误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案
2006～2007第一学期
测绘工程系
2006年9月
课程名称:误差理论与测量平差基础
英文名称:
课程编号：??
适用专业：测绘工程
总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时
总学分：4学分
◆内容简介
《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程
本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度
考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
◆教学要求与主要环节
教学要求：教师教学中既要注重理论知识的讲授是否有利于学生理解掌握，又要突出对学生实践能力的培养。
教学主要环节：教学主要环节包括理论教学、习题训练、实践教学，以及理论教学和实践教学的考核等环节。理论教学使学生掌握平差的基本理论、基本知识，习题训练使学生掌握分析问题、解决问题的方法，实践教学使学生提高解决实际应用问题的实践能力，教学考核是为了督促学生对学习知识全面总结和加深理解，对教师教学质量和学生学习质量进行检验。
◆考核要求
1．理论课程教学：平时30分，期末考试70分。
2．实习：完成教学大纲和实习任务书规定的实习任务，按优、良、中、及格、不及格打分
◆课程主要内容与学时分配
理论：56学时
实习：1周
◆主要参考书
①於宗俦，于正林. 测量平差原理.武汉：武汉测绘科技大学出版社，1984
②王新洲.测量平差.北京：水利电力出版社，1990
③陶本藻.测量数据统计分析.北京：测绘出版社，1992
④崔希璋，於宗俦等.广义测量平差. 北京：测绘出版社，1992
⑤黄维彬.近代平差理论及其应用. 北京：解放军出版社，1992
⑥高士纯，于正林.测量平差基础习题集，测绘出版社，1983
⑦黑志坚，周秋生等.测量平差.哈尔滨：哈尔滨地图出版社，1999
⑧黑志坚，周秋生等.测量平差习题集.哈尔滨：哈尔滨地图出版社，2004
⑨《测绘工程》、《东北测绘》、《测绘通报》、《测绘学报》等期刊杂志
◆相关网站
国家测绘局、国家测绘局各相关网站、中国测绘报、南方测绘、测绘论坛、国土资源部、国家地理信息中心、武汉中地科技公司、国家空间基础设施等网站。
第一章绪论 2学时
◆教学目的：明确观测误差产生的原因, 掌握误差分类及其处理方法；了解测量平差发展概况。
◆重点、难点：误差分类及其处理方法
◆讲授内容纲要
提出问题：刚刚结束的测量数字化实习数据采集双观测成果过程中发现了什么问题？产生测量差异的原因是什么？观测值中为什么存在观测误差？观测误差如何计算？观测误差如何处理？
第一节观测误差
一、观测值中为什么存在观测误差？
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。结合刚刚结束的测绘数字化实习，与学生一起总结出什么是观测条件，观测条件与观测误差的关系。得出有观测就有误差的结论。
二、观测误差的计算
给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。
三、观测误差的分类及其处理
1、分类
给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。
2、处理
和学生一起总结出粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。
四、测量平差的任务
根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。
第二节测量平差学科的研究对象
研究对象为含有观测误差的各类观测值。举例说明。
第三节测量平差的简史和发展
一、测量平差理论的发展
１、经典平差理论的发展
主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。
２、近代平差理论的发展
主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。
二、平差计算方法的发展
１、手算阶段
２、半自动平差阶段
３、全自动平差阶段
结合教师的亲身经历的几十年测量数据采集手段和测量数据处理方法的不断变化，以及测绘生产实例，讲解上述三个阶段的发展，让学生了解平差计算方法发展的全过程。
第四节本课程的任务和内容
一、任务
讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。
二、内容
课本各章的内容。
小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。
作业：第一章习题1，2，3，4，8，11，13，15◆采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。
◆实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。
◆教学手段：多媒体教学。
第二章误差分布与精度指标 4学时
第一节正态分布：第二节偶然误差的规律性2学时
◆授课目的要求：了解偶然误差的分布规律;熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念
◆重点、难点：偶然误差的三个特性和两个重要概念
◆讲授内容纲要：
提出问题：偶然误差是“从表面上看无规律可循的一组观测误差”，如果其真的无规律可循，如何对其进行处理？研究其分布规律有何意义？
第一节正态分布
一、一维正态分布
绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解
绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。第二节偶然误差的规律
性
一、偶然误差分布
1、描述误差分布的三种方法
（1）列表法（通过实例列表讲解）
（2）绘图法（通过实例绘图讲解）
（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）
二、偶然误差的分布特性
(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。（界限性） (2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。（小误差占优性）(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。（对称性）三、两个重要概念
(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。
作业：第二章习题1，2，3，4，5，6，7，8◆采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。
◆实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。
◆教学手段：多媒体教学。
第三节衡量精度的指标；
第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度
2学时
◆授课目的要求: 熟记衡量精度的指标，掌握精密度计算的方法，了解测量不确定度的概念
◆重点、难点: 精密度指标及其计算
◆讲授内容纲要：
提出问题：如何衡量、评定测量成果的精度？精度指标如何确定？
一、精密度指标
（一）观测量的精密度指标
1、观测条件与精密度
配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。
2、几种常用的精密度指标
（1）方差与标准差
推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例
(2) 极限误差
分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式
(3) 相对误差
给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。
(4) 平均误差与或然误差
给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。
（二）观测向量的精度指标
1、n维随机向量的方差阵
导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。
2、两随机向量的互协方差阵
导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。
二、准确度和精确度指标
分别给出准确度和精确度的定义，及其数值指标，绘图讲解其几何意义。三、测量不确定度
给出测量数据的不确定性、不确定度的概念，可测不确定度的计算方法，不可测不确定度的估计方法。
小结：精度指标分为精密度指标、准确度指标和精确度指标三种，观测成果的质量应用精确度指标衡量，精密度指标中的方差、极限误差、相对误差几个指标应重点掌握。
作业：第二章习题9，10，11，12，13，19，22，23，27，29，30，32。
◆采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。
◆实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。
◆教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。
第三章协方差传播律及权 11学时
第一节数学期望的传播律；第二节协方差传播律 2学时
◆授课目的要求：熟记协方差传播律的基本公式，掌握传播律公式的应用方法 ◆重 点、难 点：协方差传播律公式的应用 ◆讲授内容纲要：
提出问题：已知测量成果的精度，如何衡量观测成果函数的精度？如已知观测高差的精度，如何衡量利用观测高差求得的高程的精度？
第一节 数学期望的传播律
;)(C C E =
);()(X CE CX E =
);()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ 当X i 相互独立时（i =1,2, …,n ）,
)()()(),,,(2121n n X E X E X E X X X E =第二节 协方差传播律
协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
一 误差的传递
1、线性函数误差的传递
02211...f x f x f x f Y n n ++++=
n x n x x Y f f f ?++?+?=? (2121)
推导上述公式，讲解式中符号的含义 2、非线性函数误差的传递
()n x x x f Y ...21=
n x n x x Y f f f ?++?+?=? (2121)
推导上述公式，讲解式中符号的含义 3、函数向量误差的传递
Y=FX+F 0 Y=F(X) ΔY =F ΔX
讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式 二、协方差的传递 1、基本公式 函数向量
Y=F(X) Z=K(X)
其误差向量为
ΔY =F ΔX ΔZ =K ΔX
则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为
????
?????====
F
D K D
K D F D K D K D F
D F D T X
ZY
T X YZ T X Z
T
X Y 证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。
2独立观测量函数的方差传递
2
21222221212...n T
X
Y f f f F
D F
σσσσ+++==
讲解式中符号的含义，说明公式应用的条件，强调公式的重要性。 3、分块向量函数向量的方差传递
?????
???????
=+Y
X Z r t r t 1
,1,1, ??????
?
???????=X r r YX t
r XY
r t X t
t D D D
D D Z ,,,, 证明上式，对阵中元素加以说明，给出两向量不相关时该矩阵的形式。
通过五个典型例题的讲解说明方差-协方差传播公式的应用方法和计算中需注意的问题。
小结：协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律，用其解决观测值函数（向量）的精度评定问题。本节重点是利用协方差传播律解题的方法和步骤，以及只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式的应用。
作业：第三章习题1，2，7，8，9，11，18，19，20◆采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。
◆实施步骤：提出问题，导出观测值（向量）与其函数（向量）之间的误差传递和协方差传递公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳解题方法。 ◆教学手段：CAI 课件与黑板板书相结合。
第三节 协方差传播律的应用 2学时
◆授课目的要求：掌握协方差传播律在测量上的应用方法 ◆重 点、难 点：测量上精度计算的方法及应用 ◆讲授内容纲要：
复习：当只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式。
提出问题：水准测量高差、同精度独立观测的算数平均值、若干独立误差函数和平面控制点的点位精度如何计算？
1、水准测量的精度
绘制具有N 个测站的水准高差示意图，应用协方差传播公式导出高差中误差计算公式：
站σσ
N h =? 进一步导出S 公里观测高差的中误差计算公式：
km ??σσ
S h = 举例说明公式的应用。
2、同精度独立观测值的算数平均值的精度
由算术平均值公式，应用协方差传播公式导出其中误差计算公式
N
x σ
σ=
举例说明公式的应用。 3、若干独立误差的联合影响
n z ?++?+?=? 21
2
22212n
Z σσσσ+++= 即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。
4、平面控制点的点位精度
绘支导线略图，求未知点点位中误差，用两种方法求解。 解法一： （1）、列函数式 （2）线性化
（3）应用协方差传播公式计算坐标方差 （4）计算点位方差
解法二：利用纵向方差和横向方差进行计算。
小结：本节的重点内容为水准测量高差和同精度独立观测算数平均值的精度计算问题，应熟记计算公式，能熟练应用公式进行相关计算。
作业：第三章习题21，22，23，24，26，28，29，32，33，35。
◆采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。
◆实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳解题方法。
◆教学手段：CAI 课件与黑板板书相结合。
第四节 权与定权的常用方法 2学时
◆授课目的要求：明确权、单位权方差的含义，掌握定权的常用方法 ◆重 点、难 点：权的定义式；定权的常用方法 ◆讲授内容纲要：
提出问题：从三个已知水准点分别向一个未知点作水准测量，每一测站的观测精度相同，而三条水准路线的长度不同（绘图示意），问能否取三条水准路线计算的该点高程的平均值作为该点高程的最终结果？
一、权的定义
权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。
()n i i
i
P ,...,2,1220==
σ
σ
P i 为观测值L i 的权，2
0σ是可以任意选定的比例常数。
观测值的权与观测值的方差成反比。 二、单位权方差
权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个σ0， 令σi =σ0，则得:
i
i
P ===02
2020
21σσ
σσ
上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等于2
0σ的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观测值。无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
举例（例〔1〕、例〔2〕）讲解。
三、测量中常用的定权方法
1、水准测量的权
（1）、用测站数定权（山地、起伏较大的丘陵）
利用用测站数计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用测站数定权的公式。
N
C
P h =
解释式中符号的含义。 （2）、用路线长度定权（平地）
利用用路线长度计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用路线长度定权的公式。
S
C P h =
解释式中符号的含义。
举例（例〔3〕、例〔4〕、例〔5〕）讲解。 2、距离量测的权
距离长度可通过钢尺丈量或测距仪测距得到。下面分别讨论两种情况下的定权方法。 1) 钢尺量距的权
S
C P
S
=
解释式中符号的含义。 2) 测距仪测距的权
S
S
P =022σσ
610－标称标称＋?=S S σσσ
解释式中符号的含义。 3、等精度观测算术平均值的权
利用等精度独立观测值算术平均值的方差计算公式和权的定义式导出利用观测次数定权的公式
C
P
n S
=
说明公式中符号的含义。
小结：权是用来衡量观测成果的相对精度的，单位权方差可以根据计算方便任意选定，但观测值之间的比例关系不变。水准测量的权与测站数或路线长度成反比；钢尺量测的权与距离长度成反比，光电测距的权用定义式计算，其中测距方差由固定误差和比例误差两项组成；等精度算术平均值的权与观测次数成正比。应熟记定权公式，明确公式中各符号的含义，掌握利用公式解题的方法。
作业：第三章习题 38，39，40，41，45，52。◆采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。
◆实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。
◆教学手段：CAI 课件与黑板板书相结合。
第五节 协因数和协因数传播律 2学时
◆授课目的要求：明确协因数(阵)、权阵的含义, 掌握协因数传播律公式的应用方法 ◆重 点、难 点：协因数(阵)、权（阵）的计算, 协因数传播律公式的应用 ◆讲授内容纲要：
提出问题：权是用来衡量观测成果的相对精度的，权倒数能否用来衡量观测成果的精度哪？
一、协因数
定义协因数
n i p i
i
ii
Q ,...,2,1/120
2
===σ
σ
权可表示为
i
ii
P Q =1
方差和标准差可表式为
Q
Q ii
i
ii i
σσσσ
2
02,
=?=
二、协因数阵
1、n 维随机向量X 的协因数阵 定义互协因数：
ij
ij
Q =σσ0
2
利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵
??
???
????
????
?==
Q Q
Q
Q Q Q D
Q
nn n n
X
X
对称............
1
222
1121120
σ
上式矩阵中，ij
ji
Q Q
=。当Q ij =0(i ≠j)时，则X i 和X j 互不相关。
2、分块向量的协因数阵
??
????=Y X Z
???
?????=Q
Q Q
Q Q
Y
YX
XY X X
式中，Q X 、Q Y 分别为X 、Y 向量的自协因数阵，而Q XY 、Q YX 分别为X 向量关于Y 向量的互协因数阵，Q XY 与Q YX 互为转置。当Q XY 等于零时，表示X 、Y 互不相关。
三、权阵
?
?
???????
???
??=??
???
?????????==--P P
P P
P P P P P Q Q
Q Q
Q Q Q Q
Q
Q P
nn n n n n
nn m n n n ......
...
.........
............
.........
2
1222
21
112111
2
1
222
21
112111 观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角
阵时，
P P ii
i
=。
举例（例〔1〕、例〔2〕）讲解、分析
四 协因数传播律
将协方差传播公式乘以
20
1
σ，并顾及Y Y D Q 20
1
σ=
，X X D Q 20
1σ=，即可得到观测向量X 与其函数向量
Y 、Z 之间的协因数传播公式。
列出相应公式，以及只有一个函数，且观测值之间不相关时的协因数传播公式。 举例（例〔3〕、例〔4〕）讲解、分析
小结：权与协因数互为倒数关系，权阵与协因数阵互为逆阵关系，一般情况下给了观测值的权阵求观测值的权要先求权阵的逆阵得到其协因数阵，再利用权与协因数的关系求权；协因数传播律与协方差传播律公式相仿，只记住其中一套公式，再记住协因数阵与协方差阵的关系即可。
作业：第三章习题4，59，60，61，62，63，67，68，69，70
◆采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。
◆实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。
◆教学手段：CAI 课件与黑板板书相结合。
第六节 由真误差计算中误差及其实际应用 2学时
◆授课目的要求：掌握利用真误差计算中误差的方法
◆重 点、难 点：利用不同精度的真误差计算中误差的公式及其应用 ◆讲授内容纲要：
复习：利用等精度观测真误差计算单位权中误差的公式。
提出问题：不等精度观测时，能否利用其真误差计算单位权中误差，如何计算？
一、利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式
利用协因数传播律导出利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式
σ=二、由真误差计算中误差的实际应用 1、由三角形闭合差计算测角中误差
利用协因数传播律导出由三角形闭合差计算测角中误差的公式
[]n
WW 3?+=σ
说明公式的不严密性。 2、利用双观测列之差求中误差 （1）求单位权中误差
利用协因数传播律导出利用双观测列之差求单位权中误差的公式 不等精度观测
σ=等精度观测
σ=说明公式中符号的含义。
（2）求双观测列单次观测的中误差
i
L L P i
i 10
σσσ
=='''
（3）求双观测列平均值的中误差 利用协因数传播律导出相应公式 不等精度观测
i
P i
210
σσ= 等精度观测
i
L _σσ=+0
12
水准测量双观测平差应用例题
小结：本节重点是利用双观测之差计算中误差的公式及其应用，该公式在测量中应用广泛，应重点掌握。
作业：第三章习题81，82。◆采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。
◆实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。
◆教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。
第七节系统误差的传播 1学时
◆授课目的要求：了解系统误差传播及系统误差与偶然误差联合传播的传播规律和计算方法
◆重点、难点：系统误差与偶然误差联合传播的传播规律和计算方法
◆讲授内容纲要：
一、观测值的系统误差与综合误差的方差
1、观测值的系统误差——偏差
导出偏差表达公式
2、观测值的综合误差方差——可靠性
如果系统误差部分是偶然中误差部分的三分之一或更小时，则可将系统误差的影响忽略不计。
二、系统误差的传播
导出传播公式
三、系统误差与偶然误差的联合传播
导出传播公式
小结：了解系统误差的传播规律。
作业：第三章习题83，84。
◆采用的教学方法：启发式、互动式教学。
◆实施步骤：理论讲授，实例讲解，分析，小结。
◆教学手段：多媒体教学。
第四章平差数学模型与最小二乘原理 5学时
第一节测量平差概述2学时
◆授课目的要求：明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据等概念;掌握必要观测数和多余观测数的计算方法
◆重点、难点：必要观测数和多余观测数的计算方法
◆讲授内容纲要：
提出问题：单一闭合或符合水准路线或导线必须具备哪些元素？你知道其中的起算元素和观测元素是如何确定的吗？
一、测量控制网简介
1.高程控制网(水准网或三角高程网)
包括闭合水准网和符合水准网。
绘出三组不同网形的水准网（图3-1～图3-3）。
网中元素：已知高程点，未知高程点和观测高差。
2. 平面控制网
（1）三角网
根据观测量的不同,三角网分为测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。
1)测角三角网
包括独立三角网和符合三角网。
绘出一组不同网形的三角网（图3-4）。
网中元素：已知点，未知点和观测角度。
2)测边三角网
包括独立测边网和符合测边网。
绘出一组不同网形的测边网（图3-5）。
网中元素：已知点，未知点和观测边长。
3)边角三角网
包括独立边角网和符合边角网。
绘出一组不同网形的边角网（图3-6）。
网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。
（2）导线网
包括独立导线网和符合导线网。
绘出一组不同网形的边角网（图3-7）。
网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。
还有三维网、GPS控制网、航测控制网、工程专用网等将在后续相应课程中介绍。
二、必要起算数据
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据
①水准网（三角高程网）：一个已知点高程
②测站平差：一个已知方位
③测角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。
④测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。
各种控制网中少于等于必要起算数据的控制网成为独立网，多于必要起算数据的控制网成为非独立网或附合网。
三、必要观测及其数目的确定
确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号用符号t表示。
高程网： t=p-q-1
测站平差： t=p-q-1 必要起算数据
测角网： t=2p-q-4 测边网和边角网：t=2p-q-3
P:总点数或总方向数（测站平差）；q
必要起算数据之外的起算数据
四、多余观测及其数目的确定
必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r 表示 多余观测数＝观测总数－必要观测数（r=n-t ）
五、必要观测和多余观测数目计算练习
计算图3-1至图3-7的必要观测数和多余观测数。
小结：本节介绍了测量控制网的类型，和各类控制网中应具备的必要起算元素，必要观测元素，应重点掌握必要观测元素数和多余观测元素数的计算。
作业：第四章习题1，2，3，4，7，8，9，10。
◆采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。
◆实施步骤：提出问题，讲授相关概念，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。
◆教学手段：CAI 课件与黑板板书相结合。
第二节 函数模型；第三节 函数模型的线性化；
第四节 测量平差的数学模型
2学时
◆授课目的要求: 熟记各种平差方法的函数模型、随机模型和数学模型 ◆重 点、难 点: 各种平差方法的数学模型 ◆讲授内容纲要：
提出问题：上次课列出的各类测量控制网均构成一定的几何图形，如何建立网中各类观测元素之间的关系式，从而求得它们的可靠结果哪？
第二节 函数模型
1、条件平差法
()
0~
1
,=L F r
2、间接（参数）平差法
??
? ??=1,1,~~t n X F L 3、附有参数的条件平差法
()
0~
,~1
,=X L F c
4、附有限制条件的间接（参数）平差法
()
??
???=??? ??=0~
~~1,1,1,X X F L s u n φ 用简单控制网图形举例说明。
第三节 函数模型的线性化
设
??
? ??=1,1,1,~,~u n c X L F F 用泰勒公式导出F 的线性形式为
()
x B A X L F F ~,0+?+=
根据上述函数模型线性化过程，可将各种平差方法的函数模型线性化
1、 条件平差法
0=-?W A 式中 L
L F A ~??=，()L F W -=
2、间接平差法
l x B -=?~
式中 0
~X X F B ??=，()0
X
F L l -=，
3、附有参数的条件平差法
0~=-+?W x B A
式中 (
)0
,X L F W -=，
4、附有限制条件的间接平差法
~~=--=?x
W x c l
x B
式中
~,X X
u
s c ?Φ?=
，()
0X W x Φ-=
第四节 测量平差的数学模型
1、各种平差方法的随机模型
n
n n
n n
n P Q D ,12
0,20,-==σσ
2、各种平差方法的数学模型
各种平差方法函数模型的线性形式分别与平差的随机模型联立，即为相应平差方法的数学模型。 小结：本次课所讲的各种平差方法的函数模型均能建立各观测值之间的函数关系式，正确建立这种关系式，是正确求得观测值最可靠结果的前提。
作业：第四章习题11，13◆采用的教学方法：启发式、互动式教学。 ◆实施步骤：理论讲授，实例讲解，分析，小结。 ◆教学手段：多媒体教学。
第五节 参数估计与最小二乘原理 1学时
◆授课目的要求：明确最小二乘准则的含义；掌握最小二乘原理及应用方法 ◆重 点、难 点：最小二乘原理及其应用 ◆讲授内容纲要：
提出问题：上次课介绍的各种平差函数模型中，方程的个数和未知数的个数不相等，如何求解？ 一、引例
已知平面三角形三内角应满足
1
2
3
1800~
~~L L L ++-=
或
03
2
1
=-++???W
式中
()L L L W 1110180++-=
上方程中有三个未知数，是相容方程，只能在某一准则下求得式中未知数的估值。 二、最小二乘准则:
min 1=??=Φ-D T
顾及方差阵与权阵的关系，并用Δ的估值V 代替Δ又可得
Φ==T
V PV m in
观测量真值向量的估值公式为：
V L L
+=? 式中L
?称为观测向量的“最或然值”向量或“观测值的平差值”向量；V 称为改正数向量。 三、最小二乘估计
根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计，按此准则求得一组估值的过程，称为最小二乘平差，由此而得到的一组估值是满足方程的唯一解。
如果方差阵D 和权阵P 是非对角阵，则表示观测值是相关的，按此准则进行的平差即称为相关观测平
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案 2006～2007第一学期 测绘工程系 2006年9月
课程名称:误差理论与测量平差基础 英文名称: 课程编号：?? 适用专业：测绘工程 总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时 总学分：4学分 ◆内容简介 《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。 本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。 ◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程 本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。 课程性质为必修课、考试课。 本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。 ◆主要内容重点及深度 考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。 测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。 平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。 计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。 平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
条件平差原理
§9.1 条件平差原理 在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1 ??n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式， 在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。 9.1.1基础方程和它的解 设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵 为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。当有r 个多余观测时，则平差值 应 满足r 个平差值条件方程为： ??? ? ???=++++=++++=++++0???0???0???221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数； 0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数 以i i i v L L +=?（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程 （9-2） 式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即 （9-3） 令 ?????? ? ??=?n n n n r r r r b b b a a a A 2 1 2121 ??? ? ?? ?++???++=++???++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ??? ? ?? ? =++???++=++???++=++???++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ?????? ? ? ?=?n n L L L L 211 ?????? ? ? ? =?n n L L L L ????211 1?n L n n P ?1 ?n V 1 ??n L 1 ??n L
《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案) 一、名词解释（每题2分，共10分） 1、偶然误差 ——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。 2、函数模型线性化 ——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。 3、点位误差椭圆 ——以点位差的极大值方向为横轴X 轴方向，以位差的极值F E 、分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。 4、协方差传播律 ——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。如 0K KL Z +=，若观测向量的协方差阵为LL D ，则按协方差传播律，应有T LL ZZ K KD D =。 5、权 ——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，220 i i P σσ=。 二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分） 参考答案：X √X √X X X √√X 三、选择题（每题3分，共15分） 参考答案：CCDCC 四．填空题（每空3分，共15分） 参考答案：1. 6个 2. 13个 3.1/n 4. 0.4 5. 0) () () () (432 00 2 0=''+?+?+-''+ -''- W y S X X x S Y Y C AC A C C AC A C ρρ,其中 AB A C A C X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan 五、问答题（每题4分，共12分） 1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？ 答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分） ⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，
《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案) 一、名词解释（每题2分，共10分） 1、偶然误差 ——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。 2、函数模型线性化 ——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。 3、点位误差椭圆 ——以点位差的极大值方向为横轴X 轴方向，以位差的极值F E 、分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。 4、协方差传播律 ——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。如0 K KL Z +=， 若观测向量的协方差阵为LL D ，则按协方差传播律， 应有T LL ZZ K KD D =。 5、权
——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征， 2 20 i i P σσ=。 二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分） 参考答案：X √X √X X X √√X 三、选择题（每题3分，共15分） 参考答案：CCDCC 四．填空题（每空3分，共15分） 参考答案：1. 6个 2. 13个 3.1/n 4. 0.4 5. ) () () () (432 2 0=''+?+?+-''+ -''- W y S X X x S Y Y C AC A C C AC A C ρρ,其中 AB A C A C X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan 五、问答题（每题4分，共12分） 1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？ 答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分） ⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，其类型是由必要元素所决定的，其数量，必须等于必要元素的个数。（2分） 2. 简述偶然误差的特性 答：⑴在一定条件下，误差绝对值有一定限值。或者说，
误差理论与测量平差基础期末考试试卷样题
误差理论与测量平差基础期末考试试卷样题 一、填空题（15分） 1、误差的来源主要分为、、。 2、中误差是衡量精度的主要指标之一，中误差越，精度越。极限误差是指。 3、在平坦地区相同观测条件下测得两段观测高差及水准路线的长分别为： h 1=10.125米，s 1 =3.8公里，h 2 =-8.375米，s 2 =4.5公里，那么h 1 的精度比h 2 的精 度______，h 2的权比h 1 的权______。 4、间接平差中误差方程的个数等于________________,所选参数的个数等于 _______________。 5、在条件平差中，条件方程的个数等于。 6、平面控制网按间接平差法平差时通常选择________________为未知参数，高程控制网按间接平差法平差时通常选择________________为未知参数。 7、点位方差与坐标系，总是等于。
二、 水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过10mm ，水准路线全长高差 中误差不超过20mm,则该水准路线长度不应超过多少公里？（5分） 三、已知观测向量()L L L T =1 2的协方差阵为D L =--?? ?? ?3112,若有观测值函数 Y 1=2L 1，Y 2=L 1+L 2，则σy y 12等于？（5分）
四、观测向量L L L T =()1 2的权阵为P L =--()31 14 ，若有函数X L L =+12, 则函数X 与观测向量L 的互协因数阵Q XL 等于什么? （5分） 五、对某长度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差为2mm ，设4次观测值平均值的权为2。试求：（1）单位权中误差0σ；（2）一次观测值的权；（3）若使平均值的权等于8，应观测多少次？ （9分）
误差理论与测量平差基础试卷
长沙理工大学考试试卷 …………………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 范志勇 系主任签名 …………………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 误差理论与测量平差基础 课程代号 0809021 专 业 测绘工程 层次（本、专） 本 考试方式（开、闭卷） 闭 一、 正误判断（正确“T ”，错误“F ”每题1分，共10 分）。 1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m ±4.5cm 与218.268m ±4.5cm ，则其真误差与精度均相同（ ）。 2．如果X 与Y 的协方差0xy σ=，则其不相关（ ）。 3．水准测量中，按公式i i c p s = （i s 为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（ ）。 4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（ ）。 5．在某一平差问题中，观测数为n ，必要观测数为t ，参数个数u ＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。（ ）。 6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（ ）。 7．根据公式() 222220 cos sin 0360E F θσθθθ=+≤≤得到的曲线就是误差椭圆（ ）。 8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（ ）。 9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数0σ，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（ ）。 10．设观测值向量,1 n L 彼此不独立，其权为() 1,2 ,,i P i n = ，12(,,,)n Z f L L L = ，则有 2 221122111 1Z n n f f f P L P L P L P ?????????=+++ ? ? ?????????? （ ）。 二、填空题（每空2分，共24分）。 1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒，则测角中误差为 秒。 2、某平差问题函数模型)(I Q =为?? ?????=-=--=+-+=--0?0306051 54431 2 1x v v v v v v v v ，则该函数模型为 平差方法的模型；=n ，=t ，=r ，=c ，=u 。
测量平差题目及答案
《误差理论与测量平差基础》课程试卷A 2010-06-27 11:30:49 来源：《误差理论与测量平差基础》课程网站浏览：4次 武汉大学测绘学院 2007-2008学年度第二学期期末考试 《误差理论与测量平差基础》课程试卷A 出题者课程小组审核人 班级学号姓名成绩 一、填空题（本题共20个空格，每个空格1.5分，共30分） 1、引起观测误差的主要原因有（1）、（2）、（3）三个方面的因素，我们称这些因素为（4）。 2、根据对观测结果的影响性质，观测误差分为（5）、（6）、（7）三类，观测误差通过由于（8）引起的闭合差反映出来。 3、观测值的精度是指观测误差分布的（9）。若已知正态分布的观测误差落在区间的概率为95.5%，则误差的方差为（10），中误差为（11）。 4、观测值的权的定义式为（12）。若两条水准路线的长度为、，对应的权为2、1，则单位权观测高差为（13）。 5、某平差问题的必要观测数为，多余观测数为，独立的参数个数为。若，则平差的函数模型为（14）。若（15），则平差的函数模型为附有参数的条件平差。 6、观测值的权阵为，的方差为3，则的方差为（16）、 的权为（17）。 7、某点的方差阵为，则的点位方差为（18）、误差曲线的最大值为（19）、误差椭圆的短半轴的方位角为（20）。 二、简答题（本题共2小题，每题5分，共10分）
1、简述观测值的精度与精确度含义及指标。 在什么情况下二者相同？ 2、如图1所示，A、B、C、D为已知点，由A、C分别观测位于直线AC上的点。观测边长、及角度、。问此问题的多余观测数等于几？若采用条件平差法计算，试列出条件方程式（非线性方程不必线性化）。 图1 三、（10分）其它条件如上题（简答题中第2小题）。设方位角，观测边长，中误差均为，角度、的观测中误差为 。求平差后点横坐标的方差（取）。 四、（10分）采用间接平差法对某水准网进行平差，得到误差方程及权阵（取 ） （1）试画出该水准网的图形。 （2）若已知误差方程常数项，求每公里观测
误差理论与测量平差基础习题集
第五章条件平差 §5-1条件平差原理 条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得 5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少? 5. 1.03 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。 图5-1 5. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为H a= 12.123 m , H b=11. 123m,观测高差和线路长度为: 图5-2 S1=2km,S2=Ikm,S3=0.5krn,h1 =-2.003m,h2=-1.005 m,h3=-0.501 m，求改正 数条件方程和各段离差的平差值。 在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程H A=10.000m,观测了5条路线的高差: h1=1.628m， h2=0. 821 m， h3=0.715m， h4=1.502m， h5=-2.331 m。 各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差 值。 有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测 量，测得高差及水准路线长度为 h1 =1 .335 m，S1=2 km; h2=1.055 m，S2=2 km; h3=-2.396 m，S3=3km。试按条件平差法求各高差的平差值。 如图5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″； L3=301°45′42″，=10″. (1)列出改正数条件方程; (2)试用条件平差法求∠C的平差值(注:∠C是指内角)。 5-2条件方程 5. 2.08 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一? 列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关? 5.2. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点，h i表 示观测高差)。 (a) (b) 图5-6
误差理论与测量平差基础知识点的不完全归纳
第一章绪论 1、误差理论与测量平差基础是一门专业、基础、理论、核心课程。 2、测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关信息的数据。 3、任何观测数据总是包含信息和干扰两部分（有效信息和干扰信息）。采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差。 4、观测数据总是不可避免带有误差。 5、误差即测量值与真值之差。 6、当对某个量进行重复观测时就会发现，这些观测值之间往往存在差异，这是由于观测值中包含有观测误差。 7、误差来源于观测条件，观测条件包括测量仪器、观测者、外界条件。 8、偶然误差即总是假定含粗差的观测值已被剔除；含系统误差的观测值已经过适当改正。在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。 9、在测量中产生误差是不可避免的。 10、根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为偶然误差（Δ）、系统误差和粗差（） 三类。【】 11、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而然，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。（如估读不准确） 12、系统误差包括常差、规律差、随机性系统误差。 13、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在个过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。（如视准轴与水准管轴不平行、仪器下沉、水准尺下沉、水准尺竖立不垂直） 14、系统误差的存在必然影响观测结果，具有一定的累加性，是影响巨大的。 15、粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所能出现的最大误差还要大的误差。（误差=错误，消除粗差的方法：多余观测进行发现、剔除粗差。测量数据中一旦发现粗差，需要舍弃或重测） 16、属于经典测量平差范畴。 17、如何处理由于多余观测引起观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度是测量平差的基本任务（研究路线）。 18、偶然误差概率统计理论包括偶然误差的分布、评定精度的指标、误差的传播规律、误差检验和误差分析等。 19、测量平差的基本定义是依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。 20、测量平差即测量数据调整的意思。 21、P10 公式2-2-5 22、方差和协方差数字特征 23、测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最佳估值，并评定测量成果的精度。 24、正态分布中没有一个比其他的变量占有绝对优势 25、当观测量仅含有偶然误差时，其数学期望也就是它的真值，真误差=真值—观测值=期望
误差理论与测量平差(专升本)阶段性作业4
误差理论与测量平差(专升本)阶段性作业4 试卷总分：100分 单选题 1. 某平差问题有17个同精度观测值，必要观测数等于9，现取8个参数，且参数之间有2个限制条件。若按附有限制条件的条件平差法进行平差，误差方程和限制条件方程的个数分别为_______。(4分) (A) 26,2 (B) 14,2 (C) 13,2 (D) 16,2 参考答案：B 2. 在间接平差中，平差值、观测值L以及改正数V之间的关系正确的是_______。(4分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：C 3. 在利用间接平差法求解参数时，计算得到法方程为，则未知数的协因数为(4分) (A) 5 (B)
(C) (D) 4 参考答案：B 4. 下列对于概括平差模型计算出的估计量和的统计性质的有效性的描述中，正确的是(4分) (A) 满足有效性，不满足有效性 (B) 满足有效性，不满足有效性 (C) 不满足有效性，满足有效性 (D) 不满足有效性，不满足有效性 参考答案：B 5. 在附有限制条件的间接平差中，以下说法正确的是_______。(4分) (A) 任意选取个参数 (B) 参数的选取方法唯一 (C) 平差是可列出个方程和个限制方程 (D) 限制条件 参考答案：C 6. 若n代表观测值总数，代表必要观测数，再增选个参数且个参数中含有个独立参数，在附有限制条件的间接平差中，误差方程的个数为_______。(4分) (A) (B) (C) (D)
7. 在间接平差法中，对于平差值，闭合差，改正数与未知数的关系描述中，下列式子成立的是_______。(4分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：B 8. 已知某平面控制网中待定点P的协因数阵为，并求得，则位差参数E和F的值分别为_______。(4分) (A) 1.24，0.95 (B) 1.24，0.92 (C) 1.29,0.95 (D) 0.95，,092 参考答案：A 9. 某三角网中有一待定点P，设其坐标参数为，经平差求得， ，则时的位差为_______。(4分) (A) (B) (C) (D)
条件平差与间接平差的内在关系研究
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/0a11113703.html, 条件平差与间接平差的内在关系研究 作者：曹白金王兵张健 来源：《城市建设理论研究》2013年第23期 摘要：条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,本文从条件平差原理和间接平差原理 入手，利用矩阵分析理论,导出了条件平差与间接平差法的计算公式，揭示了平差模型计算公 式的内在规律，并给出了相应的实例，从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题，并以此为基础证明了这两种平差方法结果之间的一致性。 关键词：平差方法;一致性;条件平差;间接平差 中图分类号： P207 文献标识码： A 文章编号： Abstract:Condition adjustment and indirect adjustment are the two basic methods of the measurement adjustment.To start with the methods of condition adjustment and indirect adjustment,the formula was deduced using matrix theory in this paper,and the internal rules have been revealed of the adjustment models.The corresponding example is also been given in the paper.The basic relationship between the two adjustment methods has been solved,and it is also the foundation to prove the consistency of two different adjustment methods. Key words:adjustment method,consistency,condition adjustment,indirect adjustment 1 条件平差与间接平差原理 1.1 条件平差的原理 条件平差是以个观测量的平差值作为未知数，并通过它们之间存在的个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用求条件极值的原理解出改正数，从而求得各观测量的平差值。 条件平差的数学模型为,条件方程个数等于多余观测数，为观测值总个数，为必要观测 数，存在关系。设个平差值线性条件方程为： 1-1 其中、、...、为各平差值条件方程式中的系数；、、...、为各平差值条件方程式中的常数项。 将式代入1-1，得相应的改正数条件方程式 1-2
误差理论与测量平差基础
《测量平差》课程设计任务书 一、设计目的及意义 本设计重点检查同学们利用误差理论与测量平差知识，解决测量控制网平差问题的能力。综合运用测量平差基础知识解决较大型平面控制网的平差及精度估算问题。正确绘制未知点误差椭圆，学会用误差椭圆图解特定方向测边中误差及方位角中误差等，为将来实际工程测量控制网平差计算打好基础。 二、设计要求 请利用间接平差法进行平差计算，要求如下： 1、设计说明书必须严格按照贵州大学矿业学院课程设计格式要求进行认真、按时 撰写完成，课程设计时间为2周。 2、说明书中必须体现和包括以下内容： 1)误差方程系数计算过程（可自行绘制表格计算说明） 2)法方程的建立过程 3)权的确定 4)必须求出未知点坐标改正数平差值、观测值的平差值，并进行相关精度评定， 求出未知点点位中误差 5)计算待定点误差椭圆元素并在控制网图上 ．．．．．．．按同一比例绘制未知点点位误差椭圆 3、完成课程设计任务后，必须同时上交纸质文档和电子文档，统一要求上交 word2003 ．．．，课程设计相关附件一并装订好打印上交。装订顺序为：课．．．．．．．．电子档 程设计封面（无需彩打）、课程设计任务书、课程设计说明书目录、摘要、正 文、参考文献、相关附件、指导教师评语 三、设计原始资料 如图1所示，有一测角网，共27个角度观测值（如表1），已知点坐标（如表2），试按间接平差法按设计要求完成本次课程设计任务。 表1 角度观测值表
2起始数据 角度编号 观测值角度 编号 观测值角度 编号 观测值°′″°′″°′″ 1 60 59 7.0 10 46 20 24.0 19 63 2 2 07.5 2 47 42 20.8 11 45 32 25.8 20 54 12 45.0 3 71 18 31.5 12 88 07 11.0 21 62 25 08.0 4 49 47 37.1 13 61 23 58.1 22 42 32 28.5 5 7 6 21 29.0 14 43 3 7 45.0 23 57 56 33.3 6 53 50 54.2 15 74 58 18.0 24 79 30 58.0 7 60 11 07.0 16 49 20 18.0 25 57 36 14.6 8 48 03 51.0 17 82 50 35.1 26 46 33 12.5 9 71 45 03.6 18 47 49 07.6 27 75 50 33.1 图1 控制网略图
第1章习题(测量平差基础)
第一章思考题 1.1 观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？ 1.2 观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测结果有什么影响？试举例说明。 1.3 用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号： （1） 尺长不准确； （2） 尺不水平； （3） 估读小数不准确； （4） 尺垂曲； （5） 尺端偏离直线方向。 1.4 在水准了中，有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号： （1） 视准轴与水准轴不平行； （2） 仪器下沉； （3） 读数不准确； （4） 水准尺下沉。 1.5 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？ 1.6 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'"450000α= 作12次同精度观测，结果为： ' " 450006 '" 455955 '" 455958 '" 450004 ' " 450003 ' " 450004 ' " 450000 ' " 455958 ' " 455959 ' " 455959 ' " 450006 ' " 450003 设a 没有误差，试求观测值的中误差。 1.7 已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m ±4.5cm 及660.894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？ 1.8 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1 试求两组观测值的平均误差1?θ、2?θ和中误差1?σ、2?σ ，并比较两组观测值的精度。 1.9 设有观测向量1 221 []T X L L =，已知1?L σ=2秒，2?L σ=3秒，12 2 ?2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。
测量平差基础名词解释
第一章 1、观测误差产生的原因很多，概括起有以下三种：测量仪器（感觉器官的局限、技术水平、 工作态度）、观测者（具有一定限度的准确度）、外界条件（温度、湿度、风力、大气折光等）。 2、偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差,也叫随机误差。 采取措施：处理带有偶然误差的观测值，就是本课程的内容，也叫做测量平差。 3、系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差就称为系统误差。 消除或削弱的方法：采取合理的操作程序（正、倒镜，中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正数。 4、粗差：粗差即粗大误差，或者说是一种大量级的观测误差，是由于测量过程中的差错造成的。 发现、剔除粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。 5、测量平差两大任务：（1）、求平差值（求未知量的最佳估值）；（2）、精度评定（评定测量成果精度）。 6、测量平差 7 8 9、真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测值真值 10、真误差：真值与观测值之差 11、残差（改正数）：改正数（V）= 平差值（）- 观测值（） 12、偶然误差的四个统计特性： （1）一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）； （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐降性）； （3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； （4）偶然误差的数学期望为零（抵偿性） 13、平均误差：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望，称为平均误差 14、或然误差：误差出现在（- ρ，+ ρ）之间的概率等于1/2，即 15、极限误差：通常将三倍（或两倍）的中误差作为极限误差，即 16、相对中误差的定义是：中误差与观测值之比，即 17、精度：是指误差分布的密集或离散程度，即：L与E（L）接近程度。 18、准确度：又名“准度”，是指随机变量X的真值与其数学期望之差，（是衡量系统误差大小程度的指标）
测量平差超级经典试卷含答案
一、填空题（每空 1 分，共 20 分） 1、测量平差就是在多余观测基础上，依据一定的原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的改正数，使矛盾消除，从而得到一组最 可靠的结果，并进行精度评估。 2、条件平差中，条件方程式的选取要求满足、。 3已知条件平差的法方程为{ EMBED Equation.3| 42k 140 ，则=， 23k22 =， =，=。 4、已知某平差问题，观测值个数为79，必要观测量个数为35，则按条件平差进行求解时，条件方程式个数为，法方程式个数为。 5、已知某平差问题观测值个数为50，必要观测量个数为22，若选 6 个独立参数按具有参数的条件平差进行求解，则函数模型 个数为，联系数法方程式的个数为；若在 22 个独立参数的基础上，又选了 4 个非独立参数按具有条件的参数 平差进行求解，则函数模型个数 为，联系数法方程式的个数 为。 6、间接平差中误差方程的个数等于 ________________, 所选参数的个数等于
_______________。 7、已知真误差向量及其权阵，则单位权中 误差公式为，当权阵为 此公式变为中误差公式。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、观测条件是指: A)产生观测误差的几个主要因素: 仪 器, 观测者 , 外界条件等的综合 B)测量时的几个基本操作 : 仪器的对中 , 整平 , 照准 , 度盘配置 , 读数等要素的综 合 C)测量时的外界环境 : 温度 , 湿度 , 气压 , 大气折光??等因素的综合 . D)观测时的天气状况与观测点地理状 况诸因素的综合 答:_____ 2、已知观测向量的协方差阵为, 若有观测值函数Y1=2L1， Y2=L1+L2，则等于？ (A)1/4(B)2 《测量平差基础》期末试卷本卷共 4页第2页
测量平差中条件方程的建立
§3-4 三角网条件平差计算 2学时 三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。 三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。 在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。 一、网中条件方程的个数 三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。 要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数： r = n - t 由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。
误差理论与测量平差基础期末考试
2009-2010学年度第二学期期末考试 误差理论与测量平差基础 课程试卷（A 卷） 出题者： 审核人： 班级： 学号： 姓名： 分数： 一. 已知观测值向量21 L 的协方差阵为?? ????--=3112LL D ，又知协因数51 12-=Q ，试求观测值的权阵LL P 及观测值的权1L P 和2L P 。（10分） 二. 在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设对A ∠观测4测回的权为1， 则对B ∠观测9个测回的权为多少？（10分） 三. 在图一所示测角网中，A 、B 为已知点，BC α为已知方位角，C 、D 为待 定点，721,,,L L L 为同精度独立观测值。 若按条件平差法对该网进行平差： 共有多少个条件方程？各类条件方程各有多 少个？ 试列出全部条件方程（非线性条件方程要求 线性化）。（15分） 图一 四. 某平差问题有以下函数模型)(I Q = ???????=-=--=+-+=--0 ?0 30 6051 5 4 4 3 12 1x v v v v v v v v 试问： (1). 以上函数模型为何种平差方法的模型？ (2). 本题中，=n ，=t ， =r ，=c ，=u ，=s 。(10分) 五. 在图二所示测角网中，已知A 、B 两点的坐标和P 1、P 2两待定点的近似坐 标值（见图二，以“km ”为单位），以及0000330001'''=BP α，00003000 2'''=BP α， km BP 0.201=，km S BP 0.20 2=，721,,,L L L 65955906'''=L 。 试列出 6L 的误差方程(设5102?=ρ，x ?、 图二 y ?以dm 为单位)。(10分) 六. 有水准网如图三所示，网中A 、B 为已知点，C 、D 为待定点，51~h h 为高差观测值，设各线路等长。已知平差后算得)(482mm V V T =，试求平差后C 、 D 两点间高差5?h 的权及中误差。（10分）
间接平差原理
§4-1 间接平差原理 2学时 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。 例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2 和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式 （4-1-1）可得 （4-1-2） 为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2）式可写成如下形式： （4-1-3）
式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一 个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，、、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值 有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要 求：，设观测值为等精度独立观测，则有： 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得 代入误差方程式，得到观测值的最或然值 此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
一般地，间接平差的函数模型为 （4-1-4） 平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值， 令 （4-1-5） 代入（4-1-4）式，并令 （4-1-6） 由此可得误差方程 （4-1-7） 式中为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数视为非随机参 数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后，由（4-1-6） 式可得。 间接平差的随机模型为 （4-1-8） 平差准则为 （4-1-9） 间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中 是求多元函数的自由极值问题。
(完整word版)[精品]误差理论与测量平差基础试题
黑龙江工程学院期末考试卷 2003－2004学年 第 一 学期 考试科目：测 量 平 差（三） 一、选择题(每小题3分，共18分) 1、用钢尺量得两段距离的长度:L m cm L m cm 12100051005=±=±,，选出正确答案： A)由于σσ12=,故两个边长的观测精度相同。 B)由于L L 12>,故L 2的精度比L 1的精度高。 C)由于σσ1122//L L <,故L 1的精度比L 2的精度高。 D)由于它们的中误差相同,所以它们的精度相同。 答:_____ 2、已知观测向量()L L L T =12的协方差阵为D L =--?? ?? ?3112,若有观测值函数 Y 1=2L 1，Y 2=L 1+L 2，则σy y 12等于？ (A)1/4 (B)2 (C)1/2 (D)4 答:_____ 3、观测向量L L L T =()12的权阵为P L =--()3114，若有函数X L L =+12,则 函数X 与观测向量L 的互协因数阵Q XL 等于什么? (A)()34 (B)( )511411 (C)()311411 (D)()3411 答:____ 4、已知测角网如下图,观测了各三角形的内角,判断下列结果,选出正确答案。 A B C D A)应列出4个条件方程, B)应列出5个线性方程 C)有5个多余观测 , D)应列出5个角闭合条件 答:_____ 5、已知误差方程为:??? ??=-=+=-+-===v x v x v x x p p p 11223 12123567121 ，法方程为: A)2113250012--????????????+--??????=??????x x ， B)2113250012--???????????? +??????=???? ??x x C)2003250012????????????+--??????=??????x x ， D)2003250012???????????? +??????=???? ??x x 答：____ 6、已知条件方程为: v v v v v v v S S 1231 227006*********++-=-++-+=? ??..... 权:p p p p S 1 23121 ====,(秒22/cm ),p S 2 05=.(秒22/cm ),解算其法方程 得 :K =-80..,据此可求出v 2为: A)0.8秒 B)-0.5厘米 C)0.5秒 D)0.9秒 答:_____ 二、填空题(每空2分，共10分) 1、n 个独立观测值的方差阵是个________阵,而n 个相关观测值的方差阵是个_____阵。 2、水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过10mm ，水准路线全长高差 中误差不超过100mm,则该水准路线长度不应超过____公里。 3、高程控制网按参数平差法平差时通常选择________________为未知参数。 4、点位方差的计算公式共有_____种。 三、判断题(每小题1分，共4分) 1、在水准测量中，由于水准尺下沉，则产生系统误差，符号为“+”。 答:_____ 2、若观测量的准确度高，其精密度也一定高。 答:_____ 3、在条件平差中，改正数方程的个数等于多余观测数。 答:_____ 4、点位方差总是等于两个相互垂直方向上的方差之和。 答:_____ 四、问答题(每小题4分，共16分) 1、 观测值中为什么存在观测误差？ 2、对某量进行观测，结果出现 [] ?n 不趋于0，原因可能有哪些？ 3、什么叫必要观测？其数目用什么符号表示？各类控制网的必要观测数如 何来确定？