专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结
1.对数函数的定义：
一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为
思考：函数log a y x =与函数x
y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。
一般的,函数y=a x
与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1
(x)
如:f(x)=2x ,则f -1
(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关
于直线y=x 对称
函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称
专题应用练习
一、求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a
y x =- (0,1).a a >≠；
（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg
1
1
-x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13
log (21)x -的定义域是
5.函数y ＝log 2(32－4x
)的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________
7.求函数2
log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域：
（1）2log (3)y x =+； （2）2
2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
9.函数f （x ）=x
1
ln （432322+--++-x x x x ）定义域
10.设f(x)=lg
x x -+22,则f )2
()2(x
f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo
g 1
|2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)=
2
29)2(1x x x g --的定义域为 ；
13.函数f （x ）=
x
1
ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为
14
2
2
2
log
log log y x =的定义域是
1. 设f (x )＝lg(ax 2
－2x ＋a ),
(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(22
1+-=ax x x f
（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围 （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围 （3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞Y ，求实数a 的值；
（4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.
16.若函数()
2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f(2x
）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.
18若函数y=lg(4-a ·2x
)的定义域为R ，则实数a 的取值范围为
19已知x 满足不等式06log 7)(log 22
2≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x ?的值域是 20求函数1log )(log 2
12
2
1+-=x x y (14)x ≤≤的值域。
21已知函数f(x)=log 21
1-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.
解：f(x)有意义时，有????
?
????>->->-+,
③0,②0
1,①011
x p x x x
由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］
=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2
+p ］ (1＜x ＜p),
①当1＜2
1
-p ＜p ，即p ＞3时，
0＜-(x-4
)1(4)1()21222+≤++-p p p ,
∴log 2??
????
++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当2
1
-p ≤1，即1＜p ≤3时，
∵0＜-(x-),1(24)1()212
2-<++-p p p ∴log 2??
?
???++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)).
二、利用对数函数的性质，比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1； （3）7log 5，6log 7； （4）2log 3，4log 5，
3
2
1.0.9
1.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8的大小关系是____________
2.已知a 2
>b>a>1，则m=log a b ，n=log b a ，p= log b a
b
的大小关系是____________ 3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系
4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b
b b
b
a
1log ,log ,1的大小关系是
5.已知log 2
1b ＜log 2
1a ＜log 2
1c,比较2b ,2a ,2c
的大小关系.
6.设，则
7.()()()2
21,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。
8.
()2
21,1log log d d x d a x b x >>==已知试比较，的大小。
9.设0
三、解指、对数方程：
（1）35
3
27x += （2）2212x =（3）55log (3)log (21)x x =+（4）lg(1)x =-
1.已知3a =5b =A,且b
a 1
1+=2，则A 的值是 2.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么12
x -
等于
3.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么x 2
1-等于 4..若x ∈(e -1
,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3
x,则 5.若()x f x
=10
，那么()3f 等于
6. 已知，则
7. 已知，求的值．
四、解不等式：
1.55log (3)log (21)x x <+
2.lg(1)1x -<
3.设,a b 满足01a b <<<，给出下列四个不等式：
①a b a a <，②a b b b <，③a a a b <，④b b
b a <，其中正确．．的不等式有 4.已知：(1)()log a f x x =在[3,)+∞上恒有|()|1f x >，求实数a 的取值范围。
5.已知函数2
()3,()(1)f x x g x a x =+=-，当22x -≤≤时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。 6.求m 的取值范围，使关于x 的方程2
1
(lg )2lg ()04
x m x m -+-=有两个大于1的根．
（2008·全国）若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3
x,则
7.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b
b b b a 1
log ,log ,1的大小关系是
8.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围 9.已知函数f （x ）=log 2(x 2
-ax-a)在区间（-∞,
1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.
10.若函数2
2log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围
11.已知函数)3(log )(2
2a ax x x f +-=在区间()2 ,1上是增函数，则实数a 的取值范围是
12.若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是 13.．设函数若，则的取值范围是（ ） 14.设a >0且 a ≠1，若函数f (x )＝)
32(lg 2
+-x x a
有最大值，试解不等式)75(log 2+-x x a >0
五、定点问题
1.若函数y=log a (x+b) (a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则
2.若函数y=log a (x+b) (a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则
3.函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 .
六、求对数的底数范围问题
1.（1）若4
log 15
a
<(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围 2. （2）若(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围 3..若2
log 13
a
<(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围________ 4.函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为 . 5.若函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是 6.函数y=(ax+a-1)在x ≥2上单调减，求实数a 的范围
7..已知y=a log (2-x
a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
8.已知函数y=log 2
a (x 2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a 的取值范围.
9.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.
10.若函数log (1)a y x =-在[0,1)上是增函数，a 的取值范围是
11.使12
1
log >a
成立的a 的取值范围是 12.若定义在(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是
七、最值问题
1.函数y ＝log a x 在[2, 10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a ＝ .
2.求函数2
114
4
log log 5
[2,4]y x x x =-+∈的最小值 ,最大值 .。
3.设a ＞1,函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为21，则a=
4.函数f （x ）=a x +log a （x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a ，则a=
5.已知20≤≤x ,则函数4234-?-=x
x y 的最大值是 ，最小值是 .
6.已知2()1log ,(14)f x x x =+≤≤，求函数22
()()()g x f x f x =+的最大值与最小值
7.已知x 满足2
0.50.52(log )7log 30x x ++≤ ，求函数2
2()(log )(log )24
x x
f x =的最值。 8.
12
20,0,21,log (841).
x y x y u xy y ≥≥+==++设且求函数的值域
9.函数f (x )＝a x ＋log a (x +1)在[0, 1]上的最大值与最小值之和为a ，则a ＝
10.求函数)3
1
3(log )31(log 22
1+--=x
x
y 的最小值
11.函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___．
八、单调性
1.讨论函数lg(1)lg(1)y x x =++-的奇偶性与单调性
2.函数2
lg(2)y x x =-的定义域是 ,值域是 ，单调增区间是 3.函数2
()ln(43)f x x x =-+的递减区间是 ． 4.函数y=log 1/3(x 2
-3x)的增区间是________
5.证明函数)1(log )(2
2+=x x f 在),0(+∞上是增函数 6.函数)1(log )(2
2+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？ 7.求函数)32(log 2
21--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明
.8.求y=3.0log (2
x -2x)的单调递减区间
9..求函数y=2log (2
x -4x)的单调递增区间 10.函数y=log 2
1(x 2
-3x+2)的递增区间是
11.函数2
lg(2)y x x =-的值域是 ，单调增区间是 ．
12.若函数2
2log ()y x ax a =--在区间(,13)-∞-上是减函数，求实数a 的取值范围
1.证明函数y=2
1log (2
x +1)在（0，+∞）上是减函数；
2.已知函数f （x ）=log 2(x 2
-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.，求实数a 的取值范围.
3.已知函数()lg(42)x
f x k =-?，（其中k 实数）
（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若)(x f 在(],2-∞上有意义，试求实数k 的取值范围 小结：复合函数的单调性
)(),(x g x f 的单调相同，))((x g f y =为增函数，否则为减函数
九、奇偶性
1.函数())
2ln
1f x x x =+的奇偶性是 。
2.若函数()f x 是奇函数，且0x >时，()()lg 1f x x =+，则当0x <时，()f x =
3.偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，()()0.5
11,log ,lg 0.54a f b f c f ?
?
=-== ???
，则,,a b c 之间的大小关系 4.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)3
1(=f ，则不等式0)(log 8
1>x f 的解集为
5.已知函数1()lg
,1x f x x -=+若1
(),2
f a =则()f a -= . 6.已知奇函数 满足 ，当 时，函数 ，则 =____．
7.
2
()lg(1)(1)(2)()f x x x f x =+已知判断f(x)奇偶性判断的单调性 8.知函数f(x)=log a b
x b x -+ (a ＞0,且a ≠1，b ＞0)（1）求f(x)定义域；（2）讨论f(x)奇偶性；（3）讨
论f(x ）单调性
,b ∈R ，且a ≠2,定义在区间（-b,b ）内的函数f(x)=x
ax 211lg ++是奇函数
1）求b 取值范围2）讨论函数f(x)单调性.
10.设a,b ∈R ，且a ≠2,定义在区间（-b,b ）内的函数f(x)=x
ax 211lg ++是奇函数.
（1） 求b 的取值范围；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
11.已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中)10(≠>a a 且，设()()()h x f x g x =-. （1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合.
十、对称问题与解析式
1.已知函数()f x 的定义域是()0,+∞，且对任意的12,0x x >满足()()1122x f f x f x x ??
=-
???
，当1x >时有()0f x <，请你写出一个满足上述条件的函数()f x = 。
2.已知函数()f x 满足()()2
2
2
3log 0,16a x f x a a x -=>≠-
（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性；（4）解不等式()()log 2a f x x ≥ 3.已知定义域为(,0)(0,)-∞?+∞的函数()y f x =满足条件：对于定义域内任意12,x x 都有
1212()()()f x x f x f x =+
.(1)求证：1
()()f f x x
=-，且()f x 是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.
5.已知函数f(x)=log a (x+1)(a ＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x ∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m 成立，求m 的取值范围.
解 （1）设P （x ，y ）为g(x)图象上任意一点，则Q （-x ，-y ）是点P 关于原点的对称点，
∵Q （-x ，-y ）在f(x)的图象上，∴-y=log a （-x+1），即y=g(x)=-log a (1-x).（2）f(x)+g(x)≥m,即log a x
x -+11
≥m.
设F （x ）=log a x
x -+11,x ∈［0，1），由题意知，只要F （x ）min ≥m 即可.
∵F （x ）在［0，1）上是增函数，∴F （x ）min =F （0）=0.故m ≤0即为所求 1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,
由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以2
2
8118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2),
由于log 2x 1=
2
log log 81
8x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=
1
1
8112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2
2
82222x x x x k ==
由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.
（2）解 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=3
1
log 2x 2,x 2=x 3
1, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 3
1log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 3
1=3x 1,又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的
坐标为（3，log 83).
6.已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log 2的图象交于C 、D 两点.
（1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. 7.设函数 且 ．
① 求 的解析式，定义域；② 讨论 的单调性，并求 的值域．
十一、对数函数图象
1．函数3log (2)y x =+的图象是由函数3log y x =的图象 得到。 2. 函数3log (2)3y x =-+的图象是由函数3log y x =的图象 得到。 3. 函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象是由函数log a y x =的图象 当0,0b c >>时向 __ 单位得到; 当0,0b c <>时向 __ 单位得到; 当0,0b c ><时向 __ 单位得到; 当0,0b c <<时向 __ 单位得到。
尝试总结：平移变换()()y f x y f x a b =→=++的法则___________________________ ____________________________________________________________________
1.将函数y=2x
的图象向左平移1个单位得到C 1，将C 1向上平移1 个单位得到C 2，而C 3与C 2关于直线y=x 对称，则
C 3对应的函数解析式是
2.函数的图像与对数函数3log y x =的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间： (1)3log ||y x =； (2)3|log |y x =； (3) 3log ()y x =-；(4) 3log y x =-
1.已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x
＝3的根求函数f (x )＝|12|log 22--x x 的单调区间
2.如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ， 则相应于曲线 的 值依次为( )．
3.方程log (1)x
a x a a =>的解的个数为
4.已知关于．．x ．的方程．．．02lg 2lg 2
=-++a x a x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是
5.方程2
2log ||x x =-的实根个数是 个.则x 1＋x 2＝
6.已知f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，比较f (x )与g(x )的大小
7.设a >0且a ≠1,求证：方程x
x
a a
-+-x =2a 的根不在区间[-1,1]内
8.若 ，且 ，则 满足的关系式是 （ ） 9.若 是偶函数，则 的图象是 ( )．
（A ）关于 轴对称（B ）关于 轴对称（C ）关于原点对称 （D ）关于直线 对称
10方程 实数解所在的区间是 ( )．（A ） （B ） （C ） （D ） 11.已知x 、y 为实数，满足（log 4y ）2
=12
log x ，试求
x
y
的最大值及相应的x 、y 的值． 十二、附加内容（补充）
本节主要介绍以下几个问题 一、反函数的定义 二、反函数的求法
三、反函数存在的条件 四、反函数的性质 y=a x
及y=log a x 互为反函数 ,反函数的定义
??
?
??
=互换，加注定义域与定义域）求原函数值域（反函数
中解出从y x x
x f y )(
一般的,如果y 是x 的一个函数(y=f(x)),另一方面,x 也是y 的函数(x=g(y)),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一般仍用x 表示自变量,y 表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f -1(x),y=f -1(x)与y=f(x)互为反函数
y=a x
与y=log a x 互为反函数
注意：f -1(x)与[f(x)]-1
不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数 求函数y=3x+6的反函数
解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2
Y=a x 与y=log a x ({x|x>0})互为反函数(由y=a x 中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域 二,反函数的求法步骤 1、从y=f(x)中解出x;
2、求出原函数的值域即为反函数的定义域； 3，x 、y 互换并加注定义域即为所求 反函数存在的条件
y 是x 的函数，要求每个x 对应惟一一个y;
x 是y 的函数，要求每个y 对应惟一一个x;
所以：反函数存
在的等价条件是该函数的x 与y 一一对应
y=a x
在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有x,y 一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数
思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如y=1/x ） 反函数的简单性质
1、原函数与反函数的定义域与值域对调
2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x （由于x 与y 一一对应）
3、原函数与反函数的图象关于直线y=x 对称。从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性 1.求出函数y=log 2
x
x -+11 (-1 =x x -+11,x=1212+-y y (y ∈R) 反函数为：y=1212+-x x (X ∈R ) 2.求函数y=1+ 252 -x (x ≤-5)的反函数(答：f -1(x)= 2622+-x x (x ≥1) 3..若函数f(x)= 的反函数为 求常数a,b,c 的值(答：a=5,b=2,c=1) 4.已知y=x2-2ax+3在[)+∞,1上存在反函数 ⑴求实数a 的范围;⑵求a 取得最值时相应的反函数解:⑴a ≤1 ⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x= 故反函数为f -1 (x)=1+2-x （x ≥2） c bx a x ++1 25)(1 -+-=-x x x f 21-+y 5.已知函数y=-x 的反函数是f -1(x) 求f -1 (-1) 6.若函数f(x)的图象过点（1，2），则f -1 (x)的图象一定经过点_________ 7.若点(1,2)既在函数y= x a +b,又在其反函数的图象上，求实数a,b 的值 8.已知，（1）求其定义域；（2）解方程 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21 ）. 5. 计算（0.0081）4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0，b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3，求下列各式的值： ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b a b a +-的值。 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 对数及对数函数 1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对 数， 记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式 （2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln . （3）指数式与对数式的关系：log x a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >） （4）对数恒等式： 2、对数的性质 （1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、对数的运算性质 （1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③M n M a n a log log = （2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log = ； ② ； ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ，且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： 即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成： 及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的； 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0 高考指数函数和对数函数 一.基础知识 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方 根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)] b (f ),a (f [ 或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 因为负数对一些分数次方无意义，0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 《 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； ' 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---21 3321x x 、 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 ？ 练习：（1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d | B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
对数函数典型例题
导数及其应用(知识点总结)
指数函数与对数函数知识点总结
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
对数函数知识点及典型例题讲解
指数函数知识点总结
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
高一数学必修一对数及对数函数知识点总结
高一指数函数与对数函数经典基础练习题,
对数及对数函数知识点总结及题型分析
高一数学对数函数经典题及详细答案
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
指数函数知识点汇总
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
对数函数-典型例题
基本初等函数和函数的应用知识点总结
指数函数知识点总结