高等传热学相变导热解(移动边界)

高等传热学导热理论——相变导热（移动边界问题）讨论

第五讲：相变导热（移动边界问题）：

移动边界的导热问题有许多种，本讲只讲固液相变时的导热模型。

5.1 相变换热特点与分类： 特点：

(1) 相变处存在一个界面把不同相的物质分成两个区间（实际不是一个面，

而是一个区）。

(2) 相变面随时间移动，移动规律时问题的一部分。

(3) 移动面可作为边界，决定了相变问题是非线性问题。 分类：

(1) 半无限大体单区域问题（Stefan Question ） (2) 半无限大体双区域问题（Neumman Question ） (3) 有限双区域问题

5.2 相变导热的数学描述和解： 假定：固液两相内部只有导热，没有对流（适用于深空中相变）。 物性为常量。不考虑密度变化引起的体积变化。 控制方程：

对固相：

2

21s s s t t a x

τ

??=?? 对液相：

2

2

1l l l t t a x

τ

??=

??

初值条件：0:s l t t t τ∞=== 边界条件：

0:::s l w l s l s x t ort t x t ort or

x t ort t ∞

===∞≠∞

=?=

在相变界面，热量守恒，温度连续，Q l 为相变潜热：

()():s l s

l

l l

s l p t t d x Q and

t t t x

x

d δτδτλλρτ

??==+==??

5.2.1 半无限大体单区域问题（Stefan Question ）的简化解：

以融解过程为例：

忽略液相显热，

2

210l l l t t a x

τ

??==??，方程解为一直线，由边界条件得：

()/l w p w t t t t x δ

=+-

对固相，忽略温差：w p t t t ∞==，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。 由相变处得换热条件求δ的变化规律：

()()():0()l l l

l l

p w l l

t d d x Q t t Q x

dx

d λδτδτδτλρρδ

τ

δ?==+=

-+?=

=

式中：()/l l p w l Ste c t t Q =-叫Stefan ’s Number ，物理意义是相变时液相显热和液固潜热比。液体厚度与时间的开平方成正比。所以：

进入物体的融解热流密度为：0

)l l

x w p t q t t x

λ=?=-=

-?，

热流密度与时间的开平方成反比。

5.2.2 半无限大体单区域问题（Stefan Question ）的精确解：

同样以融解过程为例：

对液相，

2

21l l l t t a x

τ

??=??，设方程解为（满足初始条件）：

(/

l t A Berf x =+

由边界温度条件得：

l w p w

t t t t -=-

对固相，忽略温差：w p t t t ∞==，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。 由相变处得换热条件求δ

的变化规律，设/δΩ=度也与时间的开平方成正比。

上式是关于凝固常数的方程，叫相变问题的特征方程。

进入物体的融解热流密度为：0

()l l

x t t t q x

λλ=-?=-=

?，热流密度同样

与时间的开平方成反比。

5.2.3 半无限大体双区域问题（Neumman Question ）的精确解：

同样以融解过程为例：

对液相，

2

21l l l t t a x

τ

??=??，设方程解为（满足初始条件）：

2

()():)0

exp()()())/l l l l

p w l w p l l l l t d x Q x d t t erf t t Q a Ste δτδτλρτ

λ?=+?=

-+

=ΩΩΩ=-=

(/

l w t t Aerf x =+

由边界温度条件得：

l w p w

t t t t -=

-

，t t A -=

对固相，

2

21s s s t t a x

τ

??=

??，设方程解为（满足初始条件）：

(/

l t t Berfc x ∞=+

由边界温度条件得：

s p t t t t ∞∞

-=

-

，t t B -=

由相变处得换热条件求δ

的变化规律，设/δΩ=

度也与时间的开平方成正比，/δΩ=。

得相变问题的特征方程：

(

)

2

l x t A

x e

δ

=Ω?=?(

)

2

s x t B

x

e

δβ=Ω?=-

?

(

)

()

2

2

))

()/()/exp()()

exp()()

p w p l w p l l l s p l l l t t t t t t a Q t t a Q erf erfc λρλβρ∞∞-+

=-

----

=

ΩΩΩΩΩ

Ω

2

2

/exp()()

exp()()

l

s s l Ste Ste erf erfc βρρ-

=

ΩΩΩΩΩΩ

进入物体的融解热流密度为：0

()l l

x t t t q x

λλ=-?=-=

?，热流密度还是

与时间的开平方成反比。

5.2.4 非线性问题求解方法总结：

对非线性问题，直接求解难度大，一般是进行适当简化，在简化基础上构造

()():l s l

l l

s

t t d x Q x

d x

δτδτλρλτ

??=+=??

一个满足大多数唯一性条件的，保留部分待解常数的解函数。将这个解函数代入余下的唯一性条件，求出待解常数，即为近似解或精确解。

5.3 关于湖水结冰问题的讨论：

几何条件假定：湖面很大，也很深，看成半无限大体。

换热条件假定：结冰前湖水均温，为t ∞，湖水主体温度一直保持t ∞。大气环境温度为t a ，湖面与大气间的表面传热系数为常量h 1，冰层下表面与湖水间的表面传热系数也为常量h 2。

物性假定：因为在0℃附近，冰的比热c s 《Q l ，忽略冰层热容作用。由此可得在冰层中的温度分布为直线。

设坐标原点在湖面，冰层厚度为δ，我们根据能量守恒和平壁导热规律得：

21()1//p a p s l

s

t t d h t t Q h d δρδλτ

∞-=-++ （1）

冰层温度分布：()/s w p w t t t t x δ=+- 求解δ，令

()()()()()

112

2

2

11///////s p p a s s s p a l

s s s s s h m t t t t R h h Ste Fo

Ste c t t Q Fo h c a h δδλττρλτλ∞==--===-==

代入(1)式：

()

()22

11

()1

11(1)

1p s s l

p a p

a h t t d d Q m R d h t t h t

t d d m R d λδδρδτ

τ

δδτ

δ

∞-=

+=+

+---+=

+

00,,00s t t ττδδ∞=→===→=

(

)

2

11

11(1)

0.5

/(1d d m R du m δδτ

δτ++=-+=-?

{ln[1/(1)]}/(,)mR mR mR f mR τδδδ=----=

讨论：当()max ,1/mR mR τδ→∞→-。mR 一定时，冰层的最大厚度也就确定。此时湖水对冰层的自然对流热流量等于湖面对大气散发的热流量，湖水凝结停止。

当0p t t m R ∞=→=，湖水比热无穷大，(

)2

2111τδδ=+-→=此种情况冰层没有极大值，可一直增厚。

即11)/s h δλ=。

当1m R =，冰层得到的热流量等于散出的热流量，

ln 0,c c τδδτδ=--→==-，此种情况由于厚度不能为负值，故不会结冰，尽

管t a 小于冰点。

当,p w a t t t t ∞==，湖水比热无穷大（或湖水与冰间的换热系数无穷大），湖面与大气换热系数无穷大，有：p w

p w

s

s l

s

s l

t t t t d Q d d d Q δλρλτδδ

δ

τ

ρ--=→=

δ=

=

此即Stefan 近似解。

此处的分析方法又叫做准稳态近似法。