《一次函数》教案
《一次函数》教案
教学目标
1、理解一次函数和正比例函数的概念.
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
3、经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.
教学重点
理解一次函数和正比例函数的概念.
教学难点
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的抽象思维能力.
教学过程
一、引入新课
展示一些与学生生活中有关的图片，如弹簧、橡皮筋等等的实物，请同学们思考一些问题.承接上节课函数的关系，让同学们感受到变量之间关系式通过多种形式表达出来的，感受到研究函数的必要性.生活中的实例，更能激发学生学习的激情，起到很好的导入新课的效果.
二、探究新知
例1某弹簧的自然长度为3cm，在弹簧限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y 增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度，并填入下表：
例2某辆汽车油箱有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L.
(1)完成下表：
(3)你能写出剩油量z与汽车形式路程x之间的关系吗？
例3我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如果某人月收入
3860元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳所得税y(元)与月收入x
(元)之间的关系式.
(2)某人月收入为4160元，他应该缴纳所得税多少元？
(3)如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？
=+(,k b为常数，k≠0)的形一般地，若两个变量x，y间的关系式可以表示成y kx b
b=时，则y是x的式，则称y是x的一次函数(x是自变量，y为因变量).特别地，当0
正比例函数.
三、拓展练习
例1、写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x个月后这棵树的高度为y(厘米)，则y 与x的关系.
例2:我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税：月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税，如某人月收入38 60元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）.
（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式.
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
(3)如果某人本月应缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
四、课堂小结
=+这节课我们学习了一类很有用的函数-一次函数，只要解析式可以表示成y kx b
b=时的特(,k b为常数，k≠0)的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当0
殊情形.
五、布置作业
习题6.2
一次函数全章教案 新人教版
一次函数全章教案 课题：14.1.1变量 知识与技能：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。增强对变量的理解 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想 重点：变量与常量 难点：对变量的判断 教学媒体：多媒体电脑，绳圈 教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式 教学设计： 引入： 信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th， 先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s. 新课： 问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y 元，怎样用含x的式子表示y? (2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？ （3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r? （4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？ 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。 指出上述问题中的变量和常量。 范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ （1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式； （2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系； （4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。 活动：1.分别指出下列各式中的常量与变量.
中考数学复习指导：利用一次函数解决实际问题(含答案)
利用一次函数解决实际问题 在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x 怎样变化， y 和x 的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x 发生变化时，随着x 的取值范围不同， y 和x 的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解. 请同学们完成下面的习题： 1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x （元）/千克之间的函数关系如图所示. ①写出y 与之间的函数关系式并注明x 的取值范围； ②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？ ③当日销售量为80千克时，单价是多少？ 2 某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm 3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm 3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm 3时，应交水费y 元， ①试求出0≤x≤20和x ＞20时，y 与x 之间的函数关系式. ②小明家第二季度交纳水费的情况如下： 第1题 第2题
小明家这个季度共用水多少立方米？ 3. 我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元）， ①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围. ②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？ 4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC 运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）. ①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间； ②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围； ③当t=6s时，求△BMC的面积； ④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间. B C M 第4题
浙教版 一次函数(1)
5．3（1）一次函数 班级 组名 姓名 【课前尝试预习】 1．比较下列各个函数，它们有哪些共同特征？ （1）m=6t ；（2）y=-2x ；（3）y=2x+3；（4）Q=-312t+936。 2．一次函数的概念： 。 正比例函数的概念： 。 想一想：一次函数与正比例函数的关系是什么？ 3．下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?系数k 和常数项b 的值各是多少? C ＝2πr , y ＝ 20032 x , t ＝v 200, y ＝2(3-x ), s ＝x (50-x ). 4．例1尝试。求下列各题中x 与y 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数，是否为正比例函数。 （1）某农场种植玉米，每平方米种玉米5株，玉米株数y 与种植面积x （m 2）之间的关系； （2）等腰直角三角形的面积y 与斜边x 之间的关系； （3）等腰三角形ABC 的周长为12（cm ），底边BC 长为x （cm ），腰AB 长为y （cm ），则y 与x 之间的关系。 5．课内练习。 （1）已知正比例函数y ＝kx ,当x ＝-2时,y ＝6.求比例系数k 的值及y 与x 的函数关系式。 并求当x=3时的函数值。 （2）写出下列一次函数的一次项系数k 和常数项b 的值. (1)y ＝3x +7. (2)s ＝-t +4. (3)m ＝0.4n . (4)y ＝-2(x -1)+x . 朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.4 星期四
【课中尝试提高】 6．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定，个人月工资中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额。全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%。 （1）设全月应纳税所得额为x元，且1500 《一次函数》教案 教学目标 1、理解一次函数和正比例函数的概念. 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 3、经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力. 教学重点 理解一次函数和正比例函数的概念. 教学难点 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的抽象思维能力. 教学过程 一、引入新课 展示一些与学生生活中有关的图片，如弹簧、橡皮筋等等的实物，请同学们思考一些问题.承接上节课函数的关系，让同学们感受到变量之间关系式通过多种形式表达出来的，感受到研究函数的必要性.生活中的实例，更能激发学生学习的激情，起到很好的导入新课的效果. 二、探究新知 例1某弹簧的自然长度为3cm，在弹簧限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y 增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度，并填入下表： 例2某辆汽车油箱有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L. (1)完成下表： (3)你能写出剩油量z与汽车形式路程x之间的关系吗？ 例3我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如果某人月收入 3860元. (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳所得税y(元)与月收入x (元)之间的关系式. (2)某人月收入为4160元，他应该缴纳所得税多少元？ (3)如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？ =+(,k b为常数，k≠0)的形一般地，若两个变量x，y间的关系式可以表示成y kx b b=时，则y是x的式，则称y是x的一次函数(x是自变量，y为因变量).特别地，当0 正比例函数. 三、拓展练习 例1、写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； (2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系； (3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x个月后这棵树的高度为y(厘米)，则y 与x的关系. 例2:我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税：月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税，如某人月收入38 60元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）. （1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式. (2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？ (3)如果某人本月应缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？ 四、课堂小结 =+这节课我们学习了一类很有用的函数-一次函数，只要解析式可以表示成y kx b b=时的特(,k b为常数，k≠0)的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当0 殊情形. 五、布置作业 习题6.2 《一次函数》教学案例 一、案例背景： 本节是第五章一次函数第三课时的教学内容，是在前两课时学习了一次函数的图象和性质及两点法画一次函数图象方法的基础上的进一步学习。 本节主要内容就是利用一个一次函数图象与X轴和Y轴交点坐标，求出所构成三角形的面积的方法；以及利用两个一次函数图象、X轴（或Y轴）三者交点坐标，求所构成三角形的面积的方法。 教材中没有本节内容的教学，但这方面内容在数学教学和学习中非常重要，它不但体现了一种教学思想，而且还与中考题型有很大的联系。它不但可以加深学生对一次函数的认识，开阔学生的视野，而且还使一次函数的内容得到了升华，使学生在学习中体会到数学的奥妙和数学的美。 教学准备：准备画有坐标系的方格纸 二、教学过程 师：你能画出一次函数Y=-0.5X+1的图象吗？ 生：能。 师：你有几种画法？ 生：两种。 师：哪两种方法？ 生：1.描点法2.两点法 师：哪一种方法简便？ 生：两点法 师：那你们在方格纸上试一试吧！ （学生画图，教师巡视。注意引导取特殊值法取点）(图1) 师：谁来展示一下自己所画的图象？ 生：我来展示一下（如右图1） 师：这位同学画的图象与你们画的图象一样吗？ 生：一样 师：这位同学画得很好，我们看一下，他所画的图象上有两个点A（0，1），B （2，0）它们与坐标原点O（0，0）构成了一个……. 生：直角三角形。 师：你能求出它的面积吗？ （学生思考、讨论） 师（引导）：ΔAOB的底和高如 何确定？ 生：AO和BO 师：那么AO和BO分别等于多 少？ 生：AO=1，BO=2 师：那么ΔAOB的面积就可以求 出来了。下面请同学们画出一次 函数Y=2X-1的图象，求出此函 本科毕业论文 论文题目：如何教好一次函数及其应用 指导老师：章绍辉 学生姓名：林少琼 学号：320017 院系：网络教育学院 专业：数学与应用数学（师范） 写作批次：2014秋 原创承诺书 我承诺所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。若本论文及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任。 毕业论文作者签名：林少琼 日期： 2014 年 10 月 18 日 摘要 函数是中学数学最重要的数学思想之一，是解决实际问题的一个有效的数学模型。将对一次函数的概念，图像，性质及其一次函数表达式的几种常见题型和一次函数在实际生活中的应用作一总结。 关键词：一次函数；概念；数学思想；数学模型；实际运用 I Abstract Function is one of the most important mathematical thought in middle school mathematics, is an effective mathematical model to solve practical problems. Will the concept of a function, image, nature and a function of several common topic and the application of a function in the real life make a summary Key words: a function; Concept; Mathematical thinking; Mathematical model; The practical application 一次函数教学案例分析 申昌林 郎溪县姚村中学 一：教学背景： 数学教学的生活性，就是教师捕捉生活中的数学现象，在教学中联系生活实际，挖掘数学知识的生活内涵，让数学更多地联系实际，贴近生活，达到生活材料数学化，数学教学生活化。从生活实际出发，把教材内容与生活现象有机结合起来，注重实践第一，数形有机结合，培养学生的观察能力、思维能力、应用能力，从而更好地增强学生学好数学的内驱力，激发起学习数学的浓厚兴趣。 下面就一次函数教学案例分析如下： 二：教材分析： 本节课是在学生已经学会从单个一次函数的图象中分析获取信息，进而解决有关实际问题的基础上展开的一堂实践与探索的探索课。因此本节课的知识目标：能写出生活实际问题中一次函数关系的解析式；通过结合函数图象揭示函数的性质，培养学生观察、比较、应用能力；渗透函数的数学思想，培养学生的数学建模能力，以及解决实际问题的能力。能力目标：选择处理生活信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；能从不同角度寻求解决问题的方法，结合具体情况大胆地提出问题；具有数形结合解决实际问题的能力。情感目标：乐于与他人合作，乐于接受生活中的数学信息，积极参与讨论，敢于发表自己的见解。重点是观察坐标系中图象性质及变化规律，怎样从函数图象的比较、分析中提取有用信息，弄清两者之间的关系，概括出函数图象运动变化的规律，进而用“数形结合”的思想 与方法解决实际问题，切实提高学生的识图能力和解决问题能力。难点是怎样抓住有力的特征去分析、比较。 三：教法分析：本节课是以学生熟悉的一次函数的图象及性质为铺垫,以学生感兴趣的生活现象为素材，以交流合作、自主探索为主要形式展开学习内容的。 四：教学过程： 1：问题导入：（教师运用多媒体投影） 例1：如图，折线ABC 表示 从甲地向乙地打电话时所需付的电 话费用y （元）与通话时间t 之间的关系图像。 求：（1）从图像上知，通话2 （2）BC 所表示的函数关系式？ （3）通话7分钟需付的电话费是多少元？ 师：观察图象回答问题。各同学思考，允许前后排四个同学交流。 师：2分钟左右，请同学们回答。 生1：图象上知，AB 是平行于X 轴的一条线段。打电话在0到3分钟电话费都为2.4元。 生2：超出3分钟电话费按直线BC 计费。时间越多，付费越多。 生3：设直线BC 解析式为y=kx+b,把点（3，2.4）和（5，5.4）代入 《用一次函数解决问题》教案 教学目标 1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题． 2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力． 3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．教学重点 1.建立函数模型. 2．灵活运用数学模型解决实际问题. 教学难点 灵活运用数学模型解决实际问题. 教学过程 一、创设情境复习导入 做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.方案选择的问题对于我们来说并不陌生，但是书写起来比较麻烦，事实上这类问题用一次函数来解决会更好理解，书写起来也更加简捷，这节课我们就来体会一下如何运用一次函数选择最佳方案问题. 二、尝试活动探索新知 例1一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦），售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦（即0.06千瓦），售价为3元.两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）.如果电费价格为0.5元/（千瓦×时），消费者选用哪种灯可以节省费用？ 分析：1、指出问题中的常量、变量？ 2、变量之间存在着怎样的关系？ 总结：要考虑如何节省费用，必须既考虑灯的 售价又考虑电费.不同灯的售价分别是不同的常数，而电费与照明时间成正比例，因此，总费用与灯的售价、功率这些常数有关，而且与照明时间有关，写出函数解析式是分析问题的关键. 解：设照明时间为x小时，则: y=60+0.01×0.5x; 节能灯的总费用为 1 y=60+0.005x 即： 1 y=3+0.06×0.5x 白炽灯的总费用为 2 y=3+0.03x 即： 2 第十九章一次函数教案 19.1.1变量 教具；课件，直尺，三角板 教学目标 知识与技能：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。增强对变量的理解 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想 重点：变量与常量 难点：对变量的判断 教学媒体：多媒体电脑，绳圈, 教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式 教学设计： 引入： 信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm， 行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子 表示s. 新课： 问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y? (2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？ （3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r? （4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？ 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。 指出上述问题中的变量和常量。 范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ （1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式； （2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系； （3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系； （4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。 活动：1.分别指出下列各式中的常量与变量. (1)圆的面积公式S=πr2; (2)正方形的l=4a; (3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额 与金额y的关系为y=2.5x. 2.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量. 183 1 一次函数导学案（一） 【学习目标】： 1、理解一次函数的概念和正比例函数的概念。 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。 【学习重点】：掌握一次函数的概念，根据已知信息写出一次函数的表达式。 【学习难点】：由实际问题归纳出一次函数的概念。 【学习过程】： 一、自主学习课本第39页至40页，并完成下列问题： 1、根据题意写出下列函数的解析式： （1）某登山队大本营所在地的气温为15C,海拔每升高1km气温下降 6C.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y °C .写出y?与x的关系为__________________________ . 2）有人发现，在20~25C时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t （单位：C）有关，即c的值约是t的7倍与35的差；_______________________ （3）—种计算成年人标准体重G （单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105,所得的差是G的值； （4）某城市的市内电话的月收费为y （单位：元）包括：月租22 元，拨打电话x分的计时费（按0.1元/分收取）; ____________________ （5）把一个长10cm宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变，长 方形的面积y （单位：cn l）随x的值而变化。_____________________ 2、一次函数概念： 1）一般地，_______________________________ 叫做一次函数， 特别地，当b 0时，y kx b即y kx，即正比例函数是一种特殊的一次函数。 2）一次函数与正比例函数的辨证关系可以用下图来表示： 二、跟踪练习： 1、下列函数中，是一次函数的有_________________ 是正比例函数 中考一次函数应用题 近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。 例1已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N种型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 例2某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 y（元）与通话次数x之间的函数关系式； （1）写出每月电话费 （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。 例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元。 y（万元），用A型货厢的节数为x（节），试写出y与x之间的（1）设运输这批货物的总运费为 函数关系式； （2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 正比例函数 （一）按下列要求写出解析式． （1）圆的周长L 随半径r 的大小变化而变化,L 与r 的关系式为_________________； （2）．铁的密度为7．8g/cm 3．铁块的质量m （g ）随它的体积V （cm 3）的大小变化而变化,V 与m 关系式为______________； （3）每个练习本的厚度为0．5cm ．一些练习本摞在一些的总厚度h （cm ）随这些练习本的本数n 的变化而变化,h 与n 的关系式为___________； （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t （分）的变化而变化,T 与t 的关系式为______________。 一般地，形如 kx y = （k 是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。 练习：1、下列函数钟，那些是正比例函数？______________ （1）x y 4 = （2）13+=x y （3）1=y （4）x y 8= （5）t v 5-=（6）013=+x （7）)81(82x x x y -+= 2、关于x 的函数x m y )1(-=是正比例函数，则m__________ （二）画出下列正比例函数 （1）x y 2= （2）x y 3-= 比较上面两个图像，填写你发现的规律： （1） 两个图像都是经过原点的 __________， （2） 函数y=2x 的图像经过第______象限，从左到右__ ___， 即y 随x 的增大而______； （3） 函数y=-3x 的图像经过第__ __象限，从左到右______， 即y 随x 的增大而______； 一次函数的应用 例题精讲 【例1】小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是（） 分) 分) 分) 分) A B C D 【答案】D 【例2】小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（） A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟 【解析】由题上班是平路用时3分钟走1千米，所以平路的速度是1 3 千米/分，同理上坡路的速度为 1 5 千 米/分，下坡的速度为1 2 千米/分，所以下班先走上坡路用时 1 210 5 ÷=分，再走下坡路用时 1 12 2 ÷= 分，最后走平路用时 1 13 3 ÷=分，所以下班共用时15分钟。 【答案】B 【例3】 某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图， 1l 、2l 分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y （千米）与所用时间x （分钟）之间 的函数图象，则以下判断错误的是（ ） A ．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B ．步行的速度是6千米/时 C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了20分钟 D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地 【答案】D 【例4】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水 口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出．某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示． 通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴0点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水，⑶4点到6点不进水也不出水．其中正确的是（ ） A ．⑴ B ．⑶ C ．⑴⑶ D ．⑴⑵⑶ 甲 乙 丙 (小时) )) 【解析】由甲图可知进水口每小时进水10立方米，由乙图可知出水口每小时出水20立方米，看丙图，前3 小时蓄水量由0达到60，说明开了两个进水口，关闭出水口，所以⑴对；3点到4点的一个小时内蓄水量减少10立方米，必然是只开一个进水口，同时打开出水口，⑵错；4点到6点蓄水量不变可能是即不进水，也不出水，也可能同时打开3个水口，⑶错． 【答案】A 【例5】 如果等腰三角形的周长为16，那么它的底边长y 与腰长x 之间的函数图像为（ ） A B C D 【解析】由题意得函数关系式为y 216x =-+，根据三角形三边关系2x y >，即2216x x >-+，得4x > ， 个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师：张老师授课时间：年11 月16 日 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。] 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。 因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 （通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 () () ()3 2 1 . k ? ? ? ? ? < = > < b b b 3. 在一次函数y=kx+b中: 当0 k>时，y随x的增大而增大， 当0 b>时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0 b<时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0 三、例题讲析 一次函数的图像及性质 1、一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式： 2、已知关于x、y的一次函数()12 y m x =--的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m的取值范围是 3、函数(0) y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（） 4.一次函数21 y x =-的图象大致是（） 5.在平面直角坐标系中，直线1 y x =+经过（） A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限 6、如图，直线l上有一动点P（x, y），则y随x的增大而_____________。 7、已知f (x)为一次函数。若f (－3)>0且f (－1)=0，判断下列四个式子， 哪一个是正确的？( ) A (A) f (0)<0 (B) f (2)>0 (C) f (－2)<0 (D) f (3)>f (－2) 8、已知一次函数的图象过点(03) ，与(21)，，则这个一次函数y随x的增大而． O x y O x y O x y y x O Ａ．B．C．Ｄ． 第1课时变量与函数 教学目标：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系 教学重点：变量与常量 教学难点：对变量的判断 一、完成学习目标 1.启发自学 问题1.汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的 2.试练讨论 问题： （1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y? (2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？ （3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r? （4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？ 3.穿插讲解 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。 二、小结点评 1. 怎样列变量之间的关系式 2．变量与常量的定义 三、达标检测 必做题 1.写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ （1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式； （2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系； （4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y （元）之间的关系。 2..分别指出下列各式中的常量与变量. (1)圆的面积公式S=πr2; (2)正方形的l=4a; (3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系为 y=2.5x. 选做题 1.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量. （1）某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息 和y(元)与所存月数x之间的关系式. （2）如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n 盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式. 【课后反思】 ． 利用一次函数解决实际问题 ◆类型一费用类问题 一、建立一次函数模型解决问题 1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含 14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价； (2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式； (3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 二、分段函数问题 2．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 三、两个一次函数图象结合的问题 3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴 滴快车”的行驶里程 x(公里)与计费 y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行 驶里程不超过 5 公里计费 8 元；②“顺风车”行驶里程超过2 公里的部分，每公里计费 1.2 元；③A 点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是 15 公里，则“顺风 车”要比“快车”少用 3.4 元．其中正确的个数有( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 四、分类讨论思想 4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价 格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额 y 甲，y 乙 (单位：元)与原价 x(单位：元)之间的函数关系如图所示： (1)直接写出 y 甲，y 乙关于 x 的函数关系式； (2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？ ◆类型二 路程类问题 一、两个一次函数图象结合的问题 5．A ，B 两地相距 60km ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l 1，l 2 表示 两人离 A 地的距离 s(km )与时间 t(h )的关系，请结合图象解答下列问题： (1)表示乙离 A 地的距离与时间关系的图象是________(填 l 1 或 l 2)；甲的速度是 ________km /h ，乙的速度是________km /h ； (2)甲出发多长时间两人恰好相距 5km? 一次函数 教学目标： 1．了解一次函数的函数表达形式，认识并正确画出一次函数图象—一条直线，能够根据一次函数的图象和关系式探索并理解它的性质． 2．会根据一次函数的图象求出二元一次方程组的近似解，会利用不等式来表达两个函数的大小关系． 3．会用待定系数法来求函数关系式．能用一次函数解决简单的实际问题． 4．渗透数形结合思想和变量与常量的相互转化的思想． 教学重点和难点： 1．本节内容是一次函数及其图象的基本知识，尤其对一次函数性质的探索，是本节中学生学习的主要内容和重要的教学目标． 2．运用待定系数法求函数关系式及用一次函数解决简单的实际问题是本节的难点．课前准备： 1．学生课前准备 2．教学器材：直尺、多媒体等． 3．教学课件：与教材配套的教学软件． 教学设计： 教学过程设计 一、一次函数 1、问题导入：（教师运用多媒体打出） 问题1:小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米／时．己知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离． 问题2：小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他己存有50元，从现在起每个 月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份数之间的函数关系式． 请同学们思考后回答： （1）找出问题中的变量并用字母表示，列出函数关系式． （2）这两个函数关系式有什么共同点？自变量的取值范围各有什么限制？ 以上这些问题，请各小组讨论一下，派代表回答．引出课题（板书课题）教师最后总结一次函数的概念．（板书） 2、引导学生观察这两个函数关系式的结构特征，引出一次函数的一般形式（学生回答，且互相补充）老师最后归纳：一次函数通常可以表示为y kx b =+的形式，其中,k b 为常数，0k ≠．特别地，当0b =时，一次函数y kx =（常数0k ≠）也叫做正比例函数． 二、一次函数的图象是什么形状呢？ 1、做一做： 我们已经学习了用描点法画函数的图象，请同学运用描点法画出下列函数的图象（老师用多媒体打出题目）．根据学生的动手实践、观察与讨论，得出结论：一次函数的图象是一条直线．特别地，正比例函数的图象是经过原点的一条直线． 2、接下来教师提问： （1）观察所画出的四个一次函数的图象，比较各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点． （2）能否从中了现一些规律？对于直线y kx b =+（,k b 是常数，0k ≠），常数,k b 的取值对于直线的位置各有什么影响？ 3、组织学生分小组讨论，相互交流、相互补充，最后总结出规律：当k 一样，b 不一样时，直线方向相同（平行），但没有相同点；当k 不一样，b 一样时，都经过（0，b ）点（相交），但直线方向不同． 4、巩固训练： （1）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 ①223y x y x ==+与 ②12112 y x y x =+=+与 教师提出问题：①画出图象，看看是否与上面的讨论结果一样；②你取的是哪几个点？和同学比较一下，怎样取比较简便？ （2）将直线3y x =向下平移2个单位，得到直线 ． 将直线5y x =--向上平移5个单位，得到直线 ． （由学生到前板演）． 5、对于教材中例2处理，教师先用多媒体打出，并提出问题：平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征？在坐标轴上取点有什么好处？组织学生结合问题去分析，动手尝试，小组讨论交流，最后达成共识．对于教材例3处理，教师可以提出以下几个问题讨论同学们讨论：①这里,s t 取的数悬殊较大怎么办？②这个函数是不是一次函数？③这个函数中自变量t 的取值范围是什么？函数的图象是什么？④在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他情形？你能不能找出几个例子加以说明？ 6.2一次函数（1）预习教案主备人：周光娴 一、请写出下列问题中的函数表达式。 1．给汽车加油的加油枪流量为25L/min．如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，油箱中的油量y（L）与加油时间x（min）的函数表达式。 2．给汽车加油的加油枪流量为25L/min．如果加油前油箱里有6L油，那么在加油过程中，油箱中的油量y（L）与加油时间x（min）的函数表达式。 3．某同学家住县城，离校约3000米，骑自行车每分钟行驶300米，离家的路程y（m）与骑车离家的时间x（分钟）的函数表达式。 4．正方形周长 l 与边长 x 之间的表达式； 5.把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）与x的函数表达式。 6.电信公司推出市话服务,收费标准为月租费25元,本地网通话费为每分钟0.1元.通话时间x（分钟）与表示通话的应缴的费用y（元）的函数表达式。 解：（1）（2） （3）（4） （5）（6） 观察你所得到的函数表达式，思考下列问题： （1）这些函数表达式中，自变量是什么？ （2）类比一元一次方程，这些函数表达式是关于自变量的几次式？这些函数表达式在形式上有什么共同特点? （3）用x表示自变量，y是关于x的函数，k为自变量系数，b为常数项，能不能用一个式子表示出函数关系式？发现：。 （4）k可以为0吗？说说你的理由。 一般地，形如（）的函数，叫做一次函数. （5）比较式子（1）（4）与式子（2）（3）（5）（6）有什么共同和不同之处？ ，y叫做x的正比例函数。 一次函数和正比例函数有什么关系？谈一谈你的想法 。 二、思维大比拼 1．下列式子中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？指出题中的一次函数中k 、b 的值。 （1）y = -8x +2； （2）20.32y x =+； （3）y=x ； （4）c =4π （5）y=kx （6）8 x y -= （7）y+x =6 (8) y =-1-0.5x （9）6y =- （10）127t c = - 一次函数： ；正比例函数： 。 2.已知y =(m +1)x +2，当m ，ｙ是x 的一次函数． 3、已知23(2)3m y m x -=-+，当m 为 时，y 是x 的一次函数。 4.函数 中，当 时，它是一次函数；当 它是正比例函数. 5.用函数表达式表示下列变化过程中,两个变量之间的关系，并指出其中的一次函数、正比例函数。 1)正方形面积S 随边长x 变化而变化; 2)正方形周长l 随边长x 变化而变化; 3)长方形的长为常量a 时,面积S 随宽x 变化而变化; 4)列车以300km/h 的速度驶离A 站,列车行驶的路程x(km)随行驶时间t(h)变化而变化;(如图) 5)A 、B 两地相距200km,一列火车从B 地出发沿BC 方向以120km/h 的速度驶向C 站,火车离A 站的路程y(km)随行驶时间t(h)的变化而变化.(如图) 6）A 、B 两地相距200km,一列火车从B 地出发沿BC 方向以120km/h 的速度驶向C 站,火车离B 站的路程y(km)随行驶时间t(h)的变化而变化.(如图) 7）A 、B 两地相距200km,一列火车从B 地出发沿BC 方向以120km/h 的速度驶向C 站,火车离C 站的路程y(km)随行驶时间t(h)的变化而变化.(如图) 6.你能分别给y=2x 和y=2x+15设计一个实际情景吗？《一次函数》教案
一次函数教学案例
如何教好一次函数和其应用
一次函数教学案例分析
《用一次函数解决问题》教案
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一次函数导学案
初中一次函数典型应用题
一次函数教案详解
初二数学一次函数的运用(含答案)
最全-初中数学-一次函数教案
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中考数学专题复习之利用一次函数解决实际问题
一次函数教案(教学设计)
一次函数1预习