量组12,,,n βββ的秩称为矩阵

A 的列秩.

例1 矩阵

132204060A ??

?= ? ???

A 的行向量组中，2132ααα=+，A 的列向量组中，312ββ=，所以， A 的行秩=A 的列秩=2.

P48：设有线性方程组

111122*********

1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x

a x

b +++=??+++=????+++=

? (1)

它的系数矩阵和增广矩阵分别为

1112

2122

212,n n s s sn a a a a a a A a a a ??

?= ?

???111211

2122

12n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ?? ? ?= ? ???

定理 2.7 线性方程组(1)有解的充要条件是(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即

()().R A R A =

当 (1) 有解时，若()(),R A R A n ==则(1)有唯一解；若()()R A R A n =<则(1)有无穷多个解.

P51：定义2.17 齐次线性方程组(1)一组解向量12,r ηηη,,,若满足 1） 12,r ηηη,,线性无关；

2） (1) 的任一解向量可由12,r ηηη,,线性表出. 则称12,r ηηη,,为(1)的一个基础解系．

定理2.8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n r -，其中n 是未知量的个数，().r R A = 证明若()R A r n =<, 不妨设

111212122

0,r r r r

a a

a a a a a a a ≠

则(1)可改写成

11112211,11121122222,1121122

,11r r r r n n r r r r n n

r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

++++++++???+=---??

++???+=---??

?++???+=---? (2) 用n r -组数(1,0,

,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)

代入自由未知量12(,,,)r r n x x x ++,

就得到(2)的n r -解，也即(1)的n r -个解 .

111121221222--,1-,2-,(,,,,1,0,,0)

(,,,,0,1,,0)(,,,,0,0,,1)r r

n r n r n r n r r c c c c c c c c c ηηη=??=??

??????????????

?=?

12,,,n-r ηηη是线性无关向量组的延伸组, 因而是线性无关的

任取(1)的一个解12(,,

,),n c c c η= 由12n r ηηη-,,,是(1)的解，得

111(,,,,,,)

r n

r r n c c c c ηη+-+++=***也为(1)的解，它与η的最后n r -个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解．故

11r n n r c c ηηη+-=++……,即η可由12,n r ηηη-,，线性表出.

所以12,,

,n-r ηηη为(1)的一个基础解系．

推论2.7 任一线性无关的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系．证明设12,,

,t ηηη为(1)的一个基础解系，12,,,s ααα线性无关，且与12,,,t ηηη等

价，则,s t =且i α可由12,,,t ηηη线性表出，所以i α也为(1)的解向量(1,2,

,).i t =任取(1)

的一个解向量η,则η可由12t ηηη，，，线性表出，从而η可由12,t ααα,,线性表出. 所以

12,t ααα,,也是(1)的基础解系.

例1 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n －r 个线性无关的解向量都是(1)的基础解系．证明设12,,

,,n r ηηη-为(1)的一个基础解系，12,,

,n r ααα-为(1)的 n-r 个线性无关的解

向量，考察向量组1212,,,,,,

,n r n r ηηηααα--可知它的秩为

n -r .

1212,,,,n r n r ηηηααα--与,,都是向量组1212,,,,,,,n r n r ηηηααα--的极大无关组.

1212,,

,,n r n r ηηηααα--故与,,等价. 由推论3.7得结论.

齐次线性方程组解的结构: 若12t ηηη,,,为齐次线性方程组(1)的一个基础解系，则(1)的通解（或一般解）为1122t t k k k ηηηη=++

12t k k k F ∈,,,, 令1122{|,1,

,}t t i W k k k k F i t ηηη=++

+∈=,则W 就称为齐次线性方程

组(1)的解空间．

例2 求齐次线性方程组的基础解系．

123412341

2340

253207730

x x x x x x x x x x x x +--=??

-++=??-++=? 解对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵

111125327731A --?? ?=- ?

?-??

11110754014108--??

?→- ? ?-??111107540000--??

?→- ? ???

77547

710010000--?? ?→-- ? ??

原方程组的解为

134

23423775477x x x x x x ?

=+???

?=+??

令341,0,x x ==得5

217

7(,,1,0)η=,令340,1,x x ==得34277(,,0,1)η=,原方程的基础解系为12,.ηη

求基础解系的一般方法

第一步：对方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换，将A 化为行阶梯形矩阵．

1,112,12,11000100

010000000

0r n r n r r rn c c c c A c c +++?? ? ? ? ?????→ ? ? ? ? ??

初等行变换

若前r 列线性相关，则可以作适当列交换，并记住交换的列.

第二步：写出方程组(1)的一般解：

11,11122,112,11r r n n

r r n n

r r r r rn n

x c x c x x c x c x x c x c x ++++++=---??=---??

??=---

? 11,,

,r r n x x x ++为自由未知量.

第三步：用n r -组数(1,0,,0),(0,1,,0)代入自由未知量

11(,,,)r r n x x x ++，得出方程组(1)的n r -个解：

11,12,1,121,22,2,2-12(,,,,1,0,,0)(,,,,0,1,,0)

(,,,,0,0,,1)

r r r r r r r r n r

n n rn c c c c c c c c c ηηη++++++=---??

=---??

??????????????

?=---? 向量组12n r ηηη-,,,即为方程组(1)的一个基础解系.

例3 求齐次线性方程组的基础解系．

12341

234340

22560x x x x x x x x +++=??

+++=? 113411341102225600120012A -??????=→→ ? ? ?--??????

10120102x x c c ?-?????→ ???

124

422x x x x x =-+??=-?

分别令 24(,)(1,0)x x =，24(,)(0,1)x x = 得到基础解系 (1,1,0,0)-，(2,0,2,1)- . 把线性方程组

1111221

21122222

1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x

a x

b +++=??+++=????+++=

? (3)

的常数项换成0, 就得到齐次线性方程组 (1) ,并称方程组 (1)为(3)的导出组．

第三章

P71：定义3.7 设A 为n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，则称A 为可逆矩阵，B 称为A 的逆矩阵.

可逆矩阵A 的逆矩阵是唯一的，事实上，若AC =CA =E ，则 C =CE =C (AB )= (CA )B =EB =B A 的逆矩阵记作1.A -

逆矩阵的唯一性是我们证明其它性质经常要用到的.

定理3.2 1) 可逆矩阵A 的逆矩阵1

A -是可逆的，且11()A A --= 2) 若A ，

B 都可逆，则AB 可逆，且111()AB B A ---=

证明 1) 1111()A A A A E ----==，由逆矩阵的唯一性，得11()A A --= 2) 111()AB AB B A AB E ---==，由逆矩阵的唯一性，得111()AB B A ---=

例3.9 判断矩阵A 是否可逆，若可逆，求其逆.

1) 123221343A ??

= ? ???

;

解 1) 123

22120343A ==≠, A 可逆. 再由1121312,6,4,A A A ===-

1222323,6,5,A A A =-=-=1323332,2, 2.A A A ===-有

12641365.2222A A A --?? ?==-- ? ?

-??

例3.16（P81）

P72：定义3.8 设ij A 是矩阵()ij n n A a ?=中元素ij a 的代数余子式，矩阵

1121112

222*

12n n n

nn A A A A A A A A A A ?? ? ?

= ? ???

称为A 的伴随矩阵.

按照行列式按行（列〉展开的公式

1122||,

k i k i kn in A k i

a A a A a A k i

=?++

+=?

≠? 1122||,

l j l j nl nj A l j

a A a A a A l j

=?+++=?

≠? 立即得出：

.1112111

21121

22212

222*

12n n n n n n nn n

nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A ???? ???

???

= ??? ???????

. ||||

||A A A E A ??

?== ? ??

同理可得*||A A A E =.

定理3.3 矩阵A 可逆的充要条件是0,A ≠且*

.A A A

证明 ""?若0,A ≠由*

AA A A A E ==，得**

A A A A E A A

所以，A 可逆，由逆矩阵的唯一性 *

.A A A

""? 若A 可逆，则有11AA A A E --==，两边取行列式，得1 1.A A E -==0.A ∴≠

定理3.4 设(),()n m m s A M F B M F ??∈∈，则 ()()min (),().R AB R A R B ≤ 证明设

()11

12121

222121

m m m n n nm a a a a a a A a a a ααα?? ? ?

== ? ???

11121121

2212s s m m ms m b b b b b b B b b b βββ???? ? ? ? ?

? ?

? ?????

11111

111111

11m

m k k k ks k k k k k m m

j j js j j j m

m nk k nk ks nk k k k k a b a b a AB b b a b a b a βααβ========???? ? ? ? ???

? ?=== ? ? ???

? ? ? ?

????

∑∑∑∑∑∑∑∑上式表明AB 的行向量为B 的行向量的线性组合， AB 的列向量为A 的列向量的线性组合. 所以 ()()min (),()R AB R A R B ≤.

这个结果可推广至多个，即，如果12

t A A A A =，则

12()min{(),(),,()}.t R A R A R A R A ≤

定理3.5 1) 若,B PA =P 可逆，则 ()()R B R A =；

2) 若C AQ =，Q 可逆, 则()()R C R A =

证明 ,B P A

= 由定理3.2，()(),R B R A ≤又P 可逆，可得1,P B A -=有()(),R A R B ≤ 故()().R A R B =

P78：定义3.10由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:

对调E 中第,i j 两行()i j r r ?，得初等方阵

101

(,)1

011i P i j j ?? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ??

行行

以数0c ≠乘单位矩阵的第i 行(),i r c ?得初等矩阵

11(())1

1P i c c i ?? ? ? ?

? ? ? ? ??

行以k 乘以E 的j 行加到第i 行()i j r kr +

1(,())1

1k i P i j k j ?? ? ? ?

? ? ? ? ??

行行. 下面我们来看一个初等矩阵和一个矩阵A 相乘后，A 发生了什么变化,.

引理3.1 对s n ?矩阵A 左乘一个s 阶初等矩阵相当于对A 作一相应的初等行变换；对A 右乘一个n 阶初等矩阵相当于对A 作一相应的列初等变换.

第四章：

P97：

可以认为，只含平方项的二次型是最简单的了

2221122n n d x d x d x +++，

它的矩阵是对角阵, 只含平方项的二次型叫做标准形.

这一节我们要讨论一个任意二次型如何作非退化线性替换化成标准形. 定理4.1 数域F 上任意二次型都可经过一系列非退化线性替换化成标准形. 例1 求二次型

()112312231312,323011(,,)262,,103130x f x x x x x x x x x x x x x x ???? ???

=-+=- ??? ???-????

的标准形.

解作非退化线性替换

112

2123

3x y y x y y x y

=+??

=-??=? 即 112233*********x y x y x y ??????

? ???=- ? ??? ? ?????????

则121212123(,,

,)2()()6()n f x x x y y y y y y y =+---1232()y y y ++

221213232248y y y y y y =--+

令 1132233z y y z y z y =-??=??=? 或1132233y z z y z y z

=+??=??=? ，

即 112233*********y z y z y z ?????? ? ???

= ? ??? ? ?????????

，

则

2221212323(,,,)2228n f x x x z z z z z =--+22221233322(2)82z z z z z =--+- 222123322(2)6z z z z =--+

再令 11223332w z w z z w z =??=-??=? 或11223332z w z w w z w

=??

=+??=?

即 112233100012001z w z w z w ??????

? ???= ? ??? ? ?????????

合起来就是

111222333110110101110110010001001001x y z x y z x y z ???????????? ? ??? ?????=-=- ? ??? ????? ? ??? ?????????????????123110101100110010012001001001w w w ???????? ???????=- ??????? ??????????????? 112233113111001w w w P w w w ?????? ??? ?

=--= ??? ? ??? ???????

或 1123

2123

33x w w w x w w w x w

=++??

=--??=?，则()()1112312,3212,3233011011(,,),,103,,'103130130x w f x x x x x x x w w w P P w x w ????????

??? ? ?

=-=- ??? ? ? ??? ? ?--????????

222123226w w w =-+

定理4.1 用矩阵语言来叙述就是

定理4.2 数域F 上任一个对称矩阵合同于一个对角矩阵.

定义4.4 对矩阵实行合同变换是指在实施行初等变换的同时实施同样的列初等变换，即 1)

222

1332232()228y y y y y y =---+

互换矩阵的,i j 两行，再互换矩阵的,i j 两列; 2) 以数 k (0k ≠)乘矩阵的第i 行；再以数 k 乘矩阵的第i 列;. 3) 将矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行，再将第i 列的k 倍加到第j 列（i j ≠).

设A 是对称矩阵，'P AP D =为对角矩阵，注意到

'n d d P AP d ??

?= ? ??

，EP P =，可把A 和E 写成一个2n 行n 列矩阵，在对前n 行实施行初等变换的同时实施同样的列初等变换，当把A 化为对角形矩阵D 时，E 就化成了P ，

A D

E C 'A P AP D E EP P ??????????????????→= ? ? ???????

作合同化角矩作上述合同中的初等列得对变换为对阵对仅变换变换例2 化例1中二次型的矩阵为对角形矩阵，并求合同矩阵.

解 1231223

(,,)262f x x x x x x x x x

=-+的矩阵为011103130A ??

?=- ? ?-??

211212211

2122021

1121202210310322

0130230110010010201011011000100120

01r r r r c c c c -++--??

?-???? ?-- ? ? ?-- ? ? ?-- ? ?---

????→???→ ? ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ??

??? ?

???

3231

324420020

011020022

02200611111322

1111112200100

1r r r r c c c c +-+-????

? ?

?--- ? ? ?

?-- ?

????→???

→ ? ?--

? ?

?- ? ?

? ?????

令11321

12001P ??- ?

? ?=- ?

? ? ??

，则 20111'10321306P P ????

? ?

?-=- ? ? ?- ?????

为对角矩阵. 对应例1，作非退化线性替换

112233x y x P y x y ???? ? ?= ? ? ? ?????

即得123(,,)f x x x 的标准形2221231231(,,)26.2

f x x x y y y =-+ 由此知道任意一个二次型的标准形不是唯一的.

在对A 作合同变换时，每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵. 可利用这一点检查计算过程是否正确.

P 104：定义4.7 设A 为实对称矩阵，若二次型X AX '是正定的，则称A 为正定矩阵.

不难看出，正定二次型f 的标准形为

；

规范形为 22212n z z z ++

定理4.6 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同.

证明 “?” A 正定，二次型'X AX 正定，'X AX 的正惯指数等于n ，它的规范形为

22212n z z z Z EZ '+++=，A 与单位矩阵E 合同

“?” 'P AP E =，令X PY =，则

22212''(')'n X AX Y P AP Y Y EY y y y ===++

所以，A 正定

由此可得，实对称矩阵A 正定当且仅当存在可逆矩阵C ，使得''A C EC C C ==. 例1 设A 为n 阶正定矩阵，证明

1) 1

A -是正定矩阵；

2) 0,k kA >是正定矩阵；

3) *

A 是正定矩阵；

4) 是正定矩阵, m 为任意整数；

5) 若B 亦是正定矩阵，则A ＋B 也是正定矩阵.

证明 1) 由于A 正定，则存在可逆矩阵P ，使,P AP E '=于是有

1111111()()(())()P AP P A P P A P E -------'''''===令1(),Q P -'=则Q 可逆，且1,Q A Q E -'=

2) 由于A 正定，对0n X R ?≠∈,都有0,X AX '>因此有

()0.X kA X kX AX ''=>故kA 正定.

3) A 正定，则存在可逆矩阵C ，使A C C '=，于是

2||||||0A C C C '==>*1A A A -=又，由1),2) 即得*A 正定.

4) 由于A 正定，知m

A 为 n 阶可逆对称矩阵，当 m ＝2k 时，

2(),m k k k k k A A A A A EA '===即m A 与单位矩阵E 合同，所以m A 正定.

当 m ＝2k ＋1 时，21(),m k k k k k A A A AA A AA +'===即，m

A 与正定矩阵A 合同，而A 与单

21122,0,1,2,,n n i d y d y d y d i n ++

+>=m

位矩阵E 合同，所以m A 与E 合同，即m A 正定.

5) 由于A , B 正定，对,0,n X R X ?∈≠都有 0,0X AX X BX ''>>

因此有()0.X A B X X AX X BX '''+=+> 故 A +B 正定.

例2

证明若A 正定，则存在可逆矩阵C ，使,A C C '=从而

0.A C C C '==>

注意，实对称矩阵A 满足0,A >A 也未必正定. 如

10,1001A A -??==> ?-??

但2212X AX x x '=--不是正定二次型.

第五章：

P110：定义5.1 n

F 的一个向量组12,,

,n ααα叫做n F 的一个基，如果

1) 12,,,n ααα线性无关；

2) 对任意n F β∈，β可由12,,

,n ααα线性表出.

基向量的个数叫做这个向量空间的维数. 由定义知n

F 中的一个线性无关向量组12,,,n ααα是n F 的一个基.

定义5.2 设12,,

,n ααα是n

F 的一个基，

12112212(,,

,)n n n n x x

x x x x βαααααα?? ? ?=+++= ? ???，

则 12'(,,,)n X x x x =叫做β在基12,,

,n ααα下的坐标.

一个向量关于不同基的坐标一般是不同的. 因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题.

定义5.3若12,,,n ααα是n F 的一个基，12,,,n βββ是n F 的另一个基，则它们可以相

互线性表出，1212

(,,

,)(,

,,)

n n T βββααα=，()n T M F ∈. T 的第j 列就是j β在基12,,,n ααα下的坐标. T 叫做基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵.

如果12,,

,n ααα是n F 的一个基，1212(,,,)(,,,)n n T αααεεε=，则T 的第j 列就是

将j α作为第j 列构成的矩阵.

P112：定义5.4.（过渡矩阵求解方法）定理5.1 过渡矩阵是可逆矩阵证明若12,,

,n ααα与12,,,n βββ是n F 的两个基，

1212(,,,)(,,,)n n T βββααα=，

1212(,,,)(,,,)n n P

αααβββ=，

121212(,,,)(,,,)((,,,))n n n T P T βββαααβββ==，由12,,,n βββ线性无关，PT E =, 同

理可得TP E =，所以1P T -=.

设12'(,,,)n X x x x =是向量β在基12,,,n ααα下的坐标，12'(,,,)n Y y y y =是向量β

在基12,,

,n βββ下的坐标，

121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n X Y TY βαααβββααα===,由 12,,,n ααα线性无关，得

X TY =，或1Y T X -=，

这就是基变换与坐标变换的关系.

例1向量(,)'a b β=在基12(1,0)',(0,1)'εε==下的坐标是(,)a b ，基12,εε到基12,αα的过

渡矩阵是1101T ??

= ???

，即1212(,)(,)T ααεε=，因此，β在基12,αα的坐标就是

111110101a a a b Y T X b b b ----??????????

==== ? ? ??? ???????????

P115：

下面给出由n

R 中n 个线性无关的向量12,,,n ααα做一种特定的线性运算，构造一组

标准正交基的方法，称为施密特正交化.

令 11βα=，2211x βαβ=+ ，这里1x 为待定系数，由

212111211110(,)(,)(,)(,)x x ββαββαβββ==+=+，于是21111(,)

(,)

x αβββ=-

，

再令 331122y y βαββ=++由

31311221311110(,)(,)(,)(,)y y y ββαβββαβββ==++=+，于是

31111(,)

(,)

y αβββ=-

，由

32311222322220(,)(,)(,)(,)y y y ββαβββαβββ==++=+,于是

32222(,)

(,)

y αβββ=-

，

继续下去就可以得到

11βα=

2122111(,)

(,)

αββαβββ=-

313233121122(,)(,)

(,)(,)

αβαββαββββββ=-

-，

(,),

2,3,,(,)

j j i j j i i i i j n αββαβββ-==-=∑

可以看出 1212(,,,)(,,

,)n n T αααβββ=，T 是上三角矩阵，而且主对角线上元素都

是1，因此从基12,,,n ααα到正交基12,,

,n βββ的过渡矩阵也是上三角矩阵，而且主对角

线上元素都是1.

例1 已知12(1,1,0,0),(1,0,1,0)αα==,3(1,0,0,1)α=-，4(1,1,1,1)α=-- 是4

R 的一组基, 用施密特正交化方法, 由1234,,,αααα 构造4

R 的一组标准正交基.

解取

11(1,1,0,0)βα==，

2122111(,)(,)αββαβββ=-

(,,1,0)22

=-，

313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=-

-111

(,,,1)333

=-，

43414244123112233(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

αβαβαββαβββββββββ=-

--(1,1,1,1)=--

再单位化

1111||ηββ

2221

||ηββ

3331||ηββ

=(= 4441

||ηββ=

1111(,,,)2222

=-- 1234,,,ηηηη即为所求．

P119：

定义5.13说矩阵A 与B 是相似的，如果存在可逆矩阵T 使得1

B T AT -=.

B 与A 是相似可以记作A B ～

由上面推到可以看出，一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 矩阵的相似具有 1) 自反性 A A ～； 2) 对称性 A B B A ?～～ 3) 传递性 A B ～，B C A C ?～～

定义5.16设()n A M F ∈, 如果存在数F λ∈和非零的n 维向量X , 使得 AX X λ= 就称λ是矩阵A 的特征值, X 是A 的属于特征值λ的特征向量.

AX X λ=相当于()0E A X λ-=，由特征向量0X ≠，得特征向量X 是齐次线性方程

组()0E A X λ-= 的非零解, 因此, ||0E A λ-=，即特征值λ是多项式()||f E A λλ=-的根. 当F =复数域C 时特征值一定存在.

定义5.17 设()ij n n A a ?=为n 阶矩阵，()||f E A λλ=-

1212221

n n

n n nn

a a a a a a a a a λλλ------=--

称为矩阵A 的特征多项式, E A λ-称为A 的特征矩阵. A 的特征多项式有时也记作()A f λ.

定理5.5 相似的矩阵有相同的特征多项式. 证明设1B T AT -=，

111|||||()|||||||||E B E T AT T E A T T E A T E A λλλλλ----=-=-=-=-.

由此可知，相似的矩阵有相同的特征值.

这个结论反过来不成立，例如 1001?? ???与 1101??

???

有相同的特征多项式，但

他们不相似.

如果矩阵A 与对角矩阵相似，则说A 可对角化.

定理5.6 n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.

证明 “?”设A 可对角化，即存在对角形矩阵

n B λλλ?? ?

?= ? ??

，可逆矩阵T ，使得1B T AT -=，即 AT TB =，设j

α是T 的

第j 列，则12,,,n ααα线性无关，比较AT TB =两边的第j 列，有j j j A αλα=，1,2,

,i n =

因此12,,

,n ααα就是A 的n 个线性无关的特征向量.

“?”设A 有n 个线性无关的特征向量12,,,n ααα，那么j j j A αλα=，

121212

(,,,)(,,

,)(,,

,)n n n n A A A B

λλαααααααααλ?? ?

?== ? ??

设

12(,,,)n T ααα=，上式相当于1AT TB T AT B -=?=, A 可对角化.

定理5.7 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.

例1 求矩阵

122212,221A ?? ?= ? ???

的特征值和特征向量.

解矩阵A 的特征多项式为

12221

E A λλλλ----=------2(1)(5)λλ=+- 特征值为121,5λλ=-=，把 1λ=-代入齐次线性方程组 ()0E A X λ-= 得

123123123222022202220

x x x x x x x x x ---=??

---=??---=?

即1230x x x ++= 它的一个基础解系为：(1,0,1),(0,1,1)--，因此，属于1-的两个线性无关的特征向量为113223,ξεεξεε=-=-，因而属于1-的全部特征向量为1122k k ξξ+，12,k k 是F 中不全为零的数

把 5λ=代入齐次方程组()0E A X λ-=得

123123123422024202240

x x x x x x x x x --=??

-+-=??--+=?

解得它的一个基础解系为：(1,1,1). 因此，属于5的全部特征向量为

333123()k k ξεεε=++，30k ≠ .

令 101011111T ??

= ? ?--??

，则1115T AT --?? ?=- ? ???

P123：定理5.9 用二次型的说法就是：对于任一个n 元实二次型，

存在正交线性替换，为n 阶正交矩阵, 使得

，

其中平方项的系数为A 的全部特征根.

容易看出，若重根按重数计算，则

的正惯指数=的正特征根的个数；的负惯指数=的负特征根的个数；

的秩=的非零特征根的个数,

因此实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的特征根全大于零.

12(,,,)'n f x x x X AX =X UY =U 221122'''n

n n X AX Y U AUY y y y λλλ==++

+12,,,n λλλf A f A f A

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??

√ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质定义记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式；推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数公式总结大全

线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

大一线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

线性代数超强总结

√ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ??????????

⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即用中简若则单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式（一）要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则（二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章矩阵（一）要点 1、矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

大学线性代数期末考试试题

大学线性代数期末考试试题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

a 0 0 一、选择题线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （） A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是．（A ）13524876；（B ）51324867；（C ）38124657；（D ）76154283． 3. 设 A m ?s ， B t ?n ， C s ?t ，则下列矩阵运算有意义的是（） A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A = B ； B. A ≠ B ； C. R ( A ) = R (B ) ； D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（） A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（）． A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示； B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵，则 a 满足． ? ? ? 1 1 （1） a > 2 ；（B ） a > ；（C ） 2 a < ；（D ）与b 有关不能确定． 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是．（A ） A T 与 B T 相似；（B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量；（C ） A -1 = B -1 ；（D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似．二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数学习心得体会doc

线性代数学习心得体会篇一：学习线性代数的心得体会学习线性代数的心得体会线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，

想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路。上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只

线性代数总结归纳

线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

行列式 1．为何要学习《线性代数》学习《线性代数》的重要性和意义。答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【知识点】：n阶全排列。答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【知识点】：n阶全排列。答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【知识点】：n阶全排列的逆序。答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【知识点】：n阶排列的逆序数。答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式

线性代数知识点总结

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式 1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）