考研数学高等数学强化习题-不定积分
模块五 不定积分
Ⅰ经典习题
一．原函数与不定积分
1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?
()0,
0x x g x x
x ?
≠?=??=?下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在 （C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1
()()x
F x f t dt -=
?
，则(0)F '存在
2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( ) (A) 1sin x + (B) 1sin x -
\
(C) 1cos x + (D) 1cos x -
3、在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)
()()d
f x dx f x dx
=? (B) ()()f x dx f x '=? (C) ()()df x f x =? (D) ()()d f x dx f x =?
4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=?
x
x e
f e dx _____.
二．有理函数积分
5、计算下列不定积分
（1）32211
++-?x x dx x （2）()()2223
11x dx x x +-+? ;
（3）2
5
613
x dx x x +-+? （4）2100
(1)-?x dx x （5）
21(21)(1)++?dx x x （6）21
(1)-?dx x x
（7）()
7
7
11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9）
()()
2
2
1
21---?dx x
x x （10）()()
322
2
412+++++?
x x x
dx x
x x
（11）241x dx x -? （12）()
23
1
1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421
dx
x x ++?
三．可化为有理函数的积分
1．三角有理式
（
6、计算下列不定积分 （1）
()1sin sin 1cos ++?x
dx x x （2）3sin cos ?dx x x
（3）3sin 2cos +?
x dx x （4）211cos +?dx x
（5）sin 1sin +?x dx x （6）22221
sin cos +?dx a x b x
（7）
()
()2
1
0sin cos ≠+?dx ab a x b x （8）()1
2cos sin dx x x
+?
（9）64tan cos sin ?x x dx x
（10）41
sin ?dx x 2．指数有理式的积分
7、计算下列不定积分
.
（1）311++?x x
e dx e （2）21
1+?x
dx e （3）1
x x dx e e --? （4）()
211x dx e +?
四．根式的处理
8、计算下列不定积分 （1
）
?
（2）
（3
）
3
（4）?
（5）
（6）?
（7） （8）
,
9、计算下列不定积分
（1）
()0>?a
（2）
（3）
（4）
（5）
?
（6）
五．分部积分法的使用
10、计算下列不定积分 （1）
2ln sin sin ?x dx x （2）()2ln 1-?x
dx x
（3）2
sin ?x xdx （4）2
2
arctan 1+?x xdx x 》
（5）()2ln 1+-?x x dx x （6）2arctan ?x
x
e dx e （7）
()
2
arcsin ?x dx （8）2
ln 1
-?
x dx x
11、计算下列不定积分
（1
）(2
ln
x dx ?
（2
）2xdx
（3
）?
（4
） （5）
()
2
2arctan 1x x
dx x +?
（6
）arcsin
? （7）2
cos sin cos x
x x
e dx x
+? （8）22sec tan x x x dx x -? 12、若()f x 的一个原函数为2
ln x ，则()'=?
xf x dx （ ）
|
(A) 2
ln ln -+x x C (B) 2
2ln ln ++x x C
(C) 2
2ln ln -+x x C (D) 2
ln ln ++x x C
13、已知
sin x
x
是()f x 的原函数，求()3'?x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2
-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2
ln(1)x x +,求
()f x .
15、求积分()sin ln ?
x dx .
16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：
()()()1
21212124
x xf x dx f x f x C '''-=
---+?. 六．其他考查形式
？
17、设231,
0()1,012,1x f x x x x x
=+<≤??>?
求 ()f x dx ?.
18、设2
2
(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =
Ⅱ参考答案
一．原函数与不定积分
1、【答案】：（C ）
【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数
（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数 2、【答案】：(B) ^
【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得
()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+??, 其中C 为任意常数.
所以()f x 的原函数
12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++??,其中12,C C 为任意常数.
令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)
【解析】:由不定积分的概念和性质可知,
()()()()d
f x dx f x dx f x .dx
'==??
！
()()()f x dx df x f x C '==+??,C 为常数.
()()d f x dx f x dx.=?
故应选(A). 4、【答案】:
()--+x
F e
C
【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=x
u e
，则
()()()()()-----=-=-=-+=-+???
x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分
5、（1）【答案】：
()3
2
11ln
2
2
1
-++++x x
x C x
|
【解析】：
()()322223
2
12131111221111ln 221
+++?
???=++=++- ???---+?
???-=
++++???x x x x dx x dx x dx x x x x x x x C
x
（2）【答案】： (
)
2
151
3
ln 1ln 1ln +1arctan 4
422x x x x C -++---+
（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即
222538
613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+???
2221(613)82613(34
d x x dx x x x -+=+-+-+??） 223
(
1ln(613)432(1
x d x x x -=-++-+?）
2）2
213ln(613)4arctan 22
x x x C -=-+++ }
（4）【解析】：原式=100
1111()()()x x dx x +-+-?99100111()()x dx
dx x x +=+--?? 9899100
2111()()()
dx dx dx
x x x =++---???979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设
22
1(21)(1)211+=+++++A Bx C x x x x ，计算得421
;;555
==-=A B C . ()()2222224211211211555
(21)(1)2115215151
211
ln 21ln 1arctan 555??-++ ?+=+=-+ ?+++++++ ???=+-+++?????x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C
（6）【解析】：
2222
1111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x
22221111111
ln (1)(1)(1)1(1)11??--==-=-+=-+??-------??
??x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72
ln ln 17
x x C -
++ （
（8）【解析】：
222
6114421
(1)1(1)-+=+----x x x x x x x
222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1??-+=+-=+-++ ?----??
??x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：
()()
()()()
()
2
2
2
2
1
1
211212111=
=
+++-+-----+--A B C D
x x x x
x x x x x x 其中1111;;;31242
=
=-=-=-A B C D . 故
()()()()()22222
1
11111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421
??--- ?==+++ ?-+-------- ???
=--+--++-??dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：
()()
()322
222
421
122+++=
++
+++++++x x x
A B Cx D
x x x x
x x x #
其中1;2;0;1====-A B C D .
()()()3222222412121ln 22121122??++=+-=+-- ? ?++++++++++??
???x x x
dx dx x dx x x x x x x x x x
x 222
112112?
?+ ?
??==+++?
?++ ?????
??d x dx C x x x ， 故
()(
)
322
2
42ln 2212++=+-
-++++?x x x
dx x C x x
x x
（11）【解析】：
111
ln arctan 412
x x C x +-+- （12）【解析】：(
)221ln ln 1ln 136x x x x C -+
-++++ （13）【答案】： 【解析】：
（14）【答案】
：22
11ln 41x x C x x ++++-+ |
【解析】：()(
)422222221
1112222
1111111ln 41x x dx dx dx
x x x x x x x x x x x x C x x ??+-??==-??++++-+++-+????
++=+-+???
6、（1）【解析】：利用万能公式：222
12cos ,sin ,(tan )112
t t x
x x t t t -===++，令2arctan x t =，则2
2
1=
+dx dt t (
)2
2
11
ln 86x x C x x -+++
+3
332221
11117544215656161211123422411114ln 14282321231224??+ ?+-??=+=+- ?
?+-+--++?? ?
??
??
??+ ????????++??
???????????=+----?? ???????
??+++ ? ? ?????
????x x x dx dx x dx x x x x x x x x d d x x x dx x x (
)22
2
111
ln 86+-=++++?dx x x C x x
()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222
??+ ?+++????==++=+++ ?+??-??
+ ?++??
=
+++???t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x x
C （2）【答案】：
2
1tan ln tan 2
x x C ++ 【解析】：先作恒等变形，凑微分得
2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2
dx x I d x x x C x x x +===++?? （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++??x x dx d x x x
，令cos =t x ，故
。
322222sin 1143322cos 222211
23ln 2cos 2cos 3ln cos 222
---+??=-===-+ ?+++++??=-+++=-+++?????x t t t dx dt dt dt t dt x t t t t t t t C x x x C
（4）【解析】：
(
)222211tan 1cos 2tan cos 1sec ===++++???d x dx dx C x x x x （5）【解析】：
()()22
22sin 1sin sin sin tan tan sec sec 11sin cos cos sec tan -==-=--+=-++??????x x x x dx dx dx xdx x xdx x dx x x x x x x C
（6）【解析】：
()22222222222tan 1sec 11arctan tan sin cos tan tan ??
===+ ?+++?????d a x x a dx dx x C a x b x a x b a a x b ab
b
（7）【解析】：
()
()
()()22
2
22
tan 1
sec 111
tan sin cos tan tan cos sin cos +===-?+++++=-
++???d a x b x
dx dx C a a a x b
a x
b x a x b a x b x
C a x ab x
%
（8）【解析】：
()()()
2
31cos 2cos 1ln 61cos -+++x x C x （()()()111ln 2cos ln 1cos ln 1cos 326+-++-+x x x C ） （9）【解析】：
()2
2
65
4331sin tan cos cos sin sin sin sin -==???
x x x x
dx dx d x x x x
令sin =t x 则原式为
()
2
26
243
321tan cos 21112ln sin 22-??
==-+=--+ ???
??
?t x x
dx dt t dt t t C x t t t t
即662442tan cos tan cos 11
sin 2ln sin sin sin 22sin ==--+??x x x x dx dx x x C x x x
（10）【解析】：
()2222222
4431sin cos csc 1cot csc csc cot sin sin 1cot cot 3
+==+=+=--+?????
x x dx dx x x dx xdx x xdx x x x x C —
7、（1）【解析】： 方法一：
()()333221*********
ln ln 22
=+++??
==
=+-
?+++??
=+-+=+-+????x
x x t e x x x x x x x e e t dx de dt t dt e t t t e e t t t C e e e C
方法二：令1=+x
t e ，则()1
1,ln 1,1
=-=-=
-x
e t x t dx t . 则原式为
()3
32111133
111-++-+=?=+--???x x t e t t dx dt dt e t t t
（2）【解析】：
()()()()222222*********
ln ln 1ln 122
=-??
==
=+ ?++++??
=-++=-++????x
x
t e x x x x e t dx dx dt dt e t t e e t t t t C x e C
(
（3）【解析】：11
ln 21
x x
e C e -++
（4）【解析】：()1
ln 11x x
x e C e
+
-+++ 四．根式的处理
8、（1）【解析】：
)
4ln
1C +
（2）【解析】：
=
令4
=
t ，则()
3
24
414,11-==--t x dx dt t t .
()(
)324
2422441441
11211111ln
2arctan 2arctan 1-??=--??=-=- ?--+??-+=-+=--???t t t dt dt dt t t t t t t
t C C
t
（3
）【解析】：令12
=
t 1211,12==x t dx t dt .
$
()3641114128
35
133151394
12
4
211212242444244
51335133
--=?=--=--+=--+??t t t dt t t t dt t t t t C x x x C
（
4）【答案】
：
)
1C +
【解析】：令2
1,2
t t x dx tdt +===
于是 t t t te dt te e dt ==-?
??
(
))
11.t
t e C C =-+=
+
（5）【答案】
：ln
C -+
【解析】
：
1
x t
=21dt t ?
-=-???
ln 1t C C =-=--++=-+ ：
（6
）【解析】3
3arccos
C x
+ （7
）【解析】()3
22
3113x C x
++ （8
）【解析】C +
9、（1）【答案】
：1(ln
arcsin )2++x
C a
【解析】：令t a x sin =，则原式1cos sin 1cos sin 2sin cos 2sin cos t t t t
dt dt t t t t
-+=
+++??
111ln sin cos arcsin )222=+++=++x
t t t C C a
（2）
=令12sec θ-=x ，则2sec tan θθθ=dx d ，原式为
。
()2sec tan sec 2sec 12tan 2sec 12cos θθθθθθ
θθθθ
====+++?
??
d d d
利用万能公式：222
12cos ,sin ,(tan )112t t x
x x t t t -===++
222cos 3θθ==+++??d dt C t 再将变量还原即可。
（3）【解析】：令sin =x t ，则cos =dx tdt
再将变量还原即可。
()222sin cos sin cos arctan cos (2sin t)cos (2sin )1cos ===-=-+--+?
??t tdt tdt d t
t C t t t
（4）【解析】：令tan =x t ，则2
sec =dx tdt
2
344
444343
1
sec sec cos sin 11cos sin tan sin sin 3sin cos 13?=====-+=-+??
?
????t t t d t t dx dt dt dt C t x t t t t t
C
/
（5）【解析】
ln x C
（6）【解析】：
()
3
11==?+?
x
令3
t =
则，()
32
23
316,11t t x dx dt t t +==---。原式为
(
)2232121113ln 1112112
+++=-=-=+-++--=+???t t t dt dt dt C t t t t t C
五．分部积分法的使用
10、（1）【答案】：cot lnsin cot x x x x C -?--+ 【解析】：
2
2ln sin ln sin cot cot ln sin cot sin x dx xd x x x xdx x =-=-?+???
·
2cot lnsin (csc 1)cot lnsin cot .x x x dx x x x x C =-?+-=-?--+?
（2）【答案】：
ln 1ln 1x x
C x x
-++- 【解析】：
2ln ln ln 1
1(1)1(1)11x x dx x dx dx x x x x x x x ??=-=-+
?-----??
???
ln 1ln 1x x
C x x
-=
++- （3）【答案】：
211
sin 2cos 2448
x x x x C --+ 【解析】：原式1cos 211
sin 2224
x x
dx xdx xd x -==-?
??
211
sin 2sin 2444x x x xdx =
-+?
211
sin 2cos 2.448
x x x x C =
--+ ;
（4）【答案】：()()2
211arctan ln 1arctan 22
x x x x C -+-+ 【解析】：()211arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x ?
?
=-
=- ?+??
??? ()2
21arctan arctan 12x x x dx x x =--+? ()()22
11arctan ln 1arctan 22
x x x x C =-+-+
（5）【答案】：()11ln 1.x C x ?
?
-
-+ ???
【解析】： 原式()11ln 1dx x d x x ??=
-- ???
?? ()()11
ln ln 11x x dx x x x =-
---? ()111ln ln 11??=-
--+ ?-??
?x x dx x x x ，
()11ln 1.x C x ??
=--+ ???
（6）【解析】：
()()222222222arctan 11arctan arctan 22111arctan arctan arctan 212
-----????=-=--+????
??=--+=-+++ ?+???????x x x x x x
x x
x
x x x x
x x x x x x e de dx e de e e e e e de de e e e e e e C e e （7）【解析】：
()
(
)(
)(
)2
2
2
2
arcsin arcsin 2arcsin 2arcsin arcsin 2=-=+=+-+??x dx x x x x x x x x C
（8）【解析】：
2222
ln 1111111ln ln ln -=--=-+-=-+?????x dx xd dx x dx dx x C x x x x x x x
11、（1）【答案】
：(
(2
ln
2x x x x C -++
（2）【答案】：333222
22816ln ln 3927
x x x x x C -+
+ ~
（3）【答案】：(
)1x C +
（4）【答案】
：(
)22-x C （5）【答案】：
()()
221arctan arctan 42141x x x C x x -++++ （6）【答案】：(
)1arcsin x C + （7）【答案】：sec x
e x C + （8）【答案】：
tan x
C x
+ 12、【答案】：（C ）
【解析】：令()2ln =F x x ，则()()2
ln '==
f x F x x x
. ()()()()2
2ln ln '==-=-+???
xf x dx xdf x xf x f x dx x x C . 13、【解析】：已知sin x x 是()f x 的原函数，因此()2
sin cos sin '-??== ???
x x x x f x x x ，由分部积分法：
()()()()()3332323222sin 33cos sin sin sin 36=cos 4sin 6cos '==-=--=?
-?+--+?????x x f x dx x df x x f x x f x dx x f x x d
x
x x x x x x x x dx x x x x x x x x C .
14、【解析】：由题知
2ln(1)dy
x x dx
=+，可知 2221
ln(1)ln(1)(1)2
y x x dx x d x =+=++??.
由分部积分法得
22222
21112ln(1)(1)(1)ln(1)(1)2221x x d x x x x dx x
++=++-+?+?? 222221
(1)ln(1)211
(1)ln(1).22
x x xdx x x x C =
++-=++-+? 因为曲线()y f x =过点1(0,)2
-,故1
2
C =-
,所以所求曲线为 222111(1)ln(1)222
y x x x =++--.
15、【解析】：
()()()()()()()()()()()1sin ln sin ln sin ln sin ln cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln sin ln =-=-?????=-+????=--?????x dx x x xd x x x x x dx x
x x x x xd x dx x x x x x dx
故()()()sin ln cos ln sin ln 2
-=+?x x x x x dx C .
16、【解析】：
()()()()
()()()()()()()1
21212121
2121
21212
11212121221
212124
xf x dx xf x d x xdf x xf x f x dx xf x f x d x x f x f x C
''''-=
--'=-??''=---????''=----????'=---+?????
六．其他考查形式
17、【解析】：由题可知，0x =是()f x 在第一类间断点，故在(,)-∞+∞内，()f x 不存在原函数；而1x = 是连续点，所以()f x 得不定积分只能分别在区间(,0)-∞和(0,)+∞内得到。
1324
3,0(),013,
12
x C x x
f x dx x C x x C x ?
?+???
因为1x =是()f x 的连续点，所以()f x 得原函数在1x =处连续，即
3423233211415lim lim 323
26x x x x x C C C C C C -+→→????++=+?+=+?=+ ? ?????34,0(),0135
,
126
x C x x
f x dx x C x x C x ?
?+??
?
18、【答案】：2
ln(1).x x C ---+
【解析】：22
2
2sin (sin )12sin ,(01),1sin x
f x x x x
'=-+
<<- 所以
1()12211x f x x x x x
'=-+
=-+-- 因此
2
1()2ln(1).1f x x dx x x C x ??=-+=---+ ?
-?
??
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
考研数学高数习题集及其答案
1 函数、极限、连续 一. 填空题 1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ??则 定义域为___________. 解. 21)(sin )]([x x x f -==??, )1arcsin()(2x x -=? 1112≤-≤-x , 2||,202≤≤≤x x 2．设?∞-∞ →=?? ? ??+a t ax x dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得?∞ -=a t a dt te e =a a t t e ae a e te -=∞ --) (, 所以 a = 2. 3. ?? ? ??+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. n n n n n n n n n n +++++++++2 2221
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。
考研《高等数学》考研真题考点归纳
考研《高等数学》考研真题考点归纳高等数学考点归纳与典型题（含考研真题）详解 第1章函数、极限与连续性 1.1考点归纳 一、函数 （一）函数的概念 ，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域． （二）函数的几种特性 1．有界性 2．单调性 设函数f(x)的定义域为D，区间ID． （1）单调递增当时，． （2）单调递减当时，． 3．奇偶性
（1）偶函数：f（－x）＝f(x)，其图像关于y轴对称； （2）奇函数：f（－x）＝－f(x)，其图像关于原点对称． 4．周期性 （1）定义：（T为正数）． （2）最小正周期：函数所有周期中最小的周期称为最小正周期． （三）函数的分类 1．复合函数与分段函数 （1）复合函数 函数，称为由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)构成的复合函数． 注：函数g的值域必须包含于函数f的定义域． （2）分段函数 2．反函数与隐函数 （1）反函数 ①定义 设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．②性质
a．当f在D上是单调递增函数，在f(D)上也是单调递增函数； b．当f在D上是单调递减函数，在f(D)上也是单调递减函数； c．f的图像和的图像关于直线y＝x对称． （2）隐函数 如果变量ｘ，ｙ满足一个方程F(x,y)＝０，在一定条件下，当ｘ取区间I任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程F(x,y)＝０在区间I确定了一个隐函数． （四）函数的运算 （五）初等函数 1．初等函数的定义 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称作初等函数． 2．基本初等函数 （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数
(完整版)定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 考研高数同济七版必做课后习题 习题1-1：2，5，6，13； 习题1-2：2，3，6，7，8； 习题1-3：1，2，3，4，7，12； 习题1-4：1，5，6； 习题1-5：1，2，3，4，5； 习题1-6：1：（5），（6），2，4； 习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）； 习题1-8：2，3，4，5，6； 习题1-9：1，2，3，4，5； 总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。 习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20； 习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14； 习题2-3：1，2，3，4，10，12； 习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）； 习题2-5：3，4； 总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。 习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15； 习题3-2：1，2，3，4； 习题3-3：6，10； 习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11； 习题3-5：1，3，4，5，6，9； 习题3-6：2，3，5； 习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5； 总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。 习题4-1：1，2，3； 习题4-2：1，2； 习题4-3：1-24； 习题4-4：1-24； 习题4-5：1-25； 总复习题四：1，2，3，4。 习题5-1：2，3，4，7，11，12，13； 习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14； 习题5-3：1-7； 习题5-4：1，4； 总复习题五：1-14。 习题6-2：2，5，12，13，14，15，23（数一、二），24（数一、二），25（数一、二）； 习题6-3（数一、二）：1，3，7，8，11； 总复习题六：1，2（2），4，5，7，8，10-13（数一、二）。 习题7-1：1，2，4； 习题7-2：1，2； 习题7-3：1，2； 习题7-4：1，2，6，7； 习题7-5（数一、二）：1，2； 习题7-6：4； 习题7-7：1，2； 习题7-8：1，2； 总复习题七：1，2，3，4，5。 33. .考研真题答案 考研真题一 1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8..1 D. B.-2/6. B. 2.. 3/2. 9.4- D. . 010.12. D. 11..4 3=k 考研真题二 8.04543=+--y x 3,041 4=+-+y x 3.1. 2. 3. 4.d x )12(ln -.2! )1(1---n n n .0122=--y x . 022=+-y x . 5. 6.7.B. 2-. D. .0=-y x 9..1-=x y 10.. 1);4)(2()(-=++=k x x kx x f )()(II I 11.213.. d x π-14.A. 12.C. 考研真题三 13.2. 15.2. 16.. e -17.C. 22..4 121-= x y 24..2 3+ =x y 1. 2.61/-. 1. 2+=x y 3. 4. 5. 6.8.9.10. A. 2 )1(! 1---n n n . C. A. 0=x 为可去间断点;),2,1(Λ±±==k k x π是无穷间断点.B.1,2-==b a .13.C..1/14.15.e 两个.C 17.19.]).1,()(1,(-∞-∞或. C 20.. 1/6-21.26.61- e . 27.51 =y . .A 25.考研真题四 1.1x e 2 2 x 2-()1+C .3. 4.C x x ++-)1ln(2.C x x x +-++- 222)(arctan 2 11ln 21 arctan x x .2.C x x x ++++---] cos 12)cos 1ln()cos 1[8 1ln(.5. 6.x cos -1x tan C +. 2arcsin x +C . 7.--ln x sin cot x x cot x .-+C . 34. .8. +2 21 ()+-1362x x +ln -3x 4arctan C .10.11.12.13.雪球全部融化需6小时. e -x 1 . C e e e e x x x x +++---)arctan arctan (2 1 2. C x +)arctan +1 2x ( . 14. x +12x 2 -1()e arctan x +C .9.C e e x x x +++--)1ln()1(. .)(ln 2 1 2x 15.8.],[a a x -∈.?)(x f =f '2 ! 2)()0(x x ξ+f '',考研真题五 1./π.4 2./π. 3 4.>-≤<+-+-≤≤=2 ,12 1,1 0,)(2x x x x x x d t t S x 63x 63x 31{ 5.π2/. 6.8π/. 7.1)1(-+x e x .9.3 1.- c e e x x ++---+1 111ln 2 1 22. e e x x arcsin 16.10.π 22. 11.D. 12.切线方程x y =; 2. 所求极限13. ???? ?≤≤++++-<≤--+=10,2ln 1 ln 12101,2 121)(23x e e e x x x x x F x x x , . 14.B. 15.B. 2ln +116)(22 - e 16... B 17.18.B.]. 2,22[)(-值域为II 19.. /2π20.23. .4 π22..2024. .2 121.A.25.3 1. 26.21. 27. B. 28.凸. (1));3,2(1+=x y . (2)(3)3 7. 考研真题六 1. 2. 3. 4.5.4=a ,最大体积π18755 32.9. 1.m. 2π5129. 6.(1)(2)1 e 2 1-A = V π 6 ()e 2-e 12+3= ;.5 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2 不定积分内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ?? ★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 一、判断共10题（共计10分） 第1题（1.0分）题号:1488 函数即可以嵌套定义,又可以嵌套调用. 答案：N 第2题（1.0分）题号:1256 unsigned 和void 在C 中都是保留字. 答案：Y 第3题（1.0分）题号:1280 表达式++i 表示对变量i 自加1. 答案：Y 第4题（1.0分）题号:1282 C 语言源程序的基本结构单位是main 函数. 答案：N 第5题（1.0分）题号:1276 字符常量的长度肯定为1. 答案：Y 第6题（1.0分）题号:1469 char a[]={'a','b','c'};char b[]={"abc"};数组a 和数组b 占用的内存空间大小不一样. 答案：Y 第7题（1.0分）题号:1249 若有int i=10,j=2; 则执行完i*=j+8;后i 的值为28. 答案：N 第8题（1.0分）题号:33 int i,*p=&i;是正确的C 说明。 答案：Y 第9题（1.0分）题号:1250 While 循环语句的循环体至少执行一次. 答案：N 第10题（1.0分）题号:1510 有数组定义int a[2][2]={{1},{2,3}};则a[0][1] 的值为0. 答案：Y 二、单项选择共30题（共计30分） 第1题（1.0分）题号:456 执行下面程序后，输出结果是（）。main() { a=45,b=27,c=0; c=max(a,b); printf("%d\n",c); } int max(x,y) int x,y; { int z; if(x>y) z=x; else z=y; return(z); } A:45 B:27 C:18 D:72 答案：A 第2题（1.0分）题号:437 下列数组说明中，正确的是（）。 A:int array[][4]; B:int array[][]; C:int array[][][5]; D:int array[3][]; 答案：A 第3题（1.0分）题号:2396 下面有关for 循环的正确描述是() A:for 循环只能用于循环次数已经确定的情况 B:for 循环是先执行循环体语句,后判断表达式 C:在for 循环中,不能用break 语句跳出循环体 D:for 循环的循环体语句中,可以包含多条语句,但必须用花括号括起来 答案：D 第4题（1.0分）题号:2817 以下程序的输出结果是(). main() {int i,j,k,a=3,b=2; i=(--a==b++)?--a:++b; j=a++;k=b; printf("i=%d,j=%d,k=%d\n",i,j,k); } A:i=2,j=1,k=3 B:i=1,j=1,k=2 C:i=4,j=2,k=4 D:i=1,j=1,k=3 答案：D 第5题（1.0分）题号:2866 若有下列定义,则对a 数组元素地址的正 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ? 南京林业学2003年高等数学考研试题 一、填空题(共6小题，每小题4分，计24分) 1.当时，与为同阶无穷小，则。 2.设，则。 3.设是以2为周期的函数，且，设，则。 4.已知在处取得极小值-2，则，。 5.设，则。 6.设，则。 二、选择题(共6小题，每小题4分，计24分) 1. 是的条件。 ( ) (A) 充分 (B) 必要 (C) 既不充分也不必要 (D) 充要 2. 若实系数的方程有四个不同的实根，则方程的实根个数为。 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0 3.设，则必定存在一个正数，使得 ( ) (A) 曲线在内是凹的。 (B) 曲线在内是凸的。 (C) 曲线在内单调减少，在内单调增加。 (D)曲线在内单调增加，在内单调减少。 4.若函数在上连续，为内任一固定点，则。 ( ) (A) (B) (C) (D) 0 5.设在区间上函数，令，，，则。 ( ) (A) (B) (C) (D) 6. 设阶常系数齐次线性微分方程有一个特解，则是该微分方程的一 个特征根。 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 三、(本题满分8分) 求的值，使函数连续。 四、(本题满分8分) 已知函数，其中二阶可微，求。 五、(本题满分8分) 求证方程有一个正根和两个负根。 六、(本题满分12分) 求函数的单调区间及极值、凹凸区间及拐点、渐近线。 七、(本题满分9分) 设函数在上有二阶导数，且，求证：在区间内至少存在一点，使。 八、(本题满分10分) 设具有二阶连续导数，且 ，求证：。 九、(本题满分8分) 在什么条件下，积分为有理函数。 十、(本题满分10分) 求摆线一拱与X轴所围图形绕其对称轴旋转一周所形成的立体体积。 十一、(本题满分10分) 求证：。 十二、(本题满分10分) 已知微分方程，其中，求满足且在 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。 模拟测试题(七) 考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分. (2)本试卷考试时间为180分钟. 一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分) (1)函数sin y x x =+及其表示的曲线 ( ). (A ) 没有极值点,有无限个拐点 ; (B ) 有无限个极值点和无限个拐点 ; (C ) 有无限个极值点,没有拐点 ; (D ) 既无极值点,也无拐点 . (2) 设222 22(0(,)0,0x y x y f x y x y ?++≠?=??+=? 则在(0,0)点处, (,)f x y ( ). (A ) 连续但二偏导数不都存在 ; (B ) 二阶偏导数存在但不连续; (C ) 连续且二偏导数存在但不可微 ; (D ) 可微 . (3)(一、三)设级数 n n a ∞ =∑收敛,则下列三个级数① 2 1 ,n n a ∞ =∑②41 ,n n a ∞ =∑③61 n n a ∞ =∑中( ) (A ) ①、②、③均收敛 ; (B ) 仅②、③收敛 ; (C ) 仅③收敛 ; (D ) ①、②、③均未必收敛 . (3)(二) 设21,0 ()||,(),,0 x x f x x g x x x -≥?==? 高等数学微积分复习题
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