动态最优化第13讲 动态规划的经济学应用(优选.)
动态规划算法原理与的应用
动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日
摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数
经典算法——动态规划教程
动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6
动态规划应用(含程序)
动态规划算法的应用 一、动态规划的概念 近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的NOI几乎都至少有一道题目需要用动态规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推和建模上了。 要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用k表示。此外，也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。 在前面的例子中，第一个阶段就是点A，而第二个阶段就是点A到点B，第三个阶段是点B到点C，而第四个阶段是点C到点D。 状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点。 在前面的例子中，第一个阶段有一个状态即A，而第二个阶段有两个状态B1和B2，第三个阶段是三个状态C1，C2和C3，而第四个阶段又是一个状态D。 过程的状态通常可以用一个或一组数来描述，称为状态变量。一般，状态是离散的，但有时为了方便也将状态取成连续的。当然，在现实生活中，由于变量形式的限制，所有的状态都是离散的，但从分析的观点，有时将状态作为连续的处理将会有很大的好处。此外，状态可以有多个分量(多维情形)，因而用向量来代表；而且在每个阶段的状态维数可以不同。 当过程按所有可能不同的方式发展时，过程各段的状态变量将在某一确定的范围内取值。状态变量取值的集合称为状态集合。 无后效性：我们要求状态具有下面的性质：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响，所有各阶段都确定时，整个过程也就确定了。换句话说，过程的每一次实现可以用一个状态序列表示，在前面的例子中每阶段的状态是该线路的始点，确定了这些点的序列，整个线路也就完全确定。从某一阶段以后的线路开始，当这段的始点给定时，不受以前线路（所通过的点）的影响。状态的这个性质意味着过程的历史只能通过当前的状态去影响它的未来的发展，这个性质称为无后效性。 决策：一个阶段的状态给定以后，从该状态演变到下一阶段某个状态的一种选择（行动）称为决策。在最优控制中，也称为控制。在许多间题中，决策可以自然而然地表示为一个数或一组数。不同的决策对应着不同的数值。描述决策的变量称决策变量，因状态满足无后效性，故在每个阶段选择决策时只需考虑当前的状态而无须考虑过程的历史。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么
浅谈我国动态规划算法研究与应用
动态规划算法研究与应用 1.引言 动态规划被认为是组成运筹学其中的一部分，也被当成为进行运算决定时最好的一种数学方式。在1950年左右，美国相关方面的几位数学家，对阶段决策期间关于优化的问题做了大量的研究，并发布著名的最优化理论，将众多的阶段变成了一个一个单一的问题，并分别进行解答，最后，发明了能够处理这种相关优化方面事情新的解决措施——动态规划。到了1957年，创造出了Dynamic Programming这一名著，被称为该领域创作第一人[1]。 在数学和计算机科学领域，动态规划算法对于求解最优解的问题方便快捷。动态规划方法经常用来解决生活中的实际问题，这些问题往往可以分解为很多个子问题，每个子问题都有一个对应解，其中的临界值就是我们所要求得的最优解。动态规划并非一种数学算法，而是用于最优化解题的一种技巧和方法。它非但不具有一个标准的数学方程式，不能够推导出清晰明确的解题步骤，更不具备万能性。对于要解决的若干问题，一定要建立在正确理解的基础上具体问题具体分析，用我们现有的数学知识和丰富的想象力创建模型，结合日常的技巧分析求解。客观人为的介入时间和空间因素，只要可以分为若干子问题的多状态过程，就可以用此方法快速求解。 2.动态规划算法简介 动态规划诞生之后，很快就在在工业生产、金融管理、工程技术、和资源最大化利用等领域得到了好评。在处理路线规划、物品进出库管理、资源最优化利用、更换设备、顺序、装载等问题，动态规划算法相比于其他算法更有优势而且更加便捷。 2.1基本原理 其主要的理论可以被理解成是将求解的划分成若干个子问题，并将其称作为N，然后这些子问题又有N个解的情况，其中这些可行解之中一定会有一个最优解，研究动态规划也就是希望能够找到最优解[2]。 如何能够合理的推导出基本的最优化方程式和找出唯一的临界值是研究动
动态规划的原理及应用
动态规划的原理及应用 班级：计科1302班 小组成员：王海涛蔡佳韦舒 蒋宪豪尹卓 完成时间：2015年5月26日
动态规划的原理及应用 学生：算法设计第5组，计算机系 指导教师：甘靖，计算机系 摘要：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。特点是把多阶段决策问题变换为一系列相互联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。其基本思想就是把全局的问题化为局部的问题，为了全局最优必须局部最优，适用于在解决问题过程中需要多次重复解决子问题的问题。其应用领域广泛，涉及到管理学、经济学、交通、军事和计算机等多个领域，将动态规划思想正确地应用于实践，将对我们的生活带来便利，甚至带给我们的社会和国家以保障。 关键词：动态规划；最优决策；应用；领域 The Principle and Application of Dynamic Programing The dynamic programing is a way to solve optimization problem in the process of multi-stage decision,whose feature is alter the multi-stage decision problems to single phase problems which are connected with each other,and then solve them one by one.The basic idea is to change the overall problem into partcial problem.And the partcial one must keep the best in order to promise the quality of overall one,which splies to repeatedly solving subproblem throughout the whole process.It is spreading to many fields,like management,economics,traffic,military and computer. Put the idea of dynamic programing correctly into practice will bring a lot of convenience to our daily life,our society as well as our country.
算法合集之《动态规划算法的优化技巧》
动态规划算法的优化技巧 福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文 [正文] 一、引言 动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。 使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。 本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。 二、动态规划时间复杂度的分析 使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。 但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。 三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数 我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。
运筹学实验_动态规划
实验二用MATLAB解决动态规划问题 问题:有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货物,如果各零售店出售该货物所得利润如下表所示,试求在各零售店卸下几箱货物,能使获得总利润最 解: 1)将问题按售货店分为四个阶段 2)设s k表示为分配给第k个售货店到第n个工厂的货物数, x k设为决策变量,表示为分配给第k个售货店的货物数, 状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。 P k(x k)表示为x k箱货物分到第k个售货店所得的盈利值。 f k(s k)表示为s k箱货物分配给第k个售货店到第n个售货店的最大盈利值。 3)递推关系式: f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1 边界条件:f5(s5)＝0 4)从最后一个阶段开始向前逆推计算。 第四阶段: 设将s4箱货物(s4＝0,1,2,3,4,5,6)全部分配给4售货店时,最大盈利值为: f4(s4)＝max[P4(x4)] 其中x4＝s4＝0,1,2,3,4,5,6 x4*表示使得f4(s4)为最大值时的最优决策。 第三阶段:
设将s3箱货物(s3＝0,1,2,3,4,5,6)分配给3售货店与4售货店时,对每一个s3值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ,x3＝ 第二阶段: 设将s2箱货物(s2＝0,1,2,3,4,5,6)分配给2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ] 第一阶段: 设将s2箱货物(s1＝0,1,2,3,4,5,6)分配给1售货店、2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ] 按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有6个: 1） x1*＝1,x2*＝1,x3*=3,x4*=1。 2） x1*＝1,x2*＝2,x3*=2,x4*=1。 3） x1*＝1,x2*＝3,x3*=1,x4*=1。
lab4_动态规划算法设计与应用
实验四动态规划算法设计与应用 一. 实验目的和要求 1.加深对动态规划算法的基本原理的理解，掌握用动态规划方法求解最优化问题的方法步骤及应用； 2.用动态规划设计整数序列的最长递增子序列问题的算法，分析其复杂性，并实现； 3.用动态规划设计求凸多边形的三角剖分问题的算法，分析其复杂性，并实现。 4.选做题：用动态规划设计求解0/1背包问题的算法，分析其复杂性，并实现。 二．基本原理 动态规划是一种非常重要的程序设计方法，常用于求解最优化问题。最优化问题：给定若干个约束条件和一个目标函数，在某指定集合中求满足所有约束条件的且使得目标函数值达最大或最小的元素和相应的目标函数值，即：问题的最优值和最优解。 适用动态规划求解的问题的基本要素： (1)满足最优性原理：即一个最优化问题的最优解包含了其子问题的最优解。 (2)无后向性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也即，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关，这种特性也被称为无后效性。 (2)具有重叠的子问题：即问题被分解成的子问题存在互相重叠。动态规划方法对于这些重叠的子问题只求解一次，以提高算法的效率。 三．该类算法设计与实现的要点 动态规划算法求解最优化问题的步骤： (1) 找出问题的最优子结构。分析问题的最优解（最优值）的结构特征。 (2) 递归地定义最优值。根据最优子结构，确定最优值所满足的递归公式。 (3) 计算最优值。根据最优值的递归公式，采用自底向上的迭代或自顶向下的递归，计算最优值。 (4) 构造最优解。在求解最优值的过程中要记录下得到最优值的相应最优解的信息，并根据该信息构造最优解。 注意：在计算最优值时应保存相应的信息： (a) 已经求出的子问题的最优值（避免重复计算）。 (b) 最优解的有关信息。 动态规划算法求解其它问题的步骤： (1) 根据最优化原理分析问题的解的结构。 (2) 递归地定义问题的解。 (3) 计算问题的解。根据解的递归公式，自底向上或自顶向下地计算解，计算过程中注意保存已经求出的子问题的解。 其中，自底向上方法通过迭代来实现，适用于所有的子问题都需要解的情况，实现时要注意根据递归公式正确确定子问题的求解顺序。自顶向下方法通过递归来实现，适用于不必解所有的子问题的情况，实现时要注意标记子问题是否计算过，同一个子问题只在第一次递归调用时计算并存储结果。 四．实验内容 (一) 最长递增子序列问题
动态规划算法及其应用
湖州师范学院实验报告 课程名称：算法 实验二：动态规划方法及其应用 一、实验目的 1、掌握动态规划方法的基本思想和算法设计的基本步骤。 2、应用动态规划方法解决实际问题。 二、实验内容 1、问题描述 1 ）背包问题 给定 N 种物品和一个背包。物品 i 的重量是 C i ，价值为 W i ；背包的容量为 V。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包的物品，对每种物品只有两个选择：装入或不装入，且不能重复装入。输入数据的第一行分别为：背包的容量 V，物品的个数 N。接下来的 N 行表示 N 个物品的重量和价值。输出为最大的总价值。 2）矩阵连乘问题 给定 n 个矩阵：A1,A2,...,An，其中 Ai 与 Ai+1 是可乘的，i=1 ， 2... ， n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 3 ）LCS问题 给定两个序列，求最长的公共子序列及其长度。输出为最长公共子序列及其长度。 2、数据输入：文件输入或键盘输入。 3、要求： 1）完成上述两个问题，时间为 2 次课。 2）独立完成实验及实验报告。 三、实验步骤 1、理解方法思想和问题要求。 2、采用编程语言实现题目要求。 3、上机输入和调试自己所写的程序。 4、附程序主要代码： (1) #include
动态规划matlab仿真实例
动态规划在火力分配中的应用。 1.问题描述 设有m个目标，目标价值（重要性和危害性）各不相同，用数值A K（K=1，2，..m）表示，计划用n枚导弹突袭，导弹击毁目标的概率P K=，其中是常数，取决于导弹的特性与目标的性质；为向目标发射的导弹数，问题：做出方案使预期的突击效果最大。 2.问题建模 上述问题可以表述为 约束条件为 （为非负整数） 3.算法描述 下面通过一个实例说明：设目标数目为4（m=4），导弹为5（n=5），和a K取值情况如下表所示： 表1：A k 取值情况 目标K 1 2 3 4 8 7 6 3 0.2 0.3 0.5 0.9 将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为：
可能取值为0，1，2，3，4，5，将函数值带人如下表： 表2 函数值 u 0 0 0 0 0 1 1.45 1.81 2.36 1.79 2 2.64 3.16 3.79 2.51 3 3.61 4.15 4.66 2.81 4 4.41 4.89 5.19 2.93 5 5.0 6 5.44 5.51 2.97 动态规划问题基本方程为： c =0 逐次向前推一级 K=4 K=3 K=2 K=1 （） 只需要求解的最大值然后反推回去就可以获得最优的分配方案
4.Matlab仿真求解 因为与取值为整数，可以采用动态规划的方法，获得的最大值，对应的
最优方案 function[p_opt,fval]=dynprog(x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun) %求解动态规划问题最小值函数 k=length(x(1,:)) %判断决策级数 x_isnan=~isnan(x); % 非空状态矩阵 t_vubm=inf*ones(size(x)); % 性能指标中间矩阵 f_opt=nan*ones(size(x)); % 总性能指标矩阵 d_opt=f_opt; %每步决策矩阵 tmp1=find(x_isnan(:,k)); % 最后一步状态向量 tmp2=length(tmp1); % 最后一步状态个数 for i=1:tmp2 u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k)); tmp3=length(u);%决策变量 for j=1:tmp3 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp=feval(SubObjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j)); if tmp <= t_vubm(i,k) %t_vub f_opt(i,k)=tmp; d_opt(i,k)=u(j); t_vubm(i,k)=tmp; end; end; end for ii=k-1:-1:1 tmp10=find(x_isnan(:,ii)); tmp20=length(tmp10); for i=1:tmp20 %求出当前状态下所有可能的决策 u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii)); tmp30=length(u) ; for j=1:tmp30 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 单步性能指标 tmp40=feval(TransFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 下一状态 tmp50=x(:,ii+1)-tmp40; % 找出下一状态在 x 矩阵的位置 tmp60=find(tmp50==0) ; if~isempty(tmp60) if nargin<6 %矩阵不同需要修改nargin的值，很重要 tmp00=tmp00+f_opt(tmp60(1),ii+1); % set the default object value else tmp00=feval(ObjFun,tmp00,f_opt(tmp60(1),ii+1)); end %当前状态的性能指标 if tmp00<=t_vubm(i,ii) f_opt(i,ii)=tmp00; d_opt(i,ii)=u(j);
动态规划算法的应用
动态规划算法的应用 一、实验目的 1．掌握动态规划算法的基本思想，包括最优子结构性质和基于表格的最优值计算方法。 2．熟练掌握分阶段的和递推的最优子结构分析方法。 3．学会利用动态规划算法解决实际问题。 二、实验内容 题目一：数塔问题 给定一个数塔，其存储形式为如下所示的下三角矩阵。在此数塔中，从顶部出发，在每一节点可以选择向下走还是向右走，一直走到底层。请找出一条路径，使路径上的数值和最大。 输入样例（数塔）： 9 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16 输出样例（最大路径和）： 59 三、实验步骤 （1）需求分析 通过动态规划法解决数塔问题。从顶部出发，在每一节点可以选择向下或者向右走，一直走到底层，以找出一条数值最大的路径。 （2）概要设计 本次实验程序主要用到二维数组，以及通过动态规划法进行比较每个数的大小。主要运用两个for循环语句实现动态规划。
（3）详细设计 第一步，输入给定的二维数组并打印出相应的数组： int array[5][5]={{9}, /* */{12,15}, /* */{10,6,8}, /* */{2,18,9,5}, /* */{19,7,10,4,6}}; int i,j; for(i=0;i<5;i++) { for(j=0;j<5;j++) cout< 实验标题 1、矩阵连乘 2、最长公共子序列 3、最大子段和 4、凸多边形最优三角剖分 5、流水作业调度 6、0-1背包问题 7、最优二叉搜索树 实验目的掌握动态规划法的基本思想和算法设计的基本步骤。 实验内容与源码1、矩阵连乘 #include 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/0a12608873.html, 基于Matlab的动态规划算法的实现及应用作者：陈甜甜 来源：《中国校外教育(下旬)》2019年第01期 【摘要】介绍了动态规划的基本理论，包括动态规划的基本概念和基本原理，并针对生产与存储问题进行了分析，然后结合Matlab做了编程处理，使复杂问题简单化，从而使问题能更方便地得到解决。 【关键词】动态规划生产与存储问题Matlab语言一、引言 动态规划是用于解决运筹学中多阶段决策过程最优化问题的一种方法。其广泛应用于工程技术、科学管理、工农业生产及军事等领域。在理论上，动态规划是求解这类问题全局最优解的一种有效方法，特别是对于实际中的某些非线性规划问题可能是最优解的唯一方法。然而，动态规划仅仅是解决多阶段决策问题的一种方法，或者说是考查问题的一种途径，而不是一种具体的算法。就目前而言，动态规划没有统一的标准模型，其解法也没有标准算法。在实际应用中，需要具体问题具体分析。动态规划模型的求解问题是影响动态规划理论和方法应用的关键所在，而子问题的求解和大量结果的存储、调用更是一个难点所在。然而，随着计算机技术的快速发展，特别是内存容量和计算速度的增加，使求解较小规模的动态规划问题成为可能，从而使得动态规划的理论和方法在实际中的应用范围迅速增加。 目前，在计算机上实现动态规划的一般求解方法并不多见，尤其是用来解决较复杂的具体问题数学成果甚少。本文从实际出发，利用Matlab软件的强大功能，对动态规划中的生产与存储问题编制程序，并且进行了应用检验来说明方法的可行性。 二、动态规划的基本理论 实际中，要构造一个标准的动态规划模型，通常需要采用以下几个步骤： （1）划分阶段。将所给问题的过程，按照问题的时间或空间特征分解成若干互相联系的阶段，以便按次序求每阶段的解。 （2）选择状态。将问题发展到各个阶段时所处的各种客观条件用不同的状态表示，即称为状态。状态的选择要满足无后效性和可知性，即状态不仅依赖于状态的转移规律，还依赖于允许决策集合和指标函数结构。 （3）确定决策变量与状态转移方程。当各段的状态取定后，可以做出不同的决策，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。描述决策的变量称为决策变量。在决策过程中，由一个状态到另一个状态的演变过程称为状态转移。状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。 动态规划算法原理 及其应用研究 2012年5月20日摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了 动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一■ 个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten ）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部 关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhause）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划问世以来，在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径 SCIENTIST 33 计算机自诞生以来，发展迅速，在社会中的各个领域都得到了广泛的应用。使用计算机快速处理问题成为当今社会发展的需要。笔者运用计算机知识为现实问题提供一些意见和建议。笔者在今年“双十一”期间亲身经历了爆仓问题，发现物体配送效率低下，“双十一”期间物流速度极慢，形式十分严峻。据官方所提供的数据，买家每秒创建订单数额达到17.5万笔，有些货物甚至预计 需要1个月左右的时间才能配送完毕。 对于现今的物流配送，人们大多选择第三方物流。当货物运送到某地区时，物流公司的将货物囤积在一处，再通过快递员将快递送往千家万户。笔者在此希望对快递员的派送路线进行合理化选择，以最短路程，最小时间完成货物的配送。 以城市中的快递配送为例，现简化模型如下：快递员在某地区配送快递，快递公司（货物囤积地）位于O 点，快递员需要派送6份快递，分别送往A，B，C，D，E，F 六个地点，每两个地点之间的距离已标出，快递员如 何快速规划路线，以最短路径、最小时间完成快递的配送，这不仅可以节约劳动力提高工作效率，也会使网购用户收货速度更快。 图1 在具体代码实现中配送需求地映射为编号：O—0， A—1，B—2，C—3，D—4，E—5，F—6； 城市之间的距离用二维数组来表示，记为D[i][j]，如：D[0][1]表示O 与A 之间的距离，于是D[0][1]=6；设置flag[][]，初始为0，表示此变量未被访问（配送需求地未到达过），若被访问（已到达过配送完毕）则修改为1。 本文中笔者选择贪心算法、动态规划法来解决这一实际问题。 1 贪心算法 贪心算法（Greedy algorithm）是一种对某些动态规划中求优秀解的简单、迅速的算法，以当前情况为基础根据某个标准作最优选择，而不考虑整体情况，省去大量时间。 贪心算法在解决问题的策略上缺点是目光短浅，只根据当前已有的信息就做出选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。换言之，贪心算法并不是从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优。这种局部最优选择并不总能获得整体最优解，但通常能获得近似最优解。但由于其处理问题简单高效、节省空间，非常适合实际问题的解决。 现在我们通过来解决这一问题，采用最近邻点策略：从某地点（初始为快递公司，即O 点）出发，每次在没有到过的中选择距离当前所在地中最近的一个，直到经过了所有的配送需求地，完成了所有配送任务，最后回到快递公司，即O 点。 贪心算法具体求解流程如下：1）了解要求送达地点的的数量与各地点之间的距离。2）重复以下两步直至已全部送达：（1）循环遍历找到与当前出发地点最近的未到达过的配送需求地；（2）以当前找到的（最近一次找到的）送达地点为出发地点，重复步骤（1）。3）回到出发地点。 在本题中贪心算法选择路线经过如下：快递员从O 点选择较近的A 点作为目的地。到达后选择距离当前出发点A 较近的点，O 点当前已访问，选择B 点。而后依次按照此规则选择配送需求点，当所有快递配送完毕返回O 点，即快递公司所在地。路线为O->A->B->C->D->E->F->O。路程为44。 从本例中也可以看出，贪心算法简单便捷，对于问题的解决有很大的帮助。同时我们清楚地看出，使用贪心算法只能考虑当前的选择，当面对复杂的整体问题 物流配送问题中贪心算法与动态规划法的分析与应用 徐西啸 山东省莱芜市第一中学，山东莱芜 271100 摘 要 计算机的应用触及到了生活的各个方面，它的优点之一就在于强大的计算处理能力上，这也正是物流领 域配送路线的问题所需要的。如何选择最佳路线，如何节约物流运输成本，即选择配送的最短路线，我们可以通过贪心算法和动态规划算法来做决定。本文对于中国现今发展蓬勃的电子商务的线下运输问题提出了见解，以一个简化的模型介绍了贪心算法以及动态规划法的应用，为线下运输问题提出了解决方案，有着十分重要的现实意义。关键词 物流问题；最短路径；最小时间；贪心算法；动态规划 中图分类号 TP3 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2016）18-0033-02 作者简介：徐西啸，山东省莱芜市第一中学。 习题 6-1. 考虑下面的网络图，箭头上的数字代表相连两个节点之间的距离。 （1）用动态规划找出从节点1到节点10的最短路。 （2）从节点4到节点10的最短路呢？ 6-2. 从北京到上海的包机的剩余装载能力为2000kg ，某一运输公司现有4种货物需要从北京运输到上海。每种货物的单位、单位重量和单位运输费用如下表所示。 （1）用动态规划找出包机应该运输的每种货物的单位数。 （2）假设包机同意装载另一批货物，剩余装载能力降为1800kg ，计算结果会怎样变化？ 6-3. 假定有一个3阶段的过程，每一阶段的产量是需要做出决策的函数。使用数学符号，问题表述如下： Max ()()()332211d r d r d r ++ s.t. 1000321≤++d d d 每个阶段的决策变量和相应的返回值如下所示： 6-4. 某制造公司为一家汽车工厂提供发动机的部件，以下是3个月的生产计划的数据。 量是10单位，并且生产批量是10的倍数（例如，10,20或者30单位）。 6-5. 某物流公司雇佣了8名新员工，现决定如何把他们分配到4项作业上。公司给出了以下每项作业分配不同的作业人员的估计利润表。 (1) 用动态规划决定每项作业应该分配的新员工数目。 (2) 如果公司只雇佣了6名新员工，应该把这些员工分配给哪些作业？ 6-6. 一个锯木厂采购了一批20ft 长的原木，想要把这些原木切成更短的原木，然后把切后的小原木卖给制造公司。制造公司已经订购了一批4种尺寸的原木：l 1=3ft ，l 2=7ft ，l 3=11ft ，l 4=16ft 。锯木厂现在有2000个长度为20ft 的原木的库存，并希望有选择地裁截原木以最大化利润。假定锯木厂的订单是无限的，唯一的问题就是确定把现有原木裁成的类型以最大化利润。原木的利润如下表所示： 任何裁截类型的长度限制如下： 201173321≤++d d d 其中，i d 是长度为i l 的类型的裁截数目，4,3,2,1=i . （1）为这个问题建立动态规划模型，并使用模型解决问题。你需要设立哪些变量？状态变量有哪些？ （2）简要介绍如果总的长度l 被截成l 1，l 2，……l N 这样N 中长度的话，如果扩展现有模型以找到最优解？ 6-7. 一家港口公司建立了良好的管理训练计划，希望每一个员工完成一个4阶段的作业。但是在训练计划的每个阶段，员工都会被分配一系列艰难的作业。以下是训练计划的每个阶段员工可能被分派的作业和任务估计完成时间。 次级阶段的作业取决于其先前的作业。例如，在阶段1接受作业A 的员工在阶段2只能接受作业F 或者作业G ——即每一项作业都存在优先关系。动态规划算法实验报告
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用
动态规划算法原理与的应用
物流配送问题中贪心算法与动态规划法的分析与应用
128503-管理运筹学-习题-06-动态规划