七大积分总结
七大积分总结
一． 定积分
1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：
a=x 0 把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]， 记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积: f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ?=∑-)(S i n 1 ξ 记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做： ∑?=→?==n i i i b a x f I dx x f 1 0)()(lim ξλ 其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间， ∑=?n i i i x f 0 )(ξ称为积分和。 如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。 关于定积分的定义，作以下几点说明： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二） 性质一 ???+=±b a b b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([a 和差的积分等于积分的和差； 性质二 ??=b a b dx x f k dx x kf )()(a （k 是常数） 性质三 对区间的可加性 不管a,b,c 相对位置如何，总有等式 性质四 如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则a b dx x f b -=?a )( 性质五（保号性） 如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则0)(≥?b a dx x f 推论一 设f(x)≤g(x),x ∈[a,b]，则??≤b a b dx x g dx x f )()(a 推论二 dx x f dx x f b a b a ?? ≤)()( (a 性质六（估值定理） 设M 和m 分别是函数f(x)在区间[a,b]上最大值和最小值，则 )()()(m a b M dx x f a b b a -≤≤-? 性质七（定积分中值定理） 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立： ))(()(a b f dx x f b a -=?ξ （本性质可由性质六和介值定理一 块证得） 5．积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x 为区间[a,b]上任意一点，则 f(x)在区间[a,x]上定积分为?x a dx x f )(，此时x 既表示积分变量又表示积分的上限，但两者 的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t 表示积分变量，则上面的积分可写成 ? x a dt t f )(，该积分会随着X 的取定而唯一确定，随X 的变化而变化。所以积分?x a dt t f )(是定 义在区间[a,b]上关于x 的一个函数，记做 Φ(x): Φ(x)=?x a dt t f )( (a ≤x ≤b) 并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质： 定理一 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为 Φ‘ (x)=)()(x f dt t f dx d x a =? （a ≤x ≤b ） 定理二（原函数存在定理） 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。 定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 定理三 如果函数f(t)在区间I 1上连续，a(x),b(x)在区间I 2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I 2上的复合函数，则 F(x)=?) () (a )(x b x dt t f 在I 2上可导，且 F ‘(x)= ?)() ()(d x b x a dt t f dx =f[b(x)]·b ’(x)-f[a(x)]·a ’ (x) 6.牛顿-莱布尼茨公式 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有?b dx x f a )(=F(b)-F(a), 这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。 次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分 等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。 7.定积分的常见积分方法 换元法 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且函数x=?(t)满足下列条件： （1）?(α)=a,?(β)=b; (2)在区间[α,β]上?(t)具有连续导数且其值域R ??[a,b]， 则有??=β α ??dt t t f dx x f b a )(')]([)( ，此公式称为定积分的换元公式。 注意：换元必换限，即用x=?(t)把积分变量x 换成t 时，积分限一定要换成相应于新积分变量t 的积分限； 另外此公司反过来也可以用：??=b a dx x x f dt t f )(')]([)(??βα ，其中 定积分中的对称奇偶性： 若f(x)在区间[-a,a]上连续，则： （1） 当f(x)为奇函数时，?-a a dx x f )(=0 （2） 当f(x)为偶函数时，??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( 三角函数的定积分公式： 设f(x)在[0,1]上连续，则： （1）??∏∏=20 20)(cos )(sin f dx x f dx x ;(2)?? ∏ ∏ ∏=0 )(sin 2)(sin dx x f dx x xf 周期函数的定积分公式： 如果T 是连续函数f(x)的周期，则??=+T T a a dx x f dx x f 0 )()(（a 为常数） 分部积分法 若函数u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上具有连续导数，则有 重要结论： 设I n =??∏∏=20 20 n cos sin xdx xdx n ，则 （1） 当n 为正偶数时，I n = 2 2143231∏ ???--?- n n n n （2） 当n 为大于1的正奇数时，I n = 13 2 54231???--?- n n n n 常用到的不定积分的积分公式： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 常见微分公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 8.无穷限的广义积分： 设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a ，如果极限?∞ →b a b dx x f )(lim 存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞]上的广义积分，记做 ? +∞ a )(dx x f ，这时也称广义积分? +∞ a )(dx x f 收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发 散。 同理也可得函数f(x)在无穷区间[-∞,b]上的广义积分。 对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。 几条结论： （1） 广义积分dx x a p ? +∞ 1 ，当p>1时收敛，当p ≤1是发散。 （2） 广义积分?+∞ -a px dx e 当p>0时收敛，当p<0时发散。 9.无界函数的广义积分： 设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a 为函数f(x)的瑕点，取t>a ，如果极限?+ →b t a t dx x f )(lim 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，记做?b dx x f a )(，即 ? b dx x f a )(=?+ →b t a t dx x f )(lim 。 这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。 同理，可得f(x)在区间[a,b ）上的瑕积分,即 ?b dx x f a )(= ?- →t a t dx x f )(lim b 对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间（a,b]上的瑕积分有： ?b dx x f a )(=?+ →b t a t dx x f )(lim =F(b)-)(lim x F a x + →=F(x)-F(a+0) 小结论： 广义积分dx x p ? 1 1 当p<1时收敛，当p ≥1时发散。 对于无界函数的广义积分（瑕积分）的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或[a,b),(a,b][a,b])的内部一个点上。 10.定积分的应用 一、定积分在几何上的应用： （一）平面图形的面积 1.直角坐标情形: 对于有曲线x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)围成的X 型的曲边梯形，其面积的计算公式为：A=?-b dx x g x f a )()( （a 对于由曲线y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所围成的Y 型的曲边梯形的面积计算公式为： ?-=d dy y g y f c )()(A (c 2.参数方程情形： 当曲边梯形的曲边f(x)(f(x)≥0,x ∈[a,b])由参数方程 x=)(t ?,y=)(t φ给出时，若,)(a =α?b =)(β?，且在[a,b]上)(t ?具有连续导数，y=)(t φ连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可得曲边梯形的面积为：A=?b dx x f a )(=?β α ?φdt t t )()(' 4. 极坐标情形： 由曲线)(θρρ=及射线βθαθ==，围成的曲边扇形的面积计算公式为 A=?βα θθρd )(212 （二）立体的体积 1.旋转体的体积 对于由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积计算公式为：V=?b a dx x f 2)]([π 同理可得相似的绕Y 轴和Z 轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。 2.平行截面面积已知的空间立体的体积 若一个立体位于平面x=a,x=b 之间，且知道过x 且垂直于x 轴的平面截此物体的截面面积为A(x)，且A(x)为了连续函数，则此立体的体积计算公式是： V=?b a dx x A )(，同理可得相 似的过Y （Z ）且垂直于Y （Z ）轴的平面截得的立体的体积的计算公式。 （三）平面曲线的弧长 1.参数方程情形 设曲线由参数方程x=)(t ?,y=)(t φ给出，且)(t ?，)(t φ在[βα，]上具有一阶连续导数，则 其弧长的计算公式为： S=dt t t ? +β α φ?)()(2'2' 2.直角坐标情形 设曲线由直角坐标方程y=f(x) （a ≤x ≤b ）给出，其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f(x)，故其弧长的计算公式为：s=dx y b a ?+2'1 3.极坐标情形 设弧线由极坐标方程)(θρρ= )(βθα≤≤ 给出，其中)(θρ在[βα,]上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=)(θρcos θ,y=)(θρsin θ,故弧长为s=θθρθρβα d ? +)()(2'2 二、定积分在物理上的应用 （一）变力沿直线所做的功 W=?b dx x F a )( （二）液体压力 这个就题论题； （三）引力 这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为X 轴和Y 州两个方向上分别计算，就题论题； 定积分到此结束，在计算的过程中要牢记常见的公式，特别是积分公式，这些都与不定积分有关，上边总结的一些积分公式可能不全，见谅。 二． 二重积分 这里二重积分的引入（阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的体积）和定义及概念 就不再总结，只声明： 当被积函数为常数1的时候，二重积分的物理意义是被积函数所围区域的面积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时，二重积分的意义有很多，这与二重积分的应用有关。 1. 二重积分的性质 性质一(线性性质) 和差的积分等于积分的和差； 性质二（区域可加性） 若区域D 由n 个不重合的有界闭区域D i (i=1,2,3,……,n)组成，则??∑??-=D 1),(),(f n i D i d y x f d y x σσ 性质四（单调性） 若在区域D 上恒有f(x,y)≤g(x,y),则 ??D ),(f σd y x ≤??D ),(g σd y x ， 特别的有σσd y x f d y x f D D ?? ??≤),(),( 性质五（估值定理） 设M ，m 分别为f(x,y)在有界闭区域上D 上最大、最小值，A 为区域D 的面积，则 mA ≤??D ),(f σd y x ≤MA 性质六（积分中值定理） 设函数f(x,y)在有界闭区域D 上连续，A 为D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使??D ),(f σd y x =f ),(ηξA 2. 二重积分的计算（基本思想：将二重积分转化为二次积分） 一、 在直角坐标系下计算二重积分 （一） 先对Y ，后对X 的二次积分 设二重积分??D ),(f σd y x 的积分区域D 可以表示为 a ≤x ≤b,)()(21x y x ??≤≤的形式，其中)(1x ?，)(2x ?在[a,b]上连续，这时程区域D 为X 型区域，这时二重积分的计算公式为 ??D ),(f σd y x =??b x x dy y x dx a ()(21 ),(f ） ?? （二） 先对X ，后对Y 的二次积分 类似上边，若二重积分??D ),(f σd y x 的积分区域D 可以表示为 c ≤y ≤d,)()(21y y φφ≤的形式，则称区域D 为Y 型区域，这时二重积分的计算公式为: ??D ),(f σd y x =??d y y dx y x dy c ()(21 ),(f ） φφ 二、 在极坐标系下计算二重积分 若积分区域D 与圆域有关或者被积函数为)(22y x f +，)(x y f ，f(xy)等形式，用极坐标计 算更简便。 极坐标下的面积微元可以表示为：θσrdrd =d )(βθα≤≤ 直角坐标与极坐标有如下变换：θθsin ,cos r y r x ==,而两个坐标系的积分区域的形状不变，，因此有 ?? D ),(f σd y x =??D )sin ,cos (f θθθrdrd r r =() ??βα θθθ2 1) (r r rdr d 常用的计算技巧： 1. 适当的拆分被积函数和积分区域（主要是利用分块积分和对称性） 2. 对称性质 若区域D 关于X 轴对称： （1） 若f(x,y)是关于Y 的偶函数，则： ??D ),(f σd y x =2??1 D ),(f σd y x （2） 若f(x,y)是关于Y 的奇函数，则 ??D ),(f σd y x =0； 3.二重积分的一般换元法 设变量变换 ),(),,(u y x v y x u == ，将Oxy 平面上的闭区域D 一一对应地变到Ouv 平面上 的闭区域D ‘，如果函数u,v 在闭区域D 内有连续偏导数， 且y v x v y u x u y x v u ????????= ??),(),(≠0 则，??D ),(f σd y x =dudv y x v u v u y v u x f ?? ??D ) ,(),()),(),,(( 三、三重积分 三重积分的几何意义（涉及到四维空间，暂不讨论）略去。在特殊情况下，当被积函数恒等于1时，三重积分表示的为被积空间的体积大小。 1． 三重积分的计算 （一） 直角坐标系下三重积分的计算 方法一：投影法（又称先一后二法，先化三重积分为定积分，计算完定积分后就化为二重积分了） 设三重积分??? Ω dxdydz z y x f) , , (的积分区域Ω可表示为： Ω：z 1(x,y)≤z≤z 2 (x,y), (x,y)∈D xy 其中D xy 为Ω在Oxy平面上的投影区域，它是Oxy平面上的有界闭区域，z 1 (x,y)和z 2 (x,y) 都在Oxy上连续，则计算三重积分时，先将x,y看做常数，然后可得： ???Ω dxdydz z y x f) , , ( = dxdy dz z y x f xy y x z y x z ?????? ?? ? D ) , ( ) , ( 2 1 ) , , ( = ? ??y)(x,z ) , ( z 2 1 z)dz y, f(x, y x D xy dxdy 先对Z积分，转化成关于X,Y的一个二重积分（事实 上还是化为关于X,Y,Z的三次积分来计算了），然后在计算二重积分即可（下面不再叙述）。 若区域D xy 可以再极坐标系下表示，那么可以将上述公式化为先对Z，再对r，后对θ的三次积分。 方法二：截面法（又称先二后一法，事实上是先化三重积分为二重积分，计算完二重积分后就化为一个定积分了） 设空间区域Ω：c 1≤z≤c 2 ,(x,y)∈D z ,其中D z 是过点（0,0，z）且平行于Oxy平面的平 面截Ω所得的平面区域，则 ???Ω dxdydz z y x f) , , ( =??? 2 1 ) , , ( c c D z dxdy x y x f dz ，然后可根据D z 是坐标系下的 X型或Y型区域化X,Y的二重积分为二次积分，然后转化为Z的定积分。 若D z 可以用极坐标系表示，则还可以化为关于先计算r,θ的二重积分（化为二次积分 计算），再计算Z 的定积分。 （由于这里公式繁杂，故不再详细书写，请谅解） 3. 三重积分的换元法 设变量变换 '),,(),,,(),,,(),,,(x Ω∈===w v u w v u z z w v u y y w v u x 将Ouvw 空间中的闭区域Ω‘一一对应地变换为Oxyz 空间中的闭区域Ω，若函数x,y,z 在Ω ‘ 内具有连续的偏导数，且 w z v z u z w y v y u y w x v x u x w v u z y x ??????????????????= ??=),,(),,(J ≠0，则三重积分的换元公式为 ???Ω dxdydz z y x f ),,(= ???Ω ‘dudvdw J w v u z w v u y w v u x )),,(),,,(),,,((f 4. 柱面坐标下三重积分的计算 柱面坐标与直角坐标的变换关系为： z z r y r ===,sin ,cos x θθ,则易得（代入上边的换元公式中可得）：J=r ≠0,所 以 ???Ω dxdydz z y x f ),,(=???Ω dz rdrd z r r θθθ),sin ,cos (f ，然后计算三重积分。 注：当被积函数含有zf(x 2+y 2),zf(xy),)(z x y f 的形式，或者积分区域由圆柱面（或一部分） 锥面、抛物面所围成时，用柱面坐标系计算比较简便。 5. 球面坐标下三重积分的计算。 直角坐标和球面坐标之间的转换关系如下： 则代入上边的换元法的公式中可得J=r 2sin ?≠0 故 ???Ω dxdydz z y x f ),,(= ??? Ω ‘θ??θθ?θ?d drd r r r r sin )cos ,sin sin ,cos sin (f 2 注：当积分区域是与球面有关的区域时或者被积函数中含有222z y x ++等形式时，用球面坐标系计算比较简便。 三重积分的对称奇偶性： 若Ω关于Oxy 平面对称，则当f 为关于z 的奇函数时， ???Ω dxdydz z y x f ),,(=0；当f 为关于z 的偶函数时， ???Ω dxdydz z y x f ),,(=2???Ω1 ),,(dxdydz z y x f 6. 重积分的应用 一． 计算立体体积 V= ???Ω dv 二． 计算空间曲面面积 设∑：z=f(x,y)为空间可求面积的曲面，∑在Oxy 平面的投影区域为D xy ,任取D xy 上的小区 域σd ，则经过证明可得（证明过程略去，自己看书）：σd =dS 2 2 11y x z z ++,故 dS= σ d z z y x 2 21++= dxdy z z y x 2 21++,故 S= ?? xy D dxdy z z y x 2 2 1++，然后计算二重积分。 三、 求质心 这里只介绍公式，推导过程不再叙述，自个儿看书。 设有一个有界闭区域D ，它的密度),(y x μ在D 上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：（其中M x ,M y 分别为质点系对对X ，Y 轴的静距）。 ????= = D D d y x d y x x M M σ μσ μ),(),(x y ， ?? ??==D D x d y x d y x y M M σμσ μ),(),(y 特别的，当区域D 的面密度为常值ρ时，其质心坐标计算公式为： D D y S x ??????= = = σ σ ρσ ρxd d xd M M D D ，D D D D x S yd d yd M M ??????===σ σ ρσρy 同理可得空间有界区域Ω的形心的坐标公式： ??????Ω Ω = dv z y x dv z y x x ),,(),,(x μμ，??????Ω Ω = dv z y x dv z y x y ),,(),,(y μμ，??? ???ΩΩ = dv z y x dv z y x z ),,(),,(z μμ 特别的，当空间区域所代表的例题均匀为ρ时，其形心坐标公式为： 补充： 1. 若积分区域关于直线y=x 对称，则根据轮换对称性可得： ??D ),(f σd y x =??D ),y (f σd x 2. 在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。 3. 利用质心、重心公式计算（当且仅当积分区域所代表的图形是均匀的）： 例如： D D S x d x d ==????D x σσ（此公式是由质心公式变形得到的，使用此公式 的前提是已知积分区域的质心坐标） 四、 计算转动惯量（公式推导过程略去） 设一个平面区域D ，面密度为y)(x,μ，下面给出其相对于X,Y,Z 轴的转动惯量的计算的公式： ????==D x d y x y I σ μ),(d I 2D x ，????==D y d y x x I σμ),(d I 2 D y 同理也可得到空间区域Ω所代表的例题相对于X,Y,Z 轴的转动惯量分别为： ??????Ω Ω +==dv z y x z y x ),,()(z)dv y,(x,x d I 222μμ 其中d x ,d y ,d z 分别为点(x,y,z)到x,y,z 轴的距离。 五、 计算引力（推导过程略去，自个儿看书） 某薄片在平面Oxy 上所占区域为D ，面密度为),(y x μ，下面给出它对点（x 0,y 0,z 0）处单位质点（单位质量的质点）的引力计算公式：（任取D 上的小区域d σ，点M （x,y,z ）为d σ上任意一点） ??-=D r d x x y x G 3 0x ))(,(F σ μ，??-=D r d y y y x G 3 0y ))(,(F σ μ 四、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量（此过程不再叙述）。 1. 对弧长的曲线积分的定义 设函数f(x,y)在Oxy 平面的光滑曲线弧L 上有界，将L 分成任意的n 段，Δs i 表示小狐段本身又表示它的长度，点),(i i ηξ是Δs i 上任取的一点，令λ=max Δs i ,则定义第一类曲线积分： ∑? =→?=n i i i i s f ds y x f 0 0L ),(),(lim ηξλ，同时可定义在空间中的第一类曲线积 分：∑? =→Γ ?=n i i i i i s f ds z y x f 0 0),,(),,(lim ?ηξλ 2. 对弧长的曲线积分的性质 性质一 l d L =?s ，其中l 为弧长。 性质二（线性性质） 对弧长和差的积分等于积分的和差。 性质三（可加性） 将曲线弧分成n 段补充和的小弧段，则 性质四（单调性） 若在曲线弧L 上，f(x,y)≤g(x,y),则 ≤ ? L ),(ds y x f ?L ),(g ds y x ，特别?? ≤L L ds y x f ds y x f ),(),( 3. 对弧长的曲线积分的计算 对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。（变量参数化，小值做下限） 设函数f(x,y)在光滑曲线弧L 上连续，L 的参数方程为 x=)(t ?,y=)(t φ，)(βα≤≤t ，则对弧长的曲线积分? L ),(ds y x f 存在，且 ?? +=β α φ?φ?dt t t t t ds y x f )()())(),((f ),(2'2'L （α<β） 特别的，当曲线弧L 的方程为y=)x (?，(a ≤x ≤b)时，可以将x 看做参数，故 ?? +=b a dx x x x ds y x f )(1)(,(f ),(2'L ?? 同理也可写出将Y 看做参数的计算公式。 当曲线弧L 有极坐标方程))((βθαθ≤≤=r r 时，由极坐标与直角坐标的变换关系 定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+ 定积分计算方法总结 Final revision by standardization team on December 10, 2020. 定积分计算方法总结 一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法（反、对、幂、指、三） 8.降幂法 二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价无穷小 四、 定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则∫f (f )ff f f >=∫f (f )f f dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 当0 3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 定积分 1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的 计算形式为:0 1 ()l i m ()n b k k a k f x dx f x λξ→==?∑?, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与 积分限）． 2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b =介于之间与x 轴所围的面积的代数和; 3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()b a f x dx ?是x 在区间[],a b 中的该 经济总量． 4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到. （1）() ()b a a b f x dx f x dx =-??; （2）[]()()()()b b b a a a f x g x d x f x d x g x d x ±= ±? ??; （3）()()b b a a kf x dx k f x dx =??; （4）()()()b c b a a c f x d x f x d x f x d x = +???; （5）0 0()2() a a a f x f x dx f x dx f x -?? =?????为奇函数时（）（）为偶函数时. 1．公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则 ()()() b a f x d x F b F a =-?. 2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ?=在[],c d 上有连续的导数'() t ?, 且()t ?单调, 则有 () ()(())'()b d x t a c f x dx f t t dt ???=?? ? ． 3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有 ()()()()()()b b a a b u x dv x u x v x v x du x a =?-??. 1. =? __4 2 a π_____； 不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 第七章 矢量代数与空间解析几何 ★类型（一） 向量的运算 解题策略 1. a a a ?=，2.},,{321a a a a = ， .||232221a a a a ++= 3. 利用 点积、叉积、混合积的性质及几何意义. ★类型（二） 求直线方程 解题策略 首先考虑直线方程的点向式与一般式，否则再用其它形式. 类型（三） 直线点向式与参数式转化 类型（四） 异面直线 ★类型（五） 点到直线的距离、两直线的夹角 ★类型（六） 求平面方程 解题策略 平面方程的点法式、一般式、平面束. 类型（七） 直线与平面的位置 类型（八）求曲线与曲面方程 解题对策 一般用定义求曲线与曲面方程 疑难问题点拨 一般参数方程?? ???===Γ)()()(:t h z t g y t f x 绕Oz 轴旋转所成旋转曲面∑的方程 .)]}([{)]}([{212122z h g z h f y x --+=+ 证如图4-7， 设),,(z y x M 是曲面 上任意一点，而M 是由曲线Γ上某点),,(1111z y x M （对应的参数为t 1）绕Oz 轴旋转所得到。因此有).(),(),(111111t h z t g y t f x === ,1z z =,2 12122y x y x +=+),()(111z h t t h z -=?=? )]([)],([1111z h g y z h f x --==， 故所求旋转曲面方程为.)]}([{)]}([{212122z h g z h f y x --+=+ 特别地，若Γ绕Oz 轴旋转时，且Γ参数方程表示为???==). (),(z g y z f x 则 ).()(2222z g z f y x +=+ 事实上，由前面的证明过程可知),(),(1111z g y z f x ==1z z =，212122y x y x +=+ ),(),(11z g y z f x ==? 故).()(2222z g z f y x +=+ 图4-7 定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到 1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有 界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、 高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、 知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则， lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→ 三一文库（https://www.360docs.net/doc/0b6729873.html,）/总结 〔不定积分知识点总结〕 引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！ ▲不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数 的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数 的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ▲定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设及分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则 ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤ ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分 值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点 ( ab )外连续，而在点的邻域内无界，如果两个广义积分∫af(x)dx与∫bf(x)dx 都收敛，则定义∫af(x)dx=∫bf(x)dx ,否则 (只要其中一 高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 定积分 一．定积分的几何意义 ① ()0f x >时，()b a f x dx S =? ()0f x <时， ()b a f x dx S =-? ()f x 有正有负时， 1(), b a f x dx S =?2(), c b f x dx S =-? 3()d c f x dx S =? 面积和123()()()b c d a b c S S S f x dx f x dx f x dx ++=-+? ?? [()()]b a f x g x dx S -=? 二．定积分基本性质 ①当a b =时，()0b a f x dx =? . ②()()b b a a kf x dx k f x dx =? ? ③1212[()()()]()()()b b b b n n a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±???±=±±÷??±? ??? ④ 12 1 ()()()()n b c c b a a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++???+? ??? ⑤若奇函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则()0a a f x dx -=? ⑥若偶函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则0()2()a a a f x dx f x dx -=? ? 123()()()().d b c d a a b c f x dx f x dx f x dx f x dx S S S =++=-+? ? ?? 微分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且'()()F x f x =，则 ()() ()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? （牛顿—莱布尼兹公式） 1.直线0,,0x x y π===与曲线sin y x =所围成图形的面积用定积分表示为 2.用定积分表示抛物线2 23y x x =-+与直线3y x =+所围成图形的面积为 3.曲线2 1,2,0,0y x x x y =-===围成的阴影部分的面积用定积分表示为 4.由曲线24,4,0,0y x x x y =-===和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ） 4 2 .(4)A x dx -? 4 20 .|(4)|B x dx -? 420 .|4|C x dx -? 24 2202 .(4)(4)D x dx x dx -+-?? 5.计算下列定积分 （1）3 23 9x dx --? （2）1 21 44x dx --? 导数的应用及定积分 （一）导数及其应用 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 3．函数的导数 对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。 5．常见函数的导数 (x n )′＝__________.(1 x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________. (a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则： (f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，?? ?? f (x ) g (x )′＝___________________. （3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 6．函数的单调性 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导， (1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________． (2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________． 7．函数的极值 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。 五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法： 定积分知识总结 一、基本概念和性质 （1）定义 []()[]()) ()(lim ) ()()(,,,,0 max ...,) ()(lim lim )(11 11111101 1 -=∞ →-=----∞ →∞ →=∞ →-?-?=-?≈=→-∞→==-?=?∑∑∑∑?i i n i i n i i n i i i i i i i i i i i i i i i i i n i n n i n n i i b a n x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a x x f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：， 上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义： []dx x g dx x f dx x g x f a b b a b a b a b a ??+??=??+?-=????)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质 （ )()()(=??-=????a a a b b a dx x f dx x f dx x f ()）） （定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dx x f dx x f dx x f b c c a b a ,,,()()()(∈?+?=???? [][][][]????????≥≡=?≥?≥?≥≥?≥b a b a b a b a b a b a dx x g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dx x g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0 :0)(00:0)(0 )(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0 )(0)(,)(＞则： 不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][]) ()()(,,)() ()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dx x f dx x f b a x f b a b a b a b a -?=?∈-≤?≤-∈≤≤?≤???? ?ξξ，使得： 点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理） 均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则 在⑦若 二、微积分基本公式 1、积分上限函数及其导数 定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分?x a dt t f )(和x 对应，因此?x a dt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记 为 ?=Φx a dt t f x )()(，],[b a x ∈. 称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.定积分的方法总结
定积分计算方法总结
专题13定积分与微积分基本定理知识点
(整理)数学定积分知识总结
不定积分解题方法及技巧总结
高中数学定积分知识点
微积分2方法总结
定积分知识点总结
微积分上重要知识点总结
微积分知识点归纳
不定积分知识点总结
高中数学导数与积分知识点
定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx
定积分知识点汇总(新、选)
导数及定积分知识点的总结及练习(经典)
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
大学微积分1方法总结
定积分知识总结