动量定理和定量矩定理

第十二章 动量定理和动量矩定理

本章研究的两个定理

动量定理——力系主矢量的运动效应反映； 动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。 一．质点系质量的几何性质

1． 质心

质点系的质量中心，其位置有下式确定：

m

r m r i

i c ∑=

∑=

i

m m

其投影式为

m

x m x i

i

c

∑=

, m

y

m y i

i

c ∑=

, m

z

m z i

i c ∑=

2． 刚体对轴的转动惯量 定义：∑=

2i i Z r m I 为刚体对z 轴的转动惯量或)(2

2i i i Z

y x m I +=∑

影响Z I 的因素??

?

??是常量与刚体是固连在一起时若轴的位置有关与转轴量的分布有关与刚体的质量多少和质z I z z 单位：2kgm

物理意义：描述刚体绕z 轴时惯性大小的度量。

Z I 的计算方法：

（1） 积分法

例12.1已知：设均质细长杆为l ，质量为m 。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴z 的转动惯量。

解：建立如图12.2所示坐标，取微段dx 其质量为dx l

m

dm =

，则此杆对轴z

的转动惯

量为：12

2

2220

ml dx x l m I l z ==?

例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为R ，质量为m ，求其对于垂直于圆

环平面且过中心O 的轴的转动惯量。

解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为i m ，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径R ，所以圆环对于中心轴z 的转动惯量为：

222mR m R R m I i i z ===∑∑

例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为R ，质量为m ，求对于垂直于板面且过中心O 的轴z 的转动惯量。

解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为r ，宽度为dr ，质量为

rdr R m dm ππ22=

，由上题知，此圆环对轴z 的转动惯量为dr r R m dm r 32

2

2=，于是，整个圆板对于轴z 的转动惯量为：

23

02

212mR dr r R m I R z ==? （2） 回转半径（惯性半径）

设刚体对轴z 的转动惯量为Z I ，质量为m ，则由式m I z

z =ρ定义的长度，称为刚

体对轴z 的回转半径。

例如：均质杆（图12.2） 122ml I z = l l 289.012

2

==ρ

均质圆环（图12.3） 2

mR I z = R =ρ

均质薄圆板（图12.4） 2

2

1mR I z = R R 707.02

2

==

ρ

若已知刚体对轴的回转半径z ρ，则刚体对轴z 的转动惯量为：

2z z m I ρ=

（3） 转动惯量的平行轴定理

在图12.5中，z z //'，轴间距离为d ，刚体质量为m ，其中z 轴过质心，则有

2md I I z z +='

例如：在图12.2中，细长杆对z '轴的转动惯量为22

231212ml l m ml I z =??

?

??+='

（4） 组合体

例12.4 已知：钟摆可简化为如图12.6所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为1m 和

2m ，杆长为l ，圆盘直径为d ，求钟摆对通过悬挂点O 的水平轴的转动惯量。

解：钟摆对水平轴O 的转动惯量为：盘杆O O O I I I +=

其中： 213l m I O =杆

2

222

222

??

?

??++??? ??=d l m d m I O 盘 所以 ??

?

??+++=

ld l d m l m I O 22221833 二．动量定理

1． 动量的概念与计算

质点的动量为v m

质点系的动量系为()(

)

O n n L p v m v m v m

,,,,2211=

质点系的动量（动量系的主矢量）为∑=

i i v m p

将质心公式m

r m r i

i c ∑=

对时间t 求一阶导数，有m

r m r i

i c

∑=

即∑=

i i v m v m

于是 c v m p

=

2． 动量定理

1）质点的动量定理

设质点质量为m ，速度为v ，作用力为F ，由牛顿第二定律，有F dt

v d m = 变换为

dt F v md

= ——质点的动量定理的微分形式 （dt F 为元冲量）

将上式对时间t 积分有

?=-21

12t t dt F v m v m

冲量 ——质点的动量定理的积分形式

2）质点系的动量定理

设质点系由n 个质点组成，其中第i 个质点的质量为i m ，速度为i v

，所受外力为i F ，内力为*

i F （图12.7）

（1）由牛顿第二定律 *+=i i i

i

F F dt

v d m ()n i ,,1 =

将上式由1=i 到n 求和，有

∑∑∑*+=i i i

i F F dt v dm

p dt

p d v m dt d dt v dm i i i i ===∑∑，0=∑*i F ∴?????===-=∑∑∑∑iz

z iy y ix x i F p

F p

F p F p （Ⅰ) 由 c v m p =, c a m p =

质心运动定理：???

??===-=∑∑∑∑iz

cz iy cy ix

cx i c F m a F m a F m a F a m （Ⅱ）

质心运动定理反映了质心的重要力学特征：质点系的质心的运动只取决于质点系的外力，内力改变不了质心的运动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意义。 在求解刚体系统动力学问题时，为了应用方便，常将上式改写为

???

??===-=∑∑∑∑∑∑∑∑iz

iz i iy iy i ix ix i i i i F a m F a m F a m F a m （Ⅲ）

式中 i m 、i a

分别是刚体系统中第i 个刚体的质量和质心加速度。c i i a m a m =∑是

由质心公式对时间求二阶导数后得到的，即m

r m r i

i c ∑=

（1） 积分形式

由式（Ⅰ）可得到积分形式 ?∑=-21

12t t i dt F p p

（2） 动量守恒（质心守恒）

若 0=∑i F 则=p 常矢量 或=c v

常矢量

若

0=∑ix

F

则=p 常量 或=cx v 常量 若00

===t c cx x

v 则=c v 常量 （质心守恒）

实例分析

实例1利用质心运动定理解释定向爆破

实例2利用质心运动定理分析汽车的起动与刹车

例12.5已知：如图12.11所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为1m ，质心位于转子转轴的中心1O ；转子质量为2m ，

由于制造或安装是的偏差，转子质心2O 不在转轴中心上，偏心距e O O =21。转子以等角速度ω转动，试求电动机机座的约束力。

解：

1． 研究对象：电动机整体 2． 分析受力（如图示）

3． 分析运动：定子不动011==O O y

x ；转子作匀速圆周运动，其法线加速度2

2ωe a n O = 4． 列动力学方程求解：

∑∑=ix ix

i F a

m ()x F t e m m =-+?ωωc o s 0221

∑∑=iy iy

i

F a

m ()

()g m m F t e m m y 21221s i n 0+-=-+?ωω

由此解出： t e m F x ωωc o s 22-=

()t e m g m m F y ωωsin 2221-+=

5． 讨论

1） 机座的约束力由两部分组成，一部分由重力（主动力）引起的，称为静约束力

（静反力），另一部分是由于转子质心运动状态变化引起的，称为附加动约束力。

2） 附加动约束力有最大值或最小值：

0=?时，22max ωe m F x = 2

π

?=

时，()2221min ωe m g m m F y -+=

π?=时，22min ωe m F x -=

2

3π

?=

时，()2221max ωe m g m m F y ++= 3） 附加动约束力与成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的几

倍，甚至几十倍，而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础的振动，还会引起有关构件内的交变应力。 4） 利用动量定理能否求约束力偶矩M ？

本例也可以选用质心运动定理∑=i c F a m

求解。

在图12.10中，因为定子不动，故xy O 1是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公式： 212cos m m t e m x c +=

ω 2

12sin m m t

e m y c +=ω

将上两式对时间求二阶导数，可得：

2122cos m m t e m x c +-=ωω 2

122s i n m m t e m y

c +-=ωω 由质心运动定理：

∑=ix c F x

m ()x F m m t

e m m m =+-+2

12221c o s ωω ∑=iy c F y

m ()()g m m F m m t

e m m m y 212

12221s i n +-=+-+ωω 可得t e m F x ωωcos 22-=

()t e m g m m F y ωωs i n 2

221-+=

例12.6 在上例中（例12.5），若电动机机座与基础之间无螺栓固定，且为光滑接触（图12.12），

初始时电动机静止。求转子以等角速度ω转动时电机外壳的运动，并分析电机跳起的条件。

解：1）求电机外壳的运动

研究电机整体 由图示受力分析知

0=∑ix

F

又因为00

==t c x

故=c x 常量

0=?时，由图12.11()a 2

121

m m e

m x c +=

t ω?=时，由图12.11()b ()2

121cos 2m m t e x m x m x c +++=

ω

因为21c c x x = 解得：()t m m e

m x ωcos 12

12-+=

说明电机沿水平方向作简谐振动，振幅为

2

12m m e

m +

2） 电机未跳起时，y F 仍可用上例所求结果，即()t e m g m m F y ωωsin 2

221-+= 令0=y F ，求的电机的角速度为：()t

e g

m m ωωsin 21+=

讨论：当1sin =t ω，即2

π

ω?=

=t 时，转子质心2O 在最高处，可求得使电机跳起的最小

角速度为：()e

g

m m 21min +=

ω

例12.7已知：如图12.13表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流体，而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。

解：1）研究对象：取管中aa 截面和bb 截面之间的流体为研究的质点系 2）受力分析：如图所示

设流体密度为ρ，流量为v q ，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时，

v q 是常量）在dt 时间内，流过截面的质量为dt q dm v ρ=，其动量改变量为

ab b a p p p d

-=11

()()

b a aa ab b a

p p p p 111

+-+'=

11aa bb p p

-=

即 ()dt v v q p d v 12

-=ρ

由 ∑=i F dt

p

d 得 ()N v F F F W v v q

+++=-2112ρ

令 N N

N F F F ''+'=

其中N

F '

为管子对流体的静约束力，由下式确定

021='+++N

F F F W

则有 ()()()???-=''-=''-=''y y v Ny

x x v Nx

v N v v q F v v q F v v q F 121212ρρρ

N

F ''

为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）

三 动量矩的概念及其计算 1． 质点的动量矩

设质点M 的质量为m ，某瞬时的速度为v ，到O 点的矢径为r

（图12.15）

质点对O 点的动量矩为 ()v m r v m M L O O

?==

质点对z 轴的动量矩为 ()d mv v m M L xy Z z ==

质点对O 点和z 轴（该轴通过O 点）的动量矩关系为 []

z z

O

L L =

2． 质点系的动量矩

设质点系由n 个质点组成，其中第i 个质点的质量为i m ，速度为i v ，到O 点的矢径为i r

，则质点系对O 点的动量矩（动量系对点的主矩）为：()∑∑?==i i i i i O O v m r v m M L

质点对z 轴的动量矩为 ()∑=

i z z v m M L

动量矩O L 的解析式为 k L j L i L L Oz Oy Ox O

++=

刚体动量矩的计算

1) 刚体平动（图12.17）

()c c c i i i i i O v m r v r m v m r L ?=?=?=∑∑

2) 定轴转动刚体对转轴的动量矩（图12.18）

()()ωωz

i

i i

i

i i z z I r m r v m v m M L ==?=

=∑∑2

3）平面运动刚体对其平面内一点的动量矩（图12.19）

ωωc c c O O I d mv I v m M L +±=+=)(

例12.8已知：质量为，的两物块分别系在两柔软不可伸长的绳子上，图12.20所示，此两绳分别绕在半径为和并固结在一起的鼓轮上，设鼓轮的质量为，对转轴的回转半径为，并以转动。求系统对鼓轮转轴的动量矩。

解：

1． 分析运动： 2． 计算

例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。

解：

1． 分析运动：规尺作平面运动 2． 计算

物块速度均通过转轴 ，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为

四．心为定点的动量矩定理

引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度 1． 质点对固定点的动量矩定理图12.22

牛顿第二定律：F dt

v d m = 上式两边左叉矢径r F r dt v d m r

?=? 左边()v m dt

r d v m r dt d

?-?= O 是固定点时，于是有()()

F M v m r dt

d O

=?

——质点对固定点的动量矩定理 2． 质点系对固定点的动量矩定理

设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，对固定点的矢径为，作用在该质点上的外力为，内力为。

第个质点对固定点的动量矩定理为 将上式从到求和 由图12.23知 右边 左边

可得质点系对固定点的动量矩定理

3．动量矩守恒

若，常矢量

若则常量

例12.10分析受有心力作用的物体的运动

解：如图12.24所示，因为

故常矢量，可见质点在有心力作用下运动的轨迹是平面曲线。

例12.11 如图12.25所示，在调速器中，除小球外，各杆重量可不计，忽略摩擦，系统绕轴自由转动。初始时，系统的角速度为，当细绳拉断时。求各杆与铅直线成角时系统的角速度。解：研究整体：因重力和轴承力对于转轴的矩为零，即故常量

时

时

由得

例12.12已知：不可伸长的绳子绕过不计质量的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块重量相等的人，从静止开始沿绳子上爬，设其相对绳子的速度为，试问：物是否动？并分析绳子的速度。

解：研究整体系统：因为，故常量

设轮顺时针转，绳子的速度为

则

由即

得

物上升的速度为

人向上的速度为

人、物向上的绝对速度大小相等，方向相同，人物同时到达顶端。

五．刚体定轴转动微分方程

设刚体在主动力系作用下，绕固定轴转动（图12.27），设刚体对轴的转动惯量为，瞬时的角速度为，刚体对转轴的动量矩为，由质点系对固定轴的动量矩定理

可得

刚体的定轴转动微分方程

例12.13 已知复摆由绕水平轴转动的刚体构成，已知复摆的重量为，重心到转轴的距离为，如图12.28所示，设复摆对转轴的转动惯量为。求复摆微摆动的周期。

解：

1．研究对象：复摆

2．分析受力：如图12.28所示

3．分析运动：复摆作定轴转动，用表示其转角

4．列动力学方程，求解：

由题意，复摆微摆动时，于是有

这是简谐运动的标准微分方程，此方程的解为：

式中称为角振幅，为初相位他们由初始条件确定

摆动周期为

5．讨论

1）若测出周期T，可求出刚体对转轴的转动惯量

2

24πPd

T I o =

2） 如果要求轴承O 的约束力

???-=-=???

?

??

===∑∑∑????ωααττcos sin )(2

2p F m d p F m d F m F C O m F M I on o in i i o o 求，积分求

求轴承的约束力

刚体定轴转动微分方程组

例12.14 已知：电动机将不变转矩M 加在轴上（图12.29）轴通过节圆半径为21,r r 的外啮合齿轮传动给轴Ⅱ。轴Ⅱ与提升重物的鼓轮固结为一体，鼓轮半径为R ，轴Ⅰ连同其上零件对轴的转动惯量为1I ，轴Ⅱ连同其上零件对轴的转动惯量为2I ，且各自重心分别在转轴上。重物的质量为，不计摩擦。求：重物A 的加速度。 解：

1． 研究轴Ⅰ（图12.29）

∑=)(i Z Z F M I

111r F M I o τα+-= （1）

2． 研究轴物（图12.29）

2222ωωmR I L Z +=

)(∑=i Z Z

F M dt

dL m g R r F mR I o Z -=+222)(τα （2） 3． 运动学关系

1

221r r

-=αα （3） 2αR a = （4）

由方程（1）、（2）、（3）、(4)，解得：

2

1

2

2

212

122

121)(r mR r I r I R mgRr r Mr a ++-=

五．矩心为质心的动量矩定理

1． 质点系对于定点”O”和质心”C”的动量矩之间的关系

如图12.30所示，O 为定点，C 为质点系的质心，质点系对于定点O 的动量矩为

∑?=i i i o v m r L

对于任一质点i M ，由图可见

i c i r r ρ +=

于是∑∑∑?+?=?+=

i i i i i c i i i c o v m v m r v m r L

ρρ)(

式中∑=c i i v m v m

,

C i i i L v m

=?∑ρ质点系对于质心的绝对动量矩

L

图12.30中为随质心平动的参考系，设点相对该坐标系的速度为，有 式中质点系对于质心的相对动量矩 有

代入式，有

2． 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于固定点的动量矩定理 左边 右边 由于 所以

矩心为质心的动量矩定理 若

则 常矢量 矩心为质心的动量矩守恒 试分析跳水运动的腾空动作（图12.31） 刚体的平面运动微分方程

设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为 刚体平面运动岁质心平动相对质心转动 随质心平动 相对质心转动

刚体平面运动微分方程：

例12.15 已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。 解：

1． 研究对象：轮

2． 分析受力：如图12.33所示

3． 分析运动：轮作平面运动，轮心沿斜面作直线运动 4． 列动力学方程求解： 轮纯滚动 联立解得： 纯滚动的条件：

5． 讨论：若，由式 得，常量 轮平动 若，则轮沿斜面打滑，此时 由方程 可求得

例12.16 已知：均质细杆质量，长度，端用两条细绳悬挂，三者个夹角，如图12.34所示。求：剪断绳时，杆的角加速度及绳的拉力。 解：

1．研究对象：杆

2．分析受力：如图12.34所示

3．分析运动：剪断绳时，杆作平面运动。质心作平面曲线，轨迹未知。

4．列动力学方程，求解：

以上三个式中有个未知量，补充一个运动学关系

以上四式联立，解得：

代入数据，得：

例12.17 已知：质量为半径为的均质圆轮，可以在半径为的圆弧轨道中作纯滚动（如图12.34所示），时圆轮由静止释放。求：（1）接触处的摩擦力和正压力

（2）微运动的周期与运动规律

解：

1．研究对象：圆轮

2．分析受力：如图12.35所示

3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动

4．列动力学方程，求解：

5．求

6．微运动时

由式令

解得

所以

周期