高等数学第七章微分方程习题

第七章

微分方程与差分方程

习题7－1（A ）

1． 说出下列微分方程的阶数：

;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x

.0)32()67()3(=++-dy y x dx y x

2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2;

02)1(==+'-''

)(2;

0)()2(2为任意常数C x

x C y xdy dx y x -==++

),(cos sin ;

0)

3(212122

2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+

)(ln ;

02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+

3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5,

)1(0

22==-=x y

C y x ;1,0,)()2(0

221='

=+===x x x y y

e x C C y .

0,1,

)(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y

4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

点横坐标的平方。

处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x

轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2(

习题7－1（B ）

1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ;

1)()1(22=+-y C x .

)2(21x x e C e C xy -+=

2．用微分方程表示下列物理问题：

平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1(

。

速度成反比（比例系数同时阻力与，

成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m

习题7－2（A ）

1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;

)()3(2y y a y x y '+='-'

;10)

4(y x dx

dy

+=

;

11)5(2

2

x y y --='

;

1)

6(2x

y x dx dy -=

;

63)7(32

22y

x y y x x dx dy --=

;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;

0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .

0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x

2．求解下列初值问题： ;0,)1(02=

='=-x y x y

e y

;4

,cos cos sin cos )2(0π

=

==x y dy

dx

x

y y x

;0,ln sin )3(2

=='=

π

x y

y y x y .

1,

)1()4(1

=='+=x x x y

e y y e

平分，求这曲线方程。

意切线线段均被切点所，它在两坐标轴间的任一曲线过点)3,2(.3方程。

斜率的两倍，求这曲线到该切点的连线的

的切线斜率等于自原点，且在曲线上任何一点一曲线过点)3

1

,1(.4

习题7－2（B ）

及流完所需的时间。

求水面高度变化的规律，的孔漏斗下面有面积为，顶角为斗，高为有一盛满水的圆锥形漏2)(5.0,60)(10.1m c cm o

后的速度是多少？

运动开始经过了一分钟，问从达因，外力为时速度等于秒速度成反比；在，和质点运动的，这外力和时间成正比线运动的质点受外力作用作直克质量为)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ?= 的函数关系。与时间的一半，试求镭的量年后，只余原始量镭经过由经验材料得知，，成正比存量镭的衰变速度与它的现：镭的衰变有如下的规律t R R R 01600.3

间变化的规律。

成正比，试求船速随时知阻力和速度秒后速度减至一半，已，初速开始运动的船以5)/(6.40s m v =

间的函数关系。

在上升过程中速度与时，试求为常数竖直上抛，空气阻力为的物体在空气中以速度设将质量为)(.50k kv v m

，求这曲线方程。倍矩形面积的

的坐标面积等于同底而高为纵为底构成的曲边梯形的，它以一曲线过点)1(1

],[),2(.6>m m

y x a b a

.

)(,)()

1()()(.70

x y dx x y x x dx x y x

x y x x 求且满足

是一个连续可微函数，设?

?

+=

习题7－3（A ）

1． 求下列齐次方程的通解： ;)ln (ln )1(x y y y x -=' ;

0)2(22=--

-'x y y y x ;

0)()3(22=-+xydy dx y x ;

0)2()4(=+-xdy dx y xy ;

)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=

.03)32()6(=-+dy x

y

ch x dx x y ch y x y sh

x

2．求解下列初值问题：

;

0)1(,0cos )cos ()1(==-+y dy x

y

x dx x y y x

.

2)1(,)2(=+=

'y x

y y x

y

3． 求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。

4． 求一曲线方程，使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距恰好等于原点O 到

该点的距离。

习题7－3（B ）

1． 求下列齐次方程的通解或特解：

;1)2

1()1(='-y y

x

;0)1(2)21()2(=-

++dy y

x

e dx e y

x y

x

;

1,

02)3()3(022==+-=x y xydx dy x y

.

1,

0)2()2()4(12222==-++-+=x y dy x xy y dx y xy x

2*．化下列方程为齐次方程，并求出通解：

.

0)433()()4(;0)337()773()3(;0)14()1()2(;0)642()352()1(=--++=+-++-=-+---=-+-+-dy y x dx y x dy x y dx x y dy x y dx y x dy y x dx y x

习题7－4（A ）

1． 求下列微分方程的通解： ;)

1(x e y dx

dy

-=+

;cos )2(sin x e x y y -=+' ;

)1()3(2x e y x y x =-+'

;

02sin tan )4(=-+'x x y y

;

0cos 2)1()5(2=-+'-x xy y x .)2(2)

2()6(3-+=-x y dx

dy

x

2． 求解下列初值问题：

;1,sin )1(==+=πx y x

x x y dx dy

;0,sec tan )

2(0==-=x y x x y dx

dy

;

4,5cot )3(2

cos -==+'=

π

x x y

e x y y

;2,83)

4(0==+=θρρθ

ρ

d d

.

0,132)5(1

32==-+=x y y x

x dx dy

3． 求通过原点且在任一点 (x , y ) 处的切线斜率等于 2 x + y 的.曲线方程。

4． 一门课程结束后，学生学到的知识开始慢慢忘记，假设学生忘记其所学知识的速率

与他们当时还记得的知识与某一常数 a 之间的差成正比（比例系数设为 k ）

（1） 设 y (t ) 为课程结束 t 星期后仍被学生记得的那部分知识的多少，试建立关 于y (t ) 的微分方程；

（2） 设课程结束时学生学到的知识的量为 1 （即 100％），解此微分方程； （3） 试解释在解中的两个常数 a 和 k 的实际意义。

5． 求下列伯努利方程的通解：

;)sin (cos )

1(2x x y y dx

dy

-=+

;3)

2(2xy xy dx

dy

=- ;4)3(y x x

y

y =-'

;)21(3

1

3)

4(4y x y dx dy -=+

.

0)]ln 1([)5(3=++-dx x xy y dy x

习题7－4（B ）

1． 求下列微分方程的通解：

;1)

2()1(=+dx

dy

y x

;

02)6()2(2=+'-y y x y ;

ln 2)3(x

y y y y

y -+=

'

;

0)ln (ln )4(=-+dy y x dx y y

.

0)arctan ()1()5(2=-++dy y x dx y

2． 求解下列初值问题：

;0,1)2()1(2==-'=x y y x e y

;1,0cos 1)2(2==+-

'=πx y y x

x y x y ;

0,

0)1()1()3(12==+=-+=x y y dy e y dy x dx y

.

0,

0)cos 1()1()4(2

22==+-++=x y

dy y y xy dx y

.

)(],0[)()(1)0()0()(.3x f x x f y x x x x f y f x x f y 求上的一段弧长值相等，在面积值与的垂线所围成的图形的点与轴上过原点轴及，，已知曲线连续可微，且设===≥=

的函数关系。与时间量度流出，求桶内所含盐升的速以每分钟定搅拌均匀后的混合物升的流速注入桶内，假的盐溶液并以每分钟公斤公斤，现用浓度为每升升含溶解盐升盐溶液，其浓度为每一圆柱形桶内有t x 445.1140.4

关系。

数运动的速度与时间的函）的阻力作用，求质点数为与速度成正比（比例系还受一个）的力作用于它，此外成正比（比例系数为方向一致、大小与时间有一个与运动速度等于零的时刻起，的质点作直线运动，从设有一质量为21.5k k m

6．用适当的变量代换将下列方程化为已知类型，然后求出通解：

;)()

1(2y x dx

dy

+= ;11)

2(+-=y

x dx dy

;

)ln (ln )3(x y y y y x +=+'

;1)4(2x e x

y e y

y =+

' ;1cos sin 2sin )1(sin 2)5(22+--+-+='x x x x y y y

;0)cos 1(cos sin ln )6(=-+?'y x y y x y x

7． 验证形如 0)()(=+dy xy g x dx xy f y 的微分方程，可经变量代换 xy v = 化为

可分离变量的方程，并求其通解。

.)(,3)()(.8230

x f e t d t f x f x f x x 求满足已知连续函数+??

?

??=

?

.)(,1)()()()(.91

3

x f x f dx x

x f x x f x f x

试求满足

设可微函数-=+?

为任意常数）。

（其中必为该方程的通解证明：

的两个不相同的特解，是微分方程设C x y C x y C y x Q y x P y x y x y )()1()()()()(,)(.1021121-+==+'

为常数）。

（：

的三个相异的解，证明是微分方程设C C x y x y x y x y x Q y x P y x y x y x y =--=+')

()()

()()()()(,)(,)(.111213321

习题7－5（A ）

1．求下列微分方程的通解：

;)1(x e x y =''' ;

11

)2(2

x y +=

'' ;

0)3(='-''y y x ;

)4(x y y +'=''

;

)(1)5(2y y '+='' ;44)6(y x y y ''=''+' ;

1)7(2+='+''x y y x .ln

4)8(x

y y y ''=''

2． 求下列微分方程的通解：

;01)1(3=-''y y ;

)()2(3y y y '+'=''

;

1)3(y

y =

''

.

0)()4(2='+'-''y y y y

3． 求解下列初值问题：

;

0,)1(111=''='=='''===x x x ax y y y e y

;1,0,0)1()2(002='=='-''-==x x y y y x y x

;0,1,01)3(113='==+''==x x y y y y

;1,0,0)()4(002-='=='-''==x x y y y a y

;

0,)5(002='==''==x x y y y e y

.

1,1,2)6(0022-='=+'=''==x x y y y y y y

相切的积分曲线。且在此点与直线的经过点试求12

)1,0(.4+=

=''x

y M x y

习题7－5（B ）

1． 求下列微分方程的通解：

;

)1(y y ''=''' ;

0)()2()4(2=''-'''y y y

.

)(,)()()(2

1)(),0[)(.20

x y t d t y t y t x x x y x y x 求满足

上的连续可导函数，且是设?

'-+-=∞+

.

)(,)(1

))(,()(,0.30

x f t d t f x

y x f x x f y x x 求轴上的截距等于

处的切线在上点曲线设对任意?

=>

的函数关系。

与时间，试求物体下落的距离为物体运动的速度为常数，其中阻力为

止开始落下，如果空气的物体，在空气中由静设有一质量为t s v c v c R m )(.422=

习题7－6（A ）

1． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？

;

2,)1(x x ;

,)2(2x x ;

3,)3(22x x e e ;

,)4(x x e e -

;cos sin ,2sin )5(x x x .

2sin ,2cos )6(x x

。

试写出该方程的通解无关，的解，并说明是否线性都是方程及验证0sin cos .2221=+''==y y x y x y ωωω

。

程的通解线性无关，试写出该方的解，并说明是否

都是方程及验证0)24(4.32212

2=-+'-''==y x y x y xe y e y x

x

的通解。

是方程

是任意常数、验证x

x

x x e y y y C C e e C e C y 521522123)(12

1.4=+'-''+

+= 的通解。

是方程

是任意常数、验证x x y y x y x C C x x x C x C y ln 53)(ln 9

.522212

25

1=-'-''-+= 的通解。

是方程

是任意常数、、、验证2

)

4(432124321)(sin cos .6x

y y

C C C C x x C x C e C e C y x x =--+++=-

习题7－6（B ）

。

方程的解为任意常数）也是所给、（：函数的解，证明分方程

都是二阶非齐次线性微函数已知三个线性无关的213212211321)()1()()()()()()(,)(,)(.1C C x y C C x y C x y C x f y x q y x p y x y x y x y --++=+'+'' 的通解。

的一个特解，求此方程是方程已知0)(.221=-'+''=y y x y x x x y 通解。的一个解，求此方程的是方程已知02)12()12()(.31=+'+-''-=y y x y x e x y x

的通解。

方程求非齐次线性

的通解为已知齐次线性方程x y y x C x C x Y y y sec ,sin cos )(0.421=+''+==+''

的通解。

线性方程求非齐次的通解为已知齐次线性方程x y y x y x x x C x C x Y y y x y x =+'-''+==+'-''2

212,ln )(0.5

)

()()()

()

(1

)

()(0)()()()(.6121)()

(2

1121x y x C x y x y dx e

x y

x y x y y x c y x b y x a x y dx

x a x b ===+'+''?-

?设：提示式称为刘维尔公式）。线性无关的解（上述公是该方程的另一个与：常数变易法证明的一个非零解，试用程是二阶齐次线性微分方已知

习题7－7（A ）

1． 求下列微分方程的通解： ;02)1(=-'+''y y y ;04)2(='-''y y

;

0)3(=+''y y ;

0136)4(=+'+''y y y ;

09)5(=-''y y

;069)6(=+'+''y y y

;02520

4)7(2

2=+-x dt

dx

dt

x d

.03)

8(2

2=+y dt y d

2． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

;10,6,034)1(00='==+'-''==x x y y y y y ;0,2,044)2(00='==+'+''==x x y y y y y ;5,0,043)3(00-='==-'-''==x x y y y y y ;

15,0,0294)4(00='==+'+''==x x y y y y y

;

5,2,

025)5(00='==+''==x x y y y y

.

3,0,

0134)6(00='==+'-''==x x y y y y y

习题7－7（B ）

1． 求下列微分方程的通解：

;

0)1(=+'-''-'''y y y y ;08)2(=+'''y y

;

0)3()4(=-y y

;02)4()4(=+''+y y y ;02)5()4(=''+'''-y y y .

0365)6()4(=-''+y y y

3．试作一个三阶常系数齐次线性微分方程，使它的特解为 .,x e x

4．试作一个四阶常系数齐次线性微分方程，使它的特解为 .sin 6,cos ,4,x x e x e x x 所围成的图形的面积。

与求曲线，满足下列条件：若函数4

,0)()(,

0)0(,0)0(,)()()()()(,)(.5π

===≠='-=='x y x g x f y g f x g x f x g x f x g x f .)()(,0)0(0)()()()(x g x f f x f x f x f x f 与解出，且，即由题意，提示：==+''-=''

习题7－8（A ）

1． 求下列微分方程的通解：

;22)1(x e y y y =-'+''

;

)2(2x e y a y =+''

;12552)3(2--='+''x x y y ;323)4(x e x y y y -=+'+'' ;

2345)5(x y y y -=+'+'' .

)1(96)6(3+=+'-''x e y y y x

2． 求下列微分方程的通解：

;

sin 67)1(x y y y =+'-'' ;

cos 4)

2(2

2t t x t d x d =+

;sin 23)3(x e y y y x -=+'+'' ;2sin 52)4(x e y y y x =+'-'' .

cos sin 104)5(x x y y =+''

3． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

;

2)0(,1)0(,523)1(='==+'-''y y y y y ;3

2

)0(,91)0(,432)2(='=

=-'+''y y x y y y

;1)0(,0)0(,

4)3(='==-''y y e x y y x

;0)0(,1)0(,44)4(2='==+'+''-y y e y y y x ;

1)(,1)(,

02sin )5(='==++''ππy y x y y ;1)0(,1)0(,cos 2

1

)6(='==+''y y x y y ;0)0()0(,sin 23)7(='==+'+''y y x y y y .

1)0(,0)0(,

sin )8(='==+''y y x x y y

习题7－8（B ）

1． 求下列微分方程的通解：

;sin )1(2x y y =-'' ;

sin 2)2(2x y y ='+''

;cos )3(x e y y x +=+'' ;

522)4(x e y y y +=+'-''

;51332)5(x x y y y ++=-'-'' .

)(844)6(22x e x y y y +=+'-''

2． 求下列微分方程的通解： ;263)1(+-='-'''x y y

;

sin )2(x y y =-''' 数所满足的微分方程。

为任意常数，试求此函其中已知函数b a x be ae y x x ,,1.3-++=-解，求此微分方程。

的三个是某二阶线性微分方程已知x x x x x x x e e e x y e e x y e e x y ---+=+=+=23221,,.4.)(,)()()()(.50

x f t d t f x t e x f x f x x 求满足

设连续函数?

-+

=

的函数关系。

与时间），求潜水艇下降深度（比例系数为力与下降速度成正比状态开始下降，所受阻的潜水艇从水面由静止一质量为t x k m .6

长的重量。

若摩擦力为链条生的摩擦力；若不计钉子对链条所产滑下来所需要的时间：以下两种情况下求链条，分别在，另一端离开钉子，起动时一端离开钉子一链条悬挂在一钉子上)(1)2()1()(12)(8.7m m m

习题7－9（A ）

1． 求下列微分方程的通解： ;0)1(2=-'+''y y x y x ;

039)2(2=+'+''y y x y x ;2

)3(2x x

y x y y =+'-

''

;

4)4(32x y y x y x =-'+''

;ln 2ln 22)5(22x x y y x y x -=+'-''

;

)(ln sin 4)6(2x x y y x y x =+'-''

习题7－9（B ）

1． 求下列微分方程的通解： ;

222)1(22+=+'-''x y y x y x

;ln 43)2(22x x x y y x y x +=+'-'' ;0223)3(23=+'-''+'''y y x y x y x ;

3ln 22)4(23x x x y y x y x +=-'+'''

的微分方程。化为关于将微分方程

利用变换t y e dx

dy

dx y d t x x 0,ln .222

2=+-

= 并求方程的通解。

的微分方程，

化为关于将微分方程利用变换t y dx

dy

x

dx y d x t x 0)1(,sin .32

22

=---= .cos 3sin 2cos ,cos )(.4x e x y x y x y x y x u =+'-''=求解微分方程令

习题7－10（A ）

1．下列等式哪些是差分方程：

;

2)1(x y y x x +=? ;

33)2(x x x a y y +=?-

;

2)3(122x x x x y y y y +-=?++ .

432)4(21=+---x x x y y y

2．下列差分方程中哪些是二阶的： ;

234)1(12x x x x y y y =++++ ;

3)2(12x y y x x =-++

;

34)3(1=-+x x y y .

3)4(22x y y x x +=?

3．求下列函数的差分：

;)1(为常数）（C C y x = ;)2(2x y x = ;)3(x x a y =

;

log )4(y y a x = ;

sin )5(ax y x = ;

)6(x y x =

4．证明下列各等式：

;

)()1(1x x x x x x u v v u v u ?+?=?+ .)(

)2(1

+?-?=?x x x

x x x x x v v v u u v v u

的解。是差分方程求证：

的解，分别是下列差分方程、、设)()()()(,)(,)(.53211312111x f x f x f y a y U Z Y z x f y a y x f y a y x f y a y U Z Y x x x x x x x x x x x x x x x ++=+++==+=+=+++++

6．求下列差分方程的通解及特解： ;3

7,35)1(01=

=-+y y y x x ;

2,2)2(01==++y y y x x x

;

1,124)3(021=-+=++y x x y y x x

;3,6,94

7

3)4(1012===-

+++y y y y y x x x ;

1,0,0164)5(101

2===+-++y y y y y x x x ;

2,2,022)6(1012===+-++y y y y y x x x

7．设某产品在时期 t 的价格、总供给与总需求分别为 ，、、t t t D S P 并设对于 ,,2,1,0 =t

有 t t t t t t D S P D P S =+-=+=-)3(5

4)2(12)1(1 (I) 求证：由 (1)、(2)、(3) 可推出差分方程 ;221=++t t P P (II)已知 P 0 时，求上述方程的解。

总习题七

一、选择题

程。

它们都不是线性微分方）是线性微分方程；方程（）是线性微分方程；方程（）是线性微分方程；方程（则设有微分方程)(3)(2)(1)(.0)2()3(;

cos )2(;)()()1(.122D C B A dy x xy y dx y x y dx

dy

y b y a k dx dy =-+-+=--=

不一定是该方程的解。是该方程的特解；；是该方程的解是该方程的通解；为任意常数、其中则的两个特解，

程是二阶齐次线性微分方和若)()()()(.

)()(0)()(.221221121D C B A C C y C y C y y x q y x p y y y +==+'+''

.

)1()(;

)1()(;)()(;

)()()()()(,)(,)(.33212211321221132122113221121321y C C y C y C D y C C y C y C C y C C y C y C B y y C y C A C C x f y x q y x p y x y x y x y --++---++-+++=+'+''次方程的通解是为任意常数，则该非齐、的解，分方程都是二阶非齐次线性微函数设线性无关的

.

)()()()(,1.4bx axe D bx ae C b axe B b ae A b a e y y x

x x

x

x +++++=-''；；

；

为常数）（式中的一个特解应具有形式微分方程

.

82)(;

82)(;023)(;023)()(82.5112112=--=-=+-=+-+=++--++x x x x x x x x x x x x y y D y y C y y y B y y y A A y 。

的通解是差分方程函数

二、填空题 ._________________0.123

的通解是微分方程=++dy y dx e x

y

._________________cos tan .2的通解是微分方程x x y y =-' ._________________052.3的通解是微分方程=+'+''y y y .

_________________05102.41的通解是差分方程=-++t y y t t

.

_____________________,,1.52通解是方程的分方程的三个解，则该是某二阶非齐次线性微已知x y x y y ===

三、计算题

1． 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程： ;)(1)()1(22为任意常数C y C x =++

;

),()2(21221为任意常数C C e C e C y x x +=

2． 判别下列一阶微分方程属于哪种类型（写出两种），并选择一种较简单的求出其通解： ;0)1(=+-'-x y x e e y ;

)2(22y xy y x =+'

;

0)()3(=-+dy e x dx y y

;0)cos 2()1()4(2=-+-dx x xy dy x

;

0)32()5(232=++dx xy dy y y x

;2)6(xy y y x =+'

3． 判别下列二阶微分方程的类型，并求出其通解： ;)1(2x y y x +'='' ;01)2(2=-'-''y y y ;

)3(2x y y ='+''

;0)4(2=+'-

''x

y

x y y ;

432)5(x y y y =-'+''

4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

;0)1(,)

(ln 2)

1(=-=y x y y

dx dy ;1)0(,0)

2(33==-+y y x xy dx

dy

;

1)0(,)3(2=+=

+'y y x x y

;

1)0(,0)(2)4(223==-+y dy xy x dx y

;

1)0(,2

)0(;,02sin 2)5(='==-''y y y y π

;2

3)0(,0)(,

cos 2)6(=

'==+'+''y x y x y y y

.)()()(),()(.5x f x x f x x f x x f ，求满足对任意设连续可微函数=-'+'+∞-∞∈

.)(1)(2

1

)()(.610

x f x f du ux f x f ，求满足设连续函数+=

?

.)(,)()(sin )(.70

x f f t d t f t x x x f x 求为连续函数，其中设?

--

=

，求这曲线方程。

的切线方程为此曲线上的点处的曲率为其上任意一点是一上凸的连续曲线，设1)1,0(,

11),()(.82

+='

+=x y y y x x y y

线方程。

的乘积成正比，求这曲与坐标扇形面积和这动点的极的向径围成的及动点定点给出的曲线与它上面一由θρθρθρθρρ),(),()(.900=

。

动，求火车的运动方程）设火车由静止开始运是火车的速度常数，为（，，运行时的阻力为机车的牵引力为，重量为火车沿水平轨道运行，v P f b a bv a R f P ,,,.10+=

.

)()(010sin 12)(002.0,1,20.11t I t Q V

t t E F C H L R 和电流，求电路中电量，若初始电量和电流为的电源串联成一个回路和一个电动势为电容电感设由电阻===Ω=