数列中的存在性问题 经典

专题：数列中的存在性问题

一、单存在性变量

解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{

n

a }的前n 项和为

n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n

b b +-=0，问是

否存在常数c 使得对任意n ，

log n c n

a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由.

解析：假设存在常数c 使得对任意n ，

log n c n

a b +恒为常数M ，

∵n S =235n n

+，

∴当n =1时，则

1a =

1

S =8，

当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，

当n =1适合， ∴

n a =62

n +，

又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164，

∴数列{n b

}是首项为8，公比为1

64的等比数列， ∴n

b =

118(

)64n -=962n -，

则

log n c n a b +=

9662log 2n c n -++=

62(96)log 2a n n ++-=

6(1log 2)29log 2

a a n -++，

又∵对任意n ，log n c n

a b +恒为常数M ，

∴

6(1log 2)

a -=0，解得c =2，

∴M =

29log 2

a +=11，

∴存在常数c =2使得对任意n ，

log n c n

a b +恒为常数M =11.

二、双存在型变量

解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进

行检验。

例2、【2010南通一模】

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；

（2）设数列{}n b 的通项公式为n

n n a b a t

=

+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，

(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d. 由已知得51323439a a a +=??

=?，， ………………2分 即118173a d a d +=??

+=?，，解得112.a d =??=?，

……………………………………………………………4分.

故2

21n n a n S n =-=，.…………………………………………………………………6分

（2）由（1）知

21

21n n b n t -=

-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即

312123121m t t m t -?=+

++-+，………………………………………………………………8分. （3）整理得

4

31m t =+

-，…………………………………………………………… 11分

因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.

当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.

故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ……………………………… 15分

例3、设数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，数列{}n b 满足

*()n

n n a b m N a m

=

∈+.

（Ⅰ）若

128

,,b b b 成等比数列，试求m 的值；

（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列？若存在，

请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）因为2

n S n =，所以当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-……………………3分

又当1n =时，

111

a S ==，适合上式，所以

21

n a n =-（*

n N ∈）…………………4分

所以

2121n n b n m -=

-+，则1281315

,,1315b b b m m m ===+++，由2

218b b b =，

得23115(

)3115m m m =?

+++，解得0m =（舍）或9m =，所以9m =………………7分 （Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则

712127121t m m t m -?

=+

++-+，化简得

36

75t m =+-…………………………………12分 所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意， 即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ………………………………………14分

例4、【2010徐州三模】

已知数列{}n a 是各项均不为

0的等差数列，

n

S 为其前n 项和，且满足

221

n n a S -=，令

1

1

n n n b a a +=

?，数列

{}n b 的前n 项和为n T .

（1）求数列

{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；

（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）因为{}n a 是等差数列，由

2

12121()(21)

(21)2n n n n

a a n a S n a --+-==

=-，

又因为

0n a ≠，所以

21

n a n =-，………………………………………………………2分

由

111111

()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +=

==--+-+

所以

111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=

-++L ．……………………………6分 (2)由(1)知，

21n n T n =

+， 所以11,,32121m n m n

T T T m n ===

++，

若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21

321m n

m n =++，即2244163m n m m n =+++．……8分 解法一：由22

44163m n m m n =+++，可得223241

m m n m -++=，

所以2

2410m m -++>， ……………………………………………………………12分

从而：

11m <<+，又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．

故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n T 中的1,,m n T T T

成等比数列。…………16分

解法二：因为11

36366n n n =<

++，故22

14416m m m <++，即

22410m m --<，………12分

从而：

1122m -

<<+，（以下同上）．

三、三个存在型变量------连续的

解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。

例5、【扬州2010一模】

已知数列

{}

n a ，

(0,0,,,0,*)

n n n a p q p q p q R n N λλλ=+>>≠∈≠∈.

⑴求证：数列1{}

n n a pa +-为等比数列；

⑵数列{}

n a 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；

⑶设

{(,)|3,*}

n n n n A n b b k n N ==+∈，其中k 为常数，且k N *

∈，

{(,)|5,*}

n n n B n c c n N ==∈，求A ∩B.

解：⑴∵n a =n n p q λ+，∴111()()n n n n n n n a pa p q p p q q q p λλλ+++-=+-+=-，

∵0,0,q p q λ≠>≠∴21

1n n n n a pa q

a pa +++-=-为常数

∴数列

1{}n n a pa +-为等比数列------------------------------------------------------------4分

⑵取数列{}

n a 的连续三项

12,,(1,)

n n n a a a n n N *++≥∈，

∵

21

1222212()()()()n n n n n n n n n n n a a a p

q p q p q p q p q λλλλ++++++-=+-++=--，

0,0,,0p q p q λ>>≠≠Q ，∴2()0n n p q p q λ--≠，即2

12n n n a a a ++≠，

∴数列

{}

n a 中不存在连续三项构成等比数列； ------------------------------------------9分

⑶当1k =时，3315n n n n

k +=+<，此时B C =?I ；

当3k =时，33323n n n n n

k +=+=?为偶数；而5n 为奇数，此时B C =?I ；

当5k ≥时，35n n n

k +>，此时B C =?I ；----------------------------------------------12分

当2k =时，325n n n

+=，发现1n =符合要求， 下面证明唯一性（即只有1n =符合要求）。

由325n n n

+=得32()()155n n

+=，

设

32()()()55x x f x =+，则32()()()55x x

f x =+是R 上的减函数， ∴ ()1f x =的解只有一个

从而当且仅当1n =时32

()()155n n +=，即325n n n

+=，此时{(1,5)}B C =I ；

当4k =时，345n

n

n

+=，发现2n =符合要求， 下面同理可证明唯一性（即只有2n =符合要求）。

从而当且仅当2n =时34

()()155n n +=，即345n n n

+=，此时{(2,25)}B C =I ；

综上，当1k =，3k =或5k ≥时，B C =?I ； 当2k =时，{(1,5)}B C =I ，

当4k =时，{(2,25)}B C =I 。 ------------------------------16分

四、三个存在型变量------不同的

解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项……，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。

具体的，该类问题可以分成三类。

其一，等差中找等比（无理有理找矛盾） 例6、【扬州2010三模】

已知数列{}n a 满足：2

12

1+,4=12+,2n n n+a n a a a n ????

???为偶数为奇数,-,

（*,,n N a R a ∈∈为常数），

数列{}

n b 中，

221

n n b a -=。

⑴求

123

,,a a a ；

⑵证明：数列{}n b 为等差数列；

⑶求证：数列

{}

n b 中存在三项构成等比数列时，a 为有理数。

解：⑴由已知

11122a a a =-+

，得11

2a a =-，

2111

44

a a a =+

=-，

32122a a a a =-+

=。 ……… ……………………4分

⑵

2212121

22n n n b a a a --==-+

，

22212221211212222211113

22()212()1224242

n n n n n n n b a a a a a a a a a a a ++--+-==-+=+-+=-+=+-+=-+

∴

11

n n b b +-=，又

13b a a

==，

∴数列

{}

n b 是首项为a ，公差为1的等差数列。……………………………………9分

⑶证明：由⑵知

1

n b a n =+-， ……………………………………………10分

若三个不同的项,,a i a j a k +++成等比数列，i 、j 、k 为非负整数，且i j k <<，则

2()()()a i a j a k +=++，得2(2)a i k j j ik +-=-， ……………………………12分

若20i k j +-=，则20j ik -=，得i =j =k ，这与i j k <<矛盾。 …………14分

若20i k j +-≠，则

22j ik a i k j -=

+-， ∵i 、j 、k 为非负整数，

∴a 是有理数。………………………………………………………………16分

例7、等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项an 与前n 项和Sn ；

(2)设bn ＝Sn

n (n ∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

(1)解：由已知得???

a1＝2＋1，

3a1＋3d ＝9＋32，

∴d ＝2，

故an ＝2n －1＋2，Sn ＝n(n ＋2)．

(2)证明：由(1)得bn ＝Sn

n ＝n ＋ 2.

假设数列{bn}中存在三项bp 、bq 、br(p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则r p q b b b =2

即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q2－pr)＋(2q －p －r)2＝0. ∵p ，q ，r ∈N*，

∴?????

q2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，

∴

???

?p ＋r 22＝pr ，(p －r)2＝0， ∴p ＝r.这与p ≠r 相矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾）；

例8、【无锡市2010年秋学期高三期末考试】

由部分自然数构成如图的数表，用

()

ij a i j ≥表示第i 行第j 个数（*

,i j N ∈），使

1i ii a a i

==，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第

*()n n N ∈行中各数之和为

n

b 。

（1）求6b ； （2）用

n

b 表示

1

n b +；

（3）试问：数列

{}n b 中是否存在不同的三项

p

b ，

q

b ，

r

b （*

,,p q r N ∈）恰好成等差数

列？若存在，求出p ，q ，r 的关系；若不存在，请说明理由。

（1）

694

b =……………………………………………………………………2分

（2）1(1)1(1)2(1)(1)

...n n n n n b a a a +++++=+++

12(1)1()...()1

n n n n nn n a a a a n -=+++++++

122(...)2

n n nn a a a =++++

=

22

n b +；……………………………………………………………………6分

（3）∵122

n n b b +=+，∴

122(2)

n n b b ++=+……………………………8分

所以{2}n b +是以

123

b +=为首项，2为公比的等比数列，………………9分

则

1123232 2.

n n n n b b --+=??=?-…………………………………………11分

若数列

{}

n b 中存在不同的三项

*,,(,,)

p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列，

不妨设p q r >>，显然{}

n b 是递增数列，则2q p r b b b =+…………………12分

即2

111

2(322)(322)(322)q p r ---?-=?-+?-，化简得： 2221q r p r --?=+………………………………（*）…………………………14分

由于*,,p q r N ∈，且p q r >>，知q r -≥1，p r -≥2，

所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，

故数列

{}

n b 中不存在不同的三项

*,,(,,)

p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数

列。………………………………………………………………………………………16分

例9、【2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】

已知数列{a n }的通项公式为a n = 2?3n + 2

3n – 1(n ?N ?). ⑴求数列{a n }的最大项；

⑵设b n = a n + p

a n

– 2，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；

⑶设*

,,,N m n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.

解 ⑴由题意a n = 2 + 4

3n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 4

3n – 1 + p 43n – 1

= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )

4

，若{b n }为等比数列， 则b 2

n +1 – b n b n +2= 0(n ?N ? )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ?N ?)， 化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ……………………………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m m a =+

-，4231n n a =+-，4

231

p p

a =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+，所以42(2)31

n +-=4231m +-4

231p

++-，…………12分

化简得3(23

31)1323n

p n p m p m n m ----?--=+-?（*），

因为*

,,,N m n p m n p ∈<<，

所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，

所以13333p m p n p n --+-≥=?，13333p m n m n m --+-≥=?，（*） 左边3(23

331)3(31)0n

p n

p n n p n ---≤?-?-=--<，

右边13323130n m n m n m ---≥+?-?=+>，所以（*）式不可能成立，

故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列. ……………16分

例10、【无锡市2011一模】

已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21n n n a a n a +==+L

．

（1）求证：数列11n

a ??

-????为等比数列； （2） 记

12111n n

S a a a =

++L ，若

100

n S <，求最大的正整数n ．

（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列，且1,1,1

m s n a a a ---成等比

数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵

112133n n

a a +=+，∴

1111133

n n a a +-=-，………………………2分

且∵1110a -≠，∴110()*N n n a -≠∈， ……………………………3分

∴数列11n

a ??

-????为等比数列．…………………………………4分 （2）由（1）可求得11211()33n n a --=?，∴11

2()13n n a =?+．…………… 5分

2121111112()333n n n S n a a a =+++=++++L L 1

11

133211313n n n n +-=+?=+--，…7分

若

100

n S <，则

1

11003n n +-

<，∴max 99n =．………………………………9分

（3）假设存在，则

2

2,(1)(1)(1)m n s m n s a a a +=-?-=-， ……………………10分

∵332n n n a =+，∴2

333(1)(1)(1)323232n m s

n m s -?-=-+++．……………………12分

化简得：3323m

n

s

+=?，………………………………………………………13分

∵33223m

n

s +≥=?，当且仅当m n =时等号成立．…………………15分

又,,m n s 互不相等，∴不存在．………………………………………………16分

其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等”，从而找出矛盾，说明不存在。 例11、【2012上海一联】 设等比数列}

{n a 的前n 项和为

n

S ，已知*

122()n n a S n N +=+∈

(1)求数列}

{n a 的通项公式；

(2)在

n

a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为

n

d 的等差数列(如：在

1

a 与2a 之间插入

1个数构成第一个等差数列，其公差为1

d ；在

2

a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公

差为

2

d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是

n

A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得

()n n

A g n d =对任意*

n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；

(3)对于(2)中的数列

123n d d d d L L

，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项

m k p

d d d ，，(其中正整

数m

k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由. 解：(1)设

1

1n n a a q -=，由

)(22*1

N n S a n n ∈+=+知，112

1

1122

2()2a q a a q a a q =+??=++?，………2分

解得

{

123

a q ==， ∴

1

23n n a -=?…………………………………………………………4分

(2)依题意，1123234311n n n n d n n --?-??==++；11

(2323)(2)4(2)32n n n n n A n --?+?+==+?

要使

()n n

A g n d =，则

1

1

434(2)3

()1n n n g n n --?+?=?

+，…………………………………8分

∴2()(2)(1)32g n n n n n =+?+=++，即存在

2

()32g n n n =++满足条件；………10分 (3)对于(2)中的数列{}n d ，若存在不同的三项

m k p

d d d ，，(其中正整数m

k p ，，成等差数列)成等比数列，则2k m p d d d =，即111

2434343()1

11k m p k m p ---???=?

+++ ∵2k m p =+L L ①，

∴2111(

)111k m p =?

+++，即2k mp =L L L ②………………………………………14分 由①②可得m k p ==，与m k p

d d d ，，是不同的三项矛盾，

∴不存在不同的三项

m k p

d d d ，，(其中正整数m

k p ，，成等差数列)成等比数列. …16分