初等函数及其连续性

初数研究期末专题论文

教师一班105012013066 邱燕华

初等函数及其连续性

【摘要】：本文主要分为三部分。第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。

关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理

【正文】：

一、初等函数

1、初等函数的定义

定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。

注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

2、初等函数的分类

如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数

[2]。（如下图示）

?????????????????有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法

（1）根据定义判定

例1、判断下列函数是否为初等函数 ①12

2sin (1)x e y g x ??=?

?+??

，②y

lg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ??=??+?? 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，12

2sin (1)x e y g x ??∴=??+??是初等函数。 ②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义,

∴y=-2-cosx 不是初等函数。

③2lg ,1,1,

lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数

例2、判断下列函数是否为初等函数

①1,0sgnx 0,01,0x x x >=-

解：①②③均不是基本初等函数，也不是由基本初等函数经过有限次代数运算或者复合得到的函数，所以，他们都不是初等函数。

通过例2的分析，我们发现这三个分段函数都是非初等函数。那么分段函数是不是都不是初等函数？如果不是，又要如何判别呢？下面就利用Yanzu 引理来判别一个分段函数是否为初等函数。

（2）应用 YanZu 引理判断分段函数是否为[]

2初等函数。

Ⅰ、YanZu 引理： 分段函数,0

0,0(),0x x x f x x x >==-

为初等函数，即将绝对值函数f(x)=|x|是初等函数。 引理证明：

,00,0

()||,0x x x f x x x x >====-

是2()f u u x ==的复合函数，

,0

0,0(),0x x x f x x x >=∴=-

是初等函数。 推论 1：

设 f(x)为初等函数, 则 |f(x)| 也为初等函数.

推论 2：

由基本初等函数、绝对值函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数都是初等函数。 Ⅱ、例题

例3、判断下列函数是否为初等函数 ①{1,1

()21,1x f x x x ≤=-> ，②{4,0()6,0x H x x -≥=<，③27,5()3,5227,2

x x g x x x x --<-=-≤≤-+>-??? 分析：如果根据定义判断，大多数人都会觉得这三个分段函数既不是基本初等函数，也不是由基本初等函数经过有限次代数运算得到的函数，所以认为是非初等函数，其实不然, 运用绝对值的含义, 通过观察和不完全归纳法把分段函数化为一个由基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的解析表达式, 再应用 YanZu 引理推论 2进行判断

解：①{1,1

()21,1|1|,x f x x x x x x R ≤=->=+-∈ ，所以由Yanzu 引理可知，f(x)

是初等函数。

② {5||,04,0()6,04,0

x x x x x H x x x -≠-≥==<-=????? ，所以可知H(x)不是初等函数 ③27,5()3,5227,2|2||5|,x x g x x x x x x x R --<-=-≤≤-+>-=+-+∈???

()Y anzu g g x ∴是有两个绝对值函数经过减法得到的，由引理可知(x)是初等函数

综上所述, 判断函数是否为初等函数时,除了直接根据定义，若可通过变形化为含基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的一个表达式, 从而运用 YanZu 引理或推论, 也可以判断它是初等函数。

二、初等函数的连续性

1、初等函数连续性的定义

①点连续：设函数f(x)在0x 的某个邻域内有定义，如果0

lim ()x x f x →存在，且00lim ()()x x f x f x →=，则称函数f(x)在0x 连续。

②区间连续：若函数在所定义的区间上每一点连续，那么称这个函数在所定义的区间是连续的。根据点连续的定义，要使得函数在区间连续，则该区间必定是开区间，两端点的连续性考虑左端点有连续，右端点左连续。

2、初等函数连续性的判别方法

（1）根据函数连续的定义进行判断

例4、判断下列函数是否连续

①sin y x =

，②y =

解：

①,()sin sin sin lim 000

x R f x x x x x x ?∈==→ 都有定义，且 ()sin R f x x ∴=在上连续

②y =

y sin 1u x ==-复合而成的，

又sin 1y u x =-都是

基本初等函数，所以由初等函数的定义可知，y =是初等函数，其定义域为

|2,0,1, 2...2D x x n n ππ??==+=±±????。0,||22x x ππδδ?<

得y =有连续性的定义可知，y =2x π=

处不连续。类似可

证y =D 内处处不连续。 通过上面两个例子，我们发现初等函数不一定都是连续的。下面介绍的判断方法，是建立在初等函数都是连续的基础之上的，对于不连续的函数，需要具体情况具体分析，此处不做统一整理归纳。

（2）通过基本初等函数的连续性进行判断

判断一个函数是否连续，如果每次都是对每一个具体的函数，根据定义去进行判断，那么验证过程太复杂，而且利用极限不容易验证。行之有效的办法是，建立一些最简单而强有力的运算法则，之后在这些法则下只要借助几个最基本的、根据连续的定义证明了其连续性的初等函数，就可得出结论：“初等函数在其定义域上是连续的。”[]3

首先，很容易证明f(x)=c 和f(x)=x 在整个数轴上是连续的。所以, 2()f x x x x ==?作为两个连续函数的乘积在整个数轴上是连续的。同理可得，()n f x x = 也在整个数轴上连续。于是每一个多项式1()n

i

i

i f x a x ==∑ 在整个数轴上都是连续的，从而有理函数作为多

项式的商是连续的。无理函数()g x =作为()n f x x =的反函数，由于f(x)是单调的，

所以g(x)也是连续的。在定义了复合函数的连续性

[4]后 ，代数函数在定义域内每一点都连

续。 其次，对于三角函数()sin f x x = 是最基本的，根据定义证明其连续性后，由复合函数的连续性可知()cos sin()2f x x x π

==+ 是连续的。同理，tan ,cot ,sec ,csc x x x x 在其

定义域内每一点都是连续的。再根据反函数的连续性定理，反三角函数在其定义域内每一点也是连续的。

再次，根据定义证明了指数函数()x f x a = 的连续性后，其反函数log a x 也是连续的，而幂函数ln a a x x e =作为复合函数也是连续的。

综上所述，由于建立了连续函数的运算法则，我们只需要根据定义证明四个函数f(x)=c 、f(x)=x 、()sin f x x =、()x

f x a =的连续性，就得到：一切基本初等函数在其定义域中都是连续的，而我们又知道，初等函数是基本初等函数四则运算、反函数和复合运算的结果，因此一切初等函数在其定义域内都是连续的。

三、初等函数在中学中的运用

（1） 求实数a ，使方程2(15)60ax a x a +-+=的两根均大于1.

解：设方程左边为f(x),

①当a<0时，如图1所示，抛物线的图像开口向下，两根大于1的充要条件是0

1512(1)0

a x a f ?≥-=>0时，如图2所示，抛物线图像开口向上，两根均大于1的充要条件是01512(1)0

a x a f ?≥-=->>????? ，

容易解出此不等式的解集是5a ≥+

因此，满足题意的条件是{}1

|52a a a ≥+<-

（2

10<

解：首先需满足330,1x x -≥≥即 。

令

10,取f(x)=0,解得x1=13.x2=193(舍去)，

即函数f(x)在区间（1,13）和（13,+∞）内确定符号。

因

010- <0,所以当113x ≤< 时，有f(x)<0;

又因x ＞13时，有f(x)>0,因此，原不等式解集为{}|113x x ≤<

上面两个例子均为函数的连续性在中学中的具体运用。

【参考文献】：

[1]《中学代数研究》 张奠宙，张广祥主编99P 初等函数的定义

图2

图1

P初等函数的定义

[2] 《中学代数研究》张奠宙，张广祥主编

99

[3]《初等函数判定方法》徐俊芳

[4]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2000.76-85

[5]《浅谈复合函数的连续性》刘德厚