第三章 复变函数得积分(答案)

复变函数练习题第三章复变函数得积分

系专业班姓名学号

§1 复变函数积分得概念§4原函数与不定积分

一.选择题

1.设为从原点沿至得弧段,则[ ]

(A) (B) (C) (D)

2、设就是,从1到2得线段,则[ ]

(A) (B) (C) (D)

3.设就是从到得直线段,则[ ]

(A) (B)(C)(D)

4.设在复平面处处解析且,则积分[ ]

(A) (B) (C) (D)不能确定

二.填空题

1．设为沿原点到点得直线段,则 2 。

2．设为正向圆周,则

三.解答题

1.计算下列积分。

(1)

(2)

(3)

(4)

2.计算积分得值,其中为正向圆周:

(1)

(2)

3.分别沿与算出积分得值。

解:(1)沿y=x得积分曲线方程为

则原积分

(2)沿得积分曲线方程为

则原积分

1

20

1

1

3224300

[()](12)3112

[32(1)][()]2.2233I i t it it dt

t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+??

4.计算下列积分

(1) ,C:从到得直线段; C 得方程:

则原积分

(2) ,C:上沿正向从1到。 C 得方程:

则原积分

复变函数练习题 第三章 复变函数得积分

系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理得推广－复合闭路定理

一、选择题

1． 设在单连通区域内解析,为内任一闭路,则必有 [ ] (A) (B) (C) (D )

2.设为正向圆周,则 [ ] (A) (B ) (C) (D)

3.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分 [ ]

(A) (B) (C ) (D)不能确定 二、填空题

1.设为正向圆周,则

2.闭曲线取正方向,则积分 0 。 三、解答题

利用柯西积分公式求复积分 (1)判断被积函数具有几个奇点; (2)找出奇点中含在积分曲线内部得,

若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零; 若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式;

若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式、 1.计算下列积分 (1)

、

22

22

1

11

2.

C z a

C z a z a

i

dz i z a z a

a

ππ==-=?=

-+??解法二：由被积函数在内部只有一个奇点，故由柯西积分公式可得 (2).

解法二:

分别作两个以1, -1为心,充分小得长度为半径得圆周C 1、 C 2, 且C 1与 C 2含于C 内部。由复合闭路定理,

(3)

同上题中得解法二,

122||513

313131

23(3)(1)(3)(1)3131

2224631z C C z z z z z dz dz dz

z z z z z z z z i

i i i i

z z πππππ==-=---=+---+-+--=+=+=-+???蜒?

(4),其中正向

2cos cos /(2)cos2

2cos2/(22).422

C C z

z z i dz dz i z z ππ+==+=--??蜒 2.计算积分,其中C 为下列曲线:

2121111111(1)222C C C C C dz

I dz dz dz dz z z z z i z i z z i z i ??==

--=-- ?++-+-??

?????蜒蜒?

(1);

解法二: (2);

解法二:

(3);

解法二: (4)。

解法二:

2

0111

222201()()z z i z i

I i

i i i i i z z z i z z i ππππππ==-==++=--=+-+ 3.计算,其中

(1);

C 得方程:

(2)、

C 得方程:

Ln (ln arg 2)arg 2.i C

C

C

zdz R i z i dz i zdz i Rie d R i π

θπ

πθθπ-=++==?=-?

???

复变函数练习题 第三章 复变函数得积分

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§5 柯西积分公式 §6 解析函数得高阶导数

一.选择题。

1.设就是正向圆周,则 [ ] (A ) (B) (C) (D)

2.设为正向圆周,则 [ ] (A) (B) (C ) (D)

3.设,其中,则 [ ]

(A ) (B) (C) (D)

4.设为不经过点与得正向简单闭曲线,则为 [ ] (A) (B) (C) (D )以上都有可能 二.填空题:

1.闭曲线取正方向,积分

32011111()''()'22(1)(1)12!1!z z z z z z C z e e e dz i e ie z z z z ππ==??????-+-=-+- ? ? ? ?---?????

?

?? 2.设,其中,则 0 , 0 。

三.解答题:

1.设就是解析函数且,求。

2.计算,C 分别为:

(1); (2) ; (3) 、 解:

(1) (2) (3)111222()'0.44222

z z z z z z i i

I i i i i ππππππ==-=-=?

-?-?=+-= 3.,其中为得任何复数,为正向

解:

4.计算下列积分得值,C 为由所围得矩形边界正向。 (1) (2)

复变函数练习题 第三章 复变函数得积分

系 专业 班 姓号

§7 解析函数与调与函数得关系 综合练习题

一、选择题

1.下列命题正确得就是 [ ]

(A)设在区域内均为得共轭调与函数,则必有。 (B)解析函数得实部就是虚部得共轭调与函数。

(C )若在区域内解析,则为内得调与函数。 (D)以调与函数为实部与虚部得函数就是解析函数。

2.函数在闭路上及其内部解析,在得内部,则有 [ ] (A) (B ) (C) (D) 二、填空题

1.若函数为某一解析函数得虚部,则常数 -3 。

2.设得共轭调与函数为,那么得共轭调与函数为 -u 。

3.设为负向圆周,且,则 三、解答题

1.由下列各已知调与函数求解析函数 (1)

()()()

()

()

22

22222222222

22

2

222

22

2

2

2

22

22222

2,C.-R.2()

'()'()0()()1(2)2x y x y y x x y y xy y x y v v x y x y x y x y xy

x

u u dy v dy dy g x x y x

y x y x y u g x v x

y

x

y

x y

g x g x C f z i C x y x y f ????--==== ? ?++????++==-==-+++--=

+==

++===-

++++=-???解：，由方程知，另一方面，，

从而，。因而，

222211

0().

22

x y C C f z i x y x y +=?=?=-++++

(2)

2222

222222C.-R.1

ln()()2'()'()0()1()ln()arctan ln 2y x x y

y u u dy v dy dy x y g x x y x x

u g x v x y x y g x g x C y

f z x y i C z C

x

==-==+++=+==++===+++=+???

由方程知，

另一方面，，从而，。因而 解法二:

2222

22222222

arctan 11

arctan ,11

'()1

()'()ln x x y y y x y

y y x v x x y y x y x x v x x y y x x y z f z v iv i x y x y z z f z f z dz dz z C

z

-

??===- ?+????

+ ?????=== ?+????

+ ???=+=-==++===+??， 2.求具有下列形式得所有调与函数:

(1)与为常数,且不全为零。

解:

22

22222222

2212()()'()'()['()]''();''()+=()''()0''()0()().

u f ax by ax by f ax by af ax by x x x u af ax by a f ax by x x u

b f ax by y

u u u a b f ax by x y

f ax by f ax by C ax by C ??+?+==+=+?????+==+???=+???++=???+=?+=++类似可得

，从而由调和，

(2) 解:

22

22234222222223422()()'()'(),['()]2'()''();11'()''()1+=2'()''()''()0.2'()(1)y y f u y y y x x f f x x x x x x

y y f u y y y y x x f f x x x x x x u y u y f f y x x y x x u u u y y y y y

f f f x y x x x x x x

y

t x

t f t t f ???===-????-?==+????==????++=??=++，从而由调和，

令，则由上式可得

22232

112

''()0

2''()[ln '()]'

1'()

2ln '()ln(1)1'()(1)()()3

t t f t f t t f t t

f t dt t C

t t f t C t f t C t C =?-==+?=-=+++?=+?=++?

3.计算积分,C 为以下曲线: (1);

(2) ;

2332

2

cos 2''cos cos 2sin 2cos 82!()2C z z z i z z z z i z dz i z z z z z ππ

ππππ==

?? ?????==-++= ???-?? (3) 、

2

3

3

2

cos 2''

cos cos 1682!

()()2

2

C

z z z i z z i

i

z dz z z z π

ππ

π

π

π

==

?? ???=

+

=-

+

--?

?

4、设,求得值使为调与函数,并计算解析函数。 解: