离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分
第四章、二元关系和函数
集合的笛卡儿积与二元关系有序对
定义由两个客体x 和y,按照一定的顺序组成的
二元组称为有序对,记作
实例:点的直角坐标(3,4)
有序对性质
有序性
例1 <2, x+5> = <3y4, y>,求x, y.
解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
定义一个有序n (n3) 元组
有序对,其中第一个元素是一个有序n-1元组,即
当n=1时,
实例 n 维向量是有序 n元组.
笛卡儿积及其性质
定义设A,B为集合,A与B 的笛卡儿积记作A B,即A B ={
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}
A B ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>}
A={}, P(A)A={<,>, <{},>}
性质:
不适合交换律A B B A (A B, A, B)
不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律
A(B C)=(A B)(A C)
(B C)A=(B A)(C A)
A(B C)=(A B)(A C)
(B C)A=(B A)(C A)
若A或B中有一个为空集,则A B就是空集.
A=B=
若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn
证明A(B C)=(A B)(A C)
证任取
x∈A∧y∈B∪C
x∈A∧(y∈B∨y∈C)
(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D
(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为什么
解 (1) 任取
x B y D
(2) 不一定. 反例如下:
A={1},B={2}, C=D=, 则A C=B D 但是A B.
二元关系的定义
定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元
关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上
的二元关系.
例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么R1, R2, R3, R4是从A 到B
的二元关系, R3和R4同时也是A上的二元关系.
计数
|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以A上有
个不同的二元关系.
例如 |A|=3, 则A上有=512个不同的二元关系.
设A 为任意集合,
是A 上的关系,称为空关系
E
, I A 分别称为全域关系与恒等关系,定义如下:
A
E
={
A
I
={
A
例如, A={1,2}, 则
E
={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
A
I
={<1,1>,<2,2>}
A
小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义:
L
={
A
D
={
B
B Z*, Z*为非0整数集
R={
类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则
L
={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
A
D
={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
二元关系的表示
表示方式:关系的集合表达式、关系矩阵、关系图
关系矩阵:若A={a1, a2, …, a m},B={b1, b2, …, b n},R是从A到B的关系,R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 < a i, b j> R.
关系图:若A= {x1, x2, …, x m},R是从A上的关系,R的关系图是G R=, 其中A为结点集,R为边集.如果
注意:A, B为有穷集,关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系,关系图适于表示A上的关系
A={1,2,3,4},
R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},
R的关系矩阵M
和关系图G R如下:
R
关系的运算
基本运算定义:定义域、值域和域
dom R = { x | y (
ran R = { y | x (
fld R = dom R ran R
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
dom R={1, 2, 4}
ran R={2, 3, 4}
fld R={1, 2, 3, 4}
逆与合成
R1 = {
R°S = |
S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}
R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
R°S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S°R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
定义 F 在A上的限制
F?A = {
A 在F下的像
F[A] = ran(F?A)
实例R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
R?{1}={<1,2>,<1,4>}
R[{1}]={2,4}
R?=
R[{1,2}]={2,3,4}
注意:F?A F, F[A] ran F
基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则
(1) (F1)1=F
(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F
证 (1) 任取
所以有 (F1)1=F
(2) 任取x,
x∈dom F 1 y(
y(
所以有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.
定理2 设F, G, H是任意的关系, 则
(1) (F°G)°H=F°(G°H)
(2) (F°G)1= G1°F 1
证 (1) 任取
∈G)∧
t s (∈G∧
s (∈G∧
s (∈G°H)
所以 (F°G)°H = F°(G°H)
(2) 任取
t (
t (
所以 (F°G)1 = G1°F1
幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为:
(1) R0={
(2) R n+1 = R n°R
注意:
对于A上的任何关系R1和R2都有
R 10 = R
2
0 = I
A
对于A上的任何关系R 都有
R1 = R
性质:定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.
证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只有个.
当列出R 的各次幂
R0, R1, R2, …, , …,
必存在自然数s 和t 使得R s=R t.
定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则
(1) R m°R n=R m+n
(2) (R m)n=R mn
证用归纳法
(1) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.
若n=0, 则有
R m°R0=R m°I
=R m=R m+0
A
假设R m°R n=R m+n, 则有
R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,
所以对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.
(2) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.
若n=0, 则有
(R m)0=I A=R0=R m×0
假设 (R m)n=R mn, 则有
(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1)
所以对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.
关系的性质
自反性
反自反性
定义设R为A上的关系,
(1) 若x(x∈A→
(2) 若x(x∈A→
反关系:A上的全域关系E A, 恒等关系I A
小于等于关系L A, 整除关系D A
反自反关系:实数集上的小于关系
幂集上的真包含关系
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R
={<1,1>,<2,2>}
1
R
={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
2
R
={<1,3>}
3
R
自反,
2
R
反自反,
3
R
既不是自反也不是反自反的
1
对称性
反对称性
定义设R为A上的关系,
(1) 若x y(x,y∈A∧
(2) 若x y(x,y∈A∧
实例:
对称关系:A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系
反对称关系:恒等关系I A,空关系是A上的反对称关系.
例2 设A={1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系,
其中
R
={<1,1>,<2,2>},R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>}
1
R
={<1,2>,<1,3>},R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>}
3
R
对称、反对称.
1
R
对称,不反对称.
2
R
反对称,不对称.
3
R
不对称、也不反对称.
4
传递性
定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧
则称R是A上的传递关系.
实例:
A上的全域关系E
,恒等关系I A和空关系
A
小于等于关系, 小于关系,整除关系,包含关系,
真包含关系
例3 设A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中
R
={<1,1>,<2,2>}
1
R
={<1,2>,<2,3>}
2
R
={<1,3>}
3
R
和R3 是A上的传递关系
1
R
不是A上的传递关系
2
关系性质的充要条件
设R为A上的关系, 则
(1) R在A上自反当且仅当I A R
(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=
(3) R在A上对称当且仅当R=R 1
(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A
(5) R在A上传递当且仅当R R R
证明模式证明R在A上自反
任取x,
x A……………..….…….
前提推理过程结论
例4 证明若I A R ,则 R在A上自反.
证任取x,
x A
A
因此R 在A 上是自反的.
证明模式证明R在A上对称
任取
前提推理过程结论例5 证明若R=R1 , 则R在A上对称.
证任取
因此R 在A 上是对称的.
证明模式证明R在A上反对称
任取
前提推理过程结论例6 证明若R∩R1I A , 则R在A上反对称.
证任取
因此R 在A 上是反对称的.
证明模式证明R在A上传递
任取
前提推理过程结论
例7 证明若R R R , 则R在A上传递.
证任取
因此R 在A 上是传递的.
关系的闭包
闭包定义
定义设R是非空集合A上的关系, R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R, 使得R满足以下条件:
(1)R是自反的(对称的或传递的)
(2)R R
(3)对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系R有R R. 一般将R 的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R).
闭包的构造方法
定理1 设R为A上的关系, 则有
(1) r(R) = R∪R0
(2) s(R) = R∪R1
(3) t(R) = R∪R2∪R3∪…
说明:
对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多不超过R n. 若R是自反的,则r(R)=R; 若R是对称的,则s(R)=R; 若R是传递的,则t(R)=R. 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, M r, M s 和M t , 则
M
= M + E
r
M
= M + M’
s
M
= M + M2 + M3 + …
t
E 是和M 同阶的单位矩阵, M’是M 的转置矩阵.
注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, G r, G s, G t , 则G r, G s, G t 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边:考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环,最终得到G r . 考察G的每条边, 如果有一条x i 到x j 的单向边, i≠j, 则在G中加一条x j 到x i 的反方向边,最终得到G s. 考察G的每个顶点x i, 找从x i 出发的每一条路径,如果从x i 到路径中任何结点x j 没有边,就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图G
.
t
等价关系和偏序关系
定义设R 为非空集合上的关系. 如果R 是自反的、对称的和传递的, 则称R 为 A 上的等价关系. 设R 是一个等价关系, 若
实例设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R:R = {
验证模 3 相等关系R 为A上的等价关系, 因为
x∈A, 有x ≡ x(mod 3)
x, y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3) x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3), 则有x≡z(mod 3)
自反性、对称性、传递性得到验证
定义设R为非空集合A上的等价关系, x∈A,令[x]R = { y | y∈A∧xRy }
称 [x]R 为x 关于R 的等价类, 简称为x 的等价类, 简记为[x].
实例A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类:
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
等价类的性质:
定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则
(1) x∈A, [x] 是A的非空子集.
(2) x, y∈A, 如果x R y, 则 [x]=[y].
(3) x, y∈A, 如果x y, 则 [x]与[y]不交.
(4) ∪{ [x] | x∈A}=A,即所有等价类的并集就是A. A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类:
[1]=[4]=[7]={1,4,7},
[2]=[5]=[8]={2,5,8},
[3]=[6]={3,6}
以上3 类两两不交,
{1,4,7}{2,5,8}{3,6} = {1,2, (8)
定义设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = { [x]R| x∈A }
实例A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为
A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }
A关于恒等关系和全域关系的商集为:
A/I
= { {1},{2}, … ,{8}}
A
A/E
= { {1, 2, … ,8} }
A
集合的划分:
定义设A为非空集合, 若A的子集族π(πP(A)) 满足下面条件:
(1) π
(2) x y (x,y∈π∧x≠y→x∩y=)
(3) ∪π=A
则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.
例1 设A={a, b, c, d},
给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下:
π
= { {a, b, c}, {d} },π2= { {a, b}, {c}, {d} }
1
π
= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} }
3
π
= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
5
则π1和π2是A的划分, 其他都不是A 的划分.
为什么
等价关系与划分的一一对应
商集A/R 就是A 的一个划分
不同的商集对应于不同的划分
任给A 的一个划分π, 如下定义A 上的关系R:
R = {
则R 为A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集就是π. 例2 给出A={1,2,3}上所有的等价关系
求解思路:先做出A的所有划分, 然后根据划分写
出对应的等价关系.
例3 设A={1, 2, 3, 4},在A A上定义二元关系R:
<
求R 导出的划分.
解A A={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4 ,4>}
根据
(A A)/R={ {<1,1>}, {<1,2>,<2,1>},
{<1,3>, <2,2>, <3,1>},
{<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>}, {<2,4>, <3,3>, <4,2>},
{<3,4>, <4,3>}, {<4,4>} }
定义非空集合A上的自反、反对称和传递的关系,称为A上的偏序关系,记作?. 设?为偏序关系, 如果
实例
集合A上的恒等关系I A 是A上的偏序关系.
小于或等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.
x与y 可比:设R为非空集合A上的偏序关系,
x,y A, x与y可比x?y ∨y?x.
结论:任取两个元素x和y, 可能有下述情况:
x?y (或y?x), x=y, x与y不是可比的.
全序关系:
R为非空集合A上的偏序, x,y A, x与y 都是可比的,则称R 为全序(或线序)
实例:数集上的小于或等于关系是全序关系
整除关系不是正整数集合上的全序关系
覆盖:设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如果x ?y且不存在z A 使得x ?z ?y, 则称y 覆盖x.
实例:{ 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系,
2 覆盖 1,
4 和 6 覆盖 2.
4 不覆盖 1.
定义集合A和A上的偏序关系?一起叫做偏序集, 记作 .
实例:整数集和小于等于关系构成偏序集 . 哈斯图:利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图 特点:每个结点没有环,两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示,位置低的元素的顺序在前,具有覆盖关系的两个结点之间连边 偏序集的特定元素 (1) 若x(x∈B→y?x) 成立, 则称y 为B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x?y) 成立, 则称y 为B 的最大元. (3) 若x (x∈B∧x ?y) 成立, 则称y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ?x) 成立, 则称y 为B的极大元. 特殊元素的性质 对于有穷集,极小元和极大元必存在,可能存在多个. 最小元和最大元不一定存在,如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元;最大元一定是极大元. 孤立结点既是极小元,也是极大元. (1) 若x(x∈B→x?y) 成立, 则称y 为B的上界. (2) 若x(x∈B→y?x) 成立, 则称y 为B的下界. (3) 令C={y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界或上确界. (4) 令D={y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界或下确界.特殊元素的性质 下界、上界、下确界、上确界不一定存在 下界、上界存在不一定惟一 下确界、上确界如果存在,则惟一 集合的最小元就是它的下确界,最大元就是它的上确界;反之不对. 函数的定义和性质 函数定义:定义设F 为二元关系, 若x∈dom F 都存在唯一的y∈ran F 使xFy 成立, 则称F 为函数. 对于函数F, 如果有xFy, 则记作y=F(x), 并称y 为F 在x 的值. 例1 F1={ F ={ 2 F 是函数, F2不是函数 1 函数相等:定义设F, G为函数, 则 F = G F G∧G F 如果两个函数F 和G 相等, 一定满足下面两个条件: (1) dom F = dom G (2) x∈dom F = dom G 都有F(x) = G(x) 实例函数 专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 (1)0.2log (4);y x =-; (2)log 1a y x =- (0,1).a a >≠; (3)2(21)log (23)x y x x -=-++ (4)2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ; 13.函数f (x )= x 1 ln (432322+--++-x x x x )的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )=lg(ax 2 -2x +a ), (1) 如果f (x )的定义域是(-∞, +∞),求a 的取值围; (2) 如果f (x )的值域是(-∞, +∞),求a 的取值围. 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f (1)若函数的定义域为R ,数a 的取值围 (2)若函数的值域为R ,数a 的取值围 正比例函数与一次函数 知识点归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式:y=kx (k≠0的常数) 二、图像:正比例函数y=kx的图像是:一条经过(0,0)和(1,k)的 直线; 说明:正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”; 三、性质特征: 1、图像经过的象限: k>0时,直线过原点,在一、三象限; k<0时,直线过原点,在二、四象限; 2、增减性及图像走向: k>0时,y随x增大而增大,直线从左往右由高降低; k<0时,y随x增大而减小,直线从左往右由低升高; 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例:y=kx (k≠0); 2、y与x+a成正比例:y=k(x+a) (k≠0); 3、y+a与x成正比例:y+a=kx (k≠0); 4、y+a与x+b成正比例:y+a= k(x+b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式:y=kx+b (k≠0, k, b为常数) 注意:(1)k≠0,自变量x的最高次项的系数为1; (2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。 二、图像: 一次函数y=kx+b (k≠0, b≠0)的图像是:一条经过(-,0)和(0,b)的直线。 说明:(1)一次函数y=kx+b (k≠0, b≠0)的图像也叫做“直线y=kx+b”; (2)直线y=kx+b与x轴的交点坐标是:(-,0); 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是:(0,b). 三、性质特征: 1、图像经过的象限: (1)、k>0,b>0时,直线经过一、二、三象限; (2)、k>0,b﹤0时,直线经过一、三、四象限; (3)、k﹤0,b>0时,直线经过一、二、四象限; (4)、k﹤0, b﹤0时,直线经过二、三、四象限; 离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义m n 2种不同的关系; 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 (1)0.2log (4);y x =-; (2 )log a y =(0,1).a a >≠; (3)2 (21)log (23)x y x x -=-++ (4 )y = ? (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式:y=kx (k≠0的常数) 二、图像:正比例函数y=kx的图像是:一条经过(0,0)和(1,k)的直线; 说明:正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”; 三、性质特征: 1、图像经过的象限: k>0时,直线过原点,在一、三象限; k<0时,直线过原点,在二、四象限; 2、增减性及图像走向: k>0时,y随x增大而增大,直线从左往右由高降低; k<0时,y随x增大而减小,直线从左往右由低升高; 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例:y=kx (k≠0); 2、y与x+a成正比例:y=k(x+a) (k≠0); 3、y+a与x成正比例:y+a=kx (k≠0); 4、y+a与x+b成正比例:y+a= k(x+b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式:y=kx+b(k≠0, k, b为常数) 注意:(1)k≠0,自变量x的最高次项的系数为1; (2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。 二、图像: 一次函数y=kx+b (k≠0, b≠0)的图像是:一条经过(-,0)和(0,b)的直线。 说明:(1)一次函数y=kx+b (k≠0, b≠0)的图像也叫做“直线y=kx+b”; (2)直线y=kx+b与x轴的交点坐标是:(-,0); 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是:(0,b). 三、性质特征: 1、图像经过的象限: (1)、k>0,b>0时,直线经过一、二、三象限; (2)、k>0,b﹤0时,直线经过一、三、四象限; (3)、k﹤0,b>0时,直线经过一、二、四象限; (4)、k﹤0, b﹤0时,直线经过二、三、四象限; 2、增减性及图像走向: k>0时,y随x增大而增大,直线从左往右由高降低; k<0时,y随x增大而减小,直线从左往右由低升高; 3、一次函数y=kx+b (k≠0, b≠0)中“k和b的作用”: (1) k的作用:k决定函数的增减性和图像的走向 k>0时,y随x增大而增大,直线从左往右由高降低; k<0时,y随x增大而减小,直线从左往右由低升高; (2)∣k∣的作用:∣k∣决定直线的倾斜程度 ∣k∣越大,直线越陡,直线越靠近y轴,与x轴的夹角越大; 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。 数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域,如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):x≥y,… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x 存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点,希望可以解决您所遇到的相关问题,加油,查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。 注: 1.以10为底的对数叫做常用对数,并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数,并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内,负数无对数。在复数范围内,负数是有对数的。 对数公式 0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。/p p其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定, 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域:实数集R,显然对数函数无界。 定点:函数图像恒过定点(1,0)。 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数; 奇偶性:非奇非偶函数 周期性:不是周期函数 对称性:无 最值:无 零点:x=1 注意:负数和0没有对数。 两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。 要练说,得练听。听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示 简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0 q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式,记作p. 符号称作否定联结词,并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意:描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明,而且用功. (3) 王晓虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明: 对数及对数函数 1、对数的基本概念 (1)一般地,如果a (1,0≠>a a )的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对 数, 记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式 (2)常用对数:N 10log ,记作N lg ; 自然对数N e log (e =2.71828…),记作N ln . (3)指数式与对数式的关系:log x a a N x N =?=(0>a ,且1≠a ,0N >) (4)对数恒等式: 2、对数的性质 (1)负数和零没有对数,即0>N ; (2)1的对数是零,即01log =a ; (3)底的对数等于1,即1log =a a 3、对数的运算性质 (1)如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N M a a a log log log -=; ③M n M a n a log log = (2)换底公式: 推论:① b N N b log 1log = ; ② ; ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义: 函数 叫做对数函数,其中x 是自变量 (1)研究对数函数的图象与性质: 由于对数函数 与指数函数 互为反函数,所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 (2)复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ,且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定:当某个命题为真时,其否定为假,当某个命题为假时,其否定为真定义 1. 1.4条件联结词,表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词,表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式,则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式,则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式 将一个普通公式转换为范式的基本步骤 1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式, 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论,或称 A 可以逻辑推出 C ,记为 A => C 。(用等值演算或真值表) 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?:全称量词 ?:存在量词 一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时, 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)),即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)),即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子,T(x)表示对象 x 是乌龟, H(x,y)表示 x 比 y 跑得快,L(x,y)表示x 与 y 一样快,则兔子比乌龟跑得快表示为: ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为:?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号: 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号:个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义:个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式:设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词,n t t ...1是项,则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元,可以换成个体变元的表达式(项),但不能出现任何联结词与量词,只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式:(1)原子公式是合式公式;(2)若 A 是合式公式,则(﹁A)也是合式公式;(3)若 A,B 合式,则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式,则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域:?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围,A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元:在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ,称为约束变元,这是与量词相关的变元,约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元:谓词公式中与任何量词都无关的量词,称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元,就是自由变元。 注意:为了避免约束变元和自由变元同名出现,一般要对“约束变元”改名,而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式 高考指数函数和对数函数 一.基础知识 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方 根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)] b (f ),a (f [ 或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么:○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ;○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =;(2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对 一次函数知识点总结 基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题:在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中,变量是________,常量是_________. 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定 的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题:下列函数(1)y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中,是一次函数的有( ) (A )4个 (B )3个 (C )2个 (D 3、定义域: 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2 (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4 (5例题:下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A .. . D . 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1+-=x y ,当11≤<-x 时,y 的取值范围是 ( ) A.2325≤<-y B.2523< 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={专题:对数函数知识点总结及类型题归纳
正比例函数与一次函数知识点归纳
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总结
专题:对数函数知识点总结及类型题归纳
《正比例函数与一次函数》知识点归纳知识讲解
离散数学知识点整理
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
高一数学必修一对数及对数函数知识点总结
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
对数及对数函数知识点总结及题型分析
(完整word版)离散数学知识汇总,推荐文档
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
初二数学一次函数知识点总结
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)