（１） 关于ε：① ε的任意性。定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，
ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固
定性。尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性。ε既是任意小的正数，那么2,3,2
εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中
的ε可用
2,3,2
εεε等来代替。从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，
我们可以限定ε小于一个确定的正数。
（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性。Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大。基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨。③N 的取值也不一定必须是正整数，可以为为正数，因为满足条件的正数N 如果存在，比N 大的任何正整数必能使条件成立。
（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”?“当n N >时有
n a a a εε-<<+” ?“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ?所有下标大于Ｎ的项n a 都
落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）。反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有
(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：
定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.
由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）应该注意，任给0ε>，若在(;)U a ε内数列{}n a 中的项有无限多个，并不能说明数列{}n a 收敛于极限a 。
例6. 证明{}2n 和{}
(1)n -都是发散数列。
分析：即证数列不以任何R a ∈为极限，利用定义'
1。
证明：R a ∈?，取10=ε，则数列{}
2
n 中所有满足1+>a n 的项（有无穷多个）显然都在);(0εa U
之外，故{}2
n
不以任何R a ∈为极限，即数列{}2
n 是发散数列。
取1=a ，10=ε，则在);(0εa U 之外有{}(1)n -中所有奇数项（无穷多项），故{}
(1)n -不以
1为极限；对1≠?a ，取12
1
0-=
a ε，则在);(0εa U 之外有{}(1)n -中所有偶数项（无穷多
项），故{}
(1)n -不以1≠?a 为极限。从而{}(1)n -不以任何R a ∈为极限，即{}
(1)n -是发散数列。
例7. 设lim lim n n n n x y a →∞
→∞
==，作数列如下：{}1122:,,,,
,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞
=.
证明：因lim lim n n n n x y a →∞
→∞
==，故0>?ε，数列{}n x 和{}n y 在);(εa U 之外的项都至多只有有限个，
所以数列{}n z 中落在);(εa U 之外的项至多只有有限个，从而lim n n z a →∞
=。
例8. 设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列
{}n b 与{}n a 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
证明：设{}n a 为收敛数列，且a a n n =∞
→lim ，故0>?ε，数列{}n a 中落在);(εa U 之外的项至多只
有有限个，而数列{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故从某一项开始，
{}n b 中的每一项都是{}n a 中确定的一项，所以{}n b 中落在);(ε
a U 之外的项至多只有有限个，
这就证得数列{}n b 收敛，且有a b n n =∞
→lim 。
现设{}n a 为发散数列，倘若{}n b 收敛，则因{}n a 可看成是对{}n b 增加、减少或改变有限项之
后得到的数列，故由前面证明可知{}n a 为收敛数列，矛盾，所以当{}n a 发散时{}n b 也发散。
三、无穷小数列：
在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若lim 0n n a →∞
=，则称{}n a 为无穷小数列。
如1
211(1)1,,,2n n n n n +??-????????????????????
??都是无穷小数列。
定理２.１ 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是：{}n a a -为无穷小数列。 证明：由数列极限的N ε-定义容易证明。
数列极限的概念(经典课件)
第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。
高中数学复习――数列的极限
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
考研数学数列极限内容概括及考点总结
考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论
（1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=. （2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和 {}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2, n n n x x x x n +<<=-=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2, n n n x x x x n +-<<=+=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111 lim 1111212n n →∞ ? ?+++ ?++++ +??
数学分析-数列极限
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．
数列的极限及运算法则
数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim
函数与数列极限的定义区别
导读： 极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词： 极限，数列，函数极限概念是数学分析中 最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限 1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是： 对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点： 其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的
N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且AN1时an数学分析数列极限分析解析
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
函数与数列极限的定义区别
导读：极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n). 关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中 最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且AN1时an0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作
数列极限的描述性定义对于数列
或 数列极限地分析定义对于数列，如果存在常数，对于任意给定地正数（无论多么小），总存在正整数，使得当>时，不等式都成立，那么就称数列收敛于，或称常数为数列地极限，记作文档来自于网络搜索 或 注：①从几何意义上看，“当>时，有”表示：所有下标大于地项都落在邻域（）之外，至多只含有数列地有限项.文档来自于网络搜索 ②在数列极限地定义中，若满足条件地常数确实不存在，则称数列不收敛，或称数列为发散数列，也称数列极限不存在.文档来自于网络搜索 数列极限地唯一性若数列收敛，则其极限是唯一地. 收敛数列地有界性若数列收敛，则数列是有界地.数列地有界性仅仅是数列收敛地必要条件，而非充分条件.收敛数列地保号性设，若>(或<),则存在正整数，当>时，都有>(或<).文档来自于网络搜索 推论若，且数列从某一项起有（或），则（或）.文档来自于网络搜索 收敛数列与其子数列地关系数列收敛于地充分条件是其任一子数列也收敛于. 数列极限地四则运算法则对于数列和，若 ，，,则数列{}，{}和（，）都收敛，且有文档来自于网络搜索 ① ② ③ 特殊地，对于常数，有 设函数在[,）上有定义.如果存在常数,对于任意给定地正数(无论多么小)，总存在正实数（），使得当>时，有成立，则称常数为函数当趋于时地极限，记作或文档来自于网络搜索 即使得当时，有 设函数在点地某个去心邻域内有定义.如果存在常数，对于任意给定地正数(无论多么小)，总存在正数，使得当 时，有成立，则称常数为函数文档来自于网络搜索 当即使得当时，有 趋于时地极限，记作文档来自于网络搜索 或 即 使得当 时，有 （只要求函数在地某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点处是否有定义，或者取什么值） 如果当从左侧（右侧）趋于时，函数无限趋近于常数，则称常数为函数 在时地左极限（右极限），记为 ( 或)).文档来自于网络搜索 即 左极限和右极限统称为单侧极限.函数在时地极限存在地充要条件是其左右极限都存在而且相等，即 函数极限地唯一性若极限 存在，则该极限是唯一地. 函数极限地局部有界性若 存在，那么函数 在局部范围内就是有界地，即存在常数和，使得当 时，有（）文档来自于网络搜索 函数极限地局部保号性若 ，且>（或<）,那么就存在常数，使得当 时，有()>(或者()<).文档来自于网络搜索 推论如果地某一去心邻域内有 或且,那么(或).文档来自于网络搜索 海涅定理设函数在点 地某个去心邻域内有定义，则
数列极限的描述性定义 对于数列
数列极限的描述性定义对于数列{x n}，如果当n无限增大时，x n无 限接近于某一常数a，那么就称数列{x n}收敛于a,或称常数a为数列 {x n}的极限，记作 x n=a或x n→a(n→+∞) lim n→+∞ 数列极限的分析定义对于数列{x n}，如果存在常数a，对于任意给定 的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式 x n?a<ε都成立，那么就称数列 x n收敛于a，或称常数a为数列x n的极限，记作 x n=a或x n→a(n→+∞) lim n→+∞ 注：①从几何意义上看，“当n>N时，有x n?a<ε”表示：所有下 标大于N的项x n都落在邻域U（a,ε）之外，至多只含有数列x n的 有限项。 ②在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称 数列x n不收敛，或称数列x n为发散数列，也称数列极限 lim n→+∞x n不存在。 数列极限的唯一性若数列x n收敛，则其极限是唯一的。 收敛数列的有界性若数列x n收敛，则数列x n是有界的。 数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。 收敛数列的保号性设lim n→+∞x n=a，若a>0(或a<0),则存在正整数 N，当n>N时，都有x n>0(或x n<0). 推论 1 若lim n→+∞x n=a，且数列x n从某一项起有x n≥0（或 x n≤0），则a≥0（或a≤0）. 收敛数列与其子数列的关系数列x n收敛于a的充分条件是其任一 子数列也收敛于a。 数列极限的四则运算法则对于数列x n和y n，若lim n→+∞x n=a， }（y n≠0，b≠0） lim n→+∞y n=b，,则数列{x n±y n}，{x n?y n}和{x n y n 都收敛，且有 ① ② ③ 特殊地，对于常数k，有 设函数f x在[a,+∞）上有定义。如果存在常数A,对于任意给 定的正数ε(无论多么小)，总存在正实数M（M≥a），使得当x>M时， 有f x?A<ε成立，则称常数A为函数f x当x趋于+∞时的极 限，记作lim n→+∞f x=A或f x→A(x→+∞) 即lim f x=A??ε>0,?M>0,使得当x>M时，有f x?A<ε n→+∞ 设函数f x在点x0的某个去心邻域内有定义。如果存在常数A， 对于任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正数δ，使得当 0高三数学极限的概念
极 限 的 概 念 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…；
