《有理数的除法》教案 (公开课)2022年

2.9 有理数的除法教案

教学目标

(一)教学知识点

(1)理解有理数除法的法那么，会进行有理数的除法运算.

(2)会求有理数的倒数.

(二)能力训练要求

1.理解有理数除法的法那么，会进行有理数的除法运算.

2.会求有理数的倒数.

(三)情感与价值观要求

通过师生相互交流、探讨，激发学生的求知欲望，进一步提高学生灵活解题的能力.

教学重点

有理数除法法那么的运用，求一个负数的倒数.

教学难点

除法法那么有两个，在运用时要合理选用法那么1和法那么2，当能整除时用法那么1，在确定符号后，往往采用直接相除；在不能整除的情况下，特别是除数是分数时，用法那么2，把除法转变为乘法比较简便.

教学方法

师生共同讨论法.

与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律、总结规律，然后运用规律.

教具准备

投影片六张

第一张：练习(记作§2．8 A)

第二张：想一想(记作§2．8 B)

第三张：法那么(记作§2．8 C)

第四张：例1(记作§2．8 D)

第五张：练习(记作§2．8 E)

第六张：做一做(记作§2．8 F)

教学过程

Ⅰ.复习回忆，引入课题

［师］上节课我们学习了有理数的乘法，能运用乘法法那么进行计算，谁能表达有理数的乘法法那么呢？

［生］两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，任何数与0相乘，积仍为0. ［师］好，根据法那么能口答以下各题吗？(出示投影片§2.8 A)

(1)(－3)×4; (2)3×(－3

1); (3)(－9)×(－3);

(4)8×(－9); (5)0×(－2); (6)(－8)×(－6);

［生］(1)－12;(2)－1;(3)27;(4)－72;(5)0;(6)48

［师］从答复以下问题中，知道大家已经掌握了有理数乘法法那么，我为此很快乐. 假设：两个因数的积和其中一个因数，要求另一个因数.那么我们用什么运算来计算呢？ ［生］用除法.

［师］对，那我们今天就来研究有理数的除法.

Ⅱ．讲授新课

［师］除法是两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算，那10÷5是什么意思，商为几？0÷5呢？

［生］10÷5表示一个数与5的积是10,商为2；0÷5表示一个数与5的积是0,商为0. ［师］很好.那(－12)÷(－3)是什么意思呢？商为多少？

［生］(－12)÷(－3)表示一个数与－3的乘积是－12，商为4，对吧？

［师］对，你是怎样考虑的？

［生甲］(－12)÷(－3)表示一个数与－3的乘积是－12，那什么数与－3的乘积是－12呢？+4.即：4×(－3)=－12.由除法的意义知道，乘法与除法是互为逆运算，所以：(－12)÷

(－3)=4.

［生乙］老师，我们在小学学过：除以一个数等于乘以这个数的倒数，那么计算(－12)÷(－3)时，就可以转化为(－12)×(－

31)即：(－12)÷(－3)=(－12)×(－3

1)=4.这样可以吗？

［师］可以，两位同学的思路都很正确，分析得也很好.那大家现在想一想：(出示投影片§2.8 B)

(学生分析、计算、讨论)

［生］(1)－3;(2)8;(3)0;(4)－8;(5)－3;(6)－25;(7)3;(8)9;(9)－2;(10)3.

［师］很好，大家来观察一下算式，看看商的符号及其绝对值与被除数和除数有没有关系？有，总结出规律.

［生甲］两个有理数相除.同号得正,异号得负，并把绝对值相除，0除以不为0的数得0.

［生乙］两个有理数相除总结出的规律与有理数的乘法法那么类似.都是先确定结果的符号,然后再确定结果的绝对值.老师，是吧？

［师］对，大家总结得很好.在两个有理数相除时，首先确定商的符号，假设两个数是同号两数，那么商的符号为“+〞，假设这两个数是异号两数，那么商的符号为“－〞；其次确定商的绝对值，即被除数的绝对值除以除数的绝对值；还有0除以任何非0的数都得0.为什么要除以非0的数呢？

［生］因为0不能作除数.

［师］很好，这时，我们就总结出有理数的除法法那么：(出示投影片§2.8 C)

(学生念一次，背一次)

注意：(1)法那么中的“同号得正、异号得负〞是专指“两数相除〞的.

(2)0不能作除数.

［师］好，接下来我们通过例题来熟悉有理数除法法那么.(出示投影片§2.8 D)

下面我们来做一练习.(出示投影片§2.8 E)

［师］到现在为止，我们就学了有理数的乘法、除法法那么，在运用这两个法那么进行运算时，首先要确定结果的符号，然后再求结果的绝对值.下面我们做一做(出示投影片§2.8 F)

［师］得出计算结果后，比较每一小题两式的结果，有规律吗？

［生］结果一样，说明两式相等.即:

1÷(－

52)=1×(－12

5) 0.8÷(－103)=0.8×(－3

10) (－41)÷(－601)=(－41)×(－60) 由此得出：

除以一个数等于乘以这个数的倒数.

［师］对.通过计算总结，又得到有理数的除法的另一法那么，我们可把这个法那么称为法那么二，把前面的那个法那么称为法那么一.这两个运算法那么在本质上是一致的.在计算时，可根据具体的情况选用这两个法那么.一般来说，两数能整除时，应用法那么一较简单；两数不能整除或除数为分数时，应用法那么二.

法那么二是除以一个数等于乘以这个数的倒数，那什么叫互为倒数呢？ ［生］乘积为1的两个有理数是互为倒数.

［师］那我们现在回头看刚刚“做一做〞的(1)小题：1÷(－

52);它的意思是－5

2与什么数相乘，积为1呢？ ［生］－

2

5 ［师］那－25与－52是什么数呢？ ［生］互为倒数. ［师］对.因为互为倒数的乘积为1，所以1÷(－52)的商就是－52的倒数.大家再看： 1÷(－78)=1×(－87)=－8

7 可知：－78与－8

7是互为倒数，那谁能总结一下怎样求一个负数的倒数呢？ ［生］1除以这个负数，就等于这个负数的倒数.

［师］很好，要求一个负数的倒数，只需要1除以这个负数得到的商就是这个负数的倒数.如果这个负数是分数，那么只需要把这个分数的分子、分母颠倒即可.

想一想：正数的倒数是什么数，负数的倒数是什么数？0呢？

［生］正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.

［师］很好.大家要求一个数的倒数时，一定要注意：(1)0没有倒数.(2)互为倒数的两数为同号.

Ⅲ.课堂练习

课本P 51随堂练习

1.计算： (1)215÷(－7

1); (2)(－1)÷(－1.5)；

(3)(－3)÷(－

52)÷(－4

1)； (4)(－3)÷［(－52)÷(－4

1)］. 解：(1)215÷(－71)=－(215×7)=－3

5 (2)(－1)÷(－1.5)=+(1÷1.5)=+(1×32)=3

2 (3)(－3)÷(－52)÷(－41)=+(3×25)÷(－41)=215÷(－41)=2

15×(－4)=－30 (4)(－3)÷［(－52)÷(－41)］=(－3)÷［(－52)×(－4)］=(－3)÷［+(5

2×4)］ =(－3)÷58=(－3)×85=－815. 2.阅读课本P 50~52，然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课主要学习了有理数的除法运算.有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值，在进行有理数除法运算时，要根据题目的特点，恰当地选择有理数除法法那么进行计算，有理数除法转化为乘法后，可以利用乘法的运算律性质简化运算.

Ⅴ．课后作业

(一)课本P 52习题2.8 1、2、3、4、5.

(二)１．预习内容：P 52~54

2.预习提纲

(1)乘方的概念.

(2)如何进行乘方运算.

Ⅵ.活动与探究

1.假设1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y,那么x－y的值等于( )

A.15

B.1

C.164

D.179

(1999年竞赛)

过程：对于除法运算中的整除性与非整除性，小学已初步探讨过.有以下公式：

被除数=除数×商

被除数=除数×商+余数

可以让学生利用此公式进行变化、培养学生灵活解题的能力.

设三数被自然数x除时，商分别为自然数a、b、c.那么：

ax+y=1059 ①

bx+y=1417 ②

cx+y=2312 ③

②－①得 (b－a)x=358

③－①得 (c－a)x=1253

③－②得 (c－b)x=895

由于：a≠b b≠c c≠a

所以，x是358、1253、895的公约数

即x=179,由此可得y=164

x－y=15

结果：选A

2.求除以8和9都是余1的所有三位数的和.

过程：可以让学生借鉴(1)题来变化、运算.可设三位数为n，它是除以8、9的商分别为x、y余1的数.那么:n=8x+1;n=9y+1由此可知：三位数n减去1，就是8和9的公倍数，即为:144、216、288、360、432、504、576、648、720、792、864、936.

所以满足条件的所有三位数的和为：

144+216+288+360+432+504+576+648+720+792+864+936+1×12

=72×(2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+1×12=72×(2+13)×6+12=6492

答案：6492

板书设计

1.8 完全平方公式(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何背景.

(二)能力训练要求

1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.

2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.

(三)情感与价值观要求

1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.

2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.

●教学重点

1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.

2.完全平方公式的应用.

●教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.

●教学方法

自主探索法

学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.

●教具准备

投影片四张

第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)

第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)

第三张：例题，记作(§1.8.1 C)

第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a 米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.

同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？

(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)

［生］我能帮这位爷爷.

［师］你能把你的结果展示给大家吗？

［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1－25

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？

［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.

［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.

［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.

Ⅱ.讲授新课

1.推导完全平方公式

［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？

(出示投影片§1.8.1 A)

想一想：

(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？

(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.

(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)

［生］用多项式乘法法那么可得

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;

代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.

［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.

［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.

［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.

［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.

［师生共析］

(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2

↓↓↓↓ ↓ ↓

(a +b)2=a2+2·a ·b + b2

=a2－2ab+b2.

于是，我们得到又一个公式：

(a－b)2=a2－2ab+b2(2)

［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？

［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以

使整式的运算简便.

2.应用、升华

出示投影片(§1.8.1 B)

［例1］利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;

(3)(mn－a)2.

分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.

解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算

(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;

(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;

(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.

分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；

(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.

解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2

=4y 2－4xy+x 2；

方法二：(－x+2y)2=［－(x －2y)］2=(x －2y)2=x 2－4xy+4y 2.

(2)(－x －y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x 2+2xy+y 2.

(3)(x+y －z)2=［(x+y)－z ］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z 2

=x 2+y 2+z 2+2xy －2zx －2yz.

(4)方法一：(x+y)2－(x －y)2

=(x 2+2xy+y 2)－(x 2－2xy+y 2)

=4xy.

方法二：(x+y)2－(x －y)2

=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=4xy.

(5)(2x －3y)2(2x+3y)2

=［(2x －3y)(2x+3y)］2

=［4x 2－9y 2］2

=16x 4－72x 2y 2+81y 4.

Ⅲ.随堂练习

课本1.计算： (1)(21x －2y)2;(2)(2xy+5

1x)2; (3)(n+1)2－n 2.

解：(1)(21x －2y)2=(21x)2－2·21x·2y+(2y)2=4

1x 2－2xy+4y 2 (2)(2xy+51x)2=(2xy)2+2·2xy·51x+(51x)2=4x 2y 2+54x 2y+251x 2

(3)方法一：(n+1)2－n 2=n 2+2n+1－n 2=2n+1.

方法二：(n+1)2－n 2=［(n+1)+n ］［(n+1)－n ］=2n+1.

Ⅳ.课后作业

1.课本习题1.13的第1、2、3题.

2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.

Ⅴ.活动与探究

甲、乙两人合养了n 头牛，而每头牛的卖价恰为n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，

轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？

［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.

令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+

20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.

因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.

但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).

［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.

●板书设计

1.8. 完全平方公式(一)

一、几何背景

试验田的总面积有两种表示形式：

①a2+2ab+b2

②(a+b)2

比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2

二、代数推导

(a+b)2=(a+b)(a+b)

=a2+2ab+b2

(a－b)2=［a+(－b)］2

=a2－2ab+b2

三、例题讲例

例1.利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2

(2)(4x+5y)2

(3)(mn－a)2

四、随堂练习(略)

●备课资料

一、杨辉

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.

他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他在?续古摘奇算法?中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法，同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中，将?九章算术?246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.

他非常重视数学教育的普及和开展，在?算法通变本末?中，杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.

二、参考练习

1.填空题

(1)(－3x+4y)2= .

(2)(－2a －b)2= .

(3)x 2－4xy+ =(x －2y)2.

(4)a 2+b 2=(a+b)2+ . (5)41a 2+ +9b 2=(2

1a+3b)2. (6)(a －2b)2+(a+2b)2= .

2.选择题

(1)以下计算正确的选项是( )

A.(m －1)2=m 2－1

B.(x+1)(x+1)=x 2+x+1

C.(21

x －y)2=41

x 2－xy －y 2

D.(x+y)(x －y)(x 2－y 2)=x 4－y 4

(2)如果x 2+mx+4是一个完全平方式，那么m 的值是( )

A.4

B.－4

C.±4

D.±8

(3)将正方形的边长由a cm 增加6 cm,那么正方形的面积增加了(

) A.36 cm 2 B.12a cm 2

C.(36+12a)cm 2

D.以上都不对

3.用乘法公式计算 (1)(21x －31y)2

(2)(x 2－2y 2)2－(x 2+2y 2)2

(3)29×31×(302+1)

(4)9992

答案：1.(1)9x 2－24xy+16y 2

(2)4a 2+4ab+b 2 (3)4y 2 (4)－2ab

(5)3ab (6)2a 2+8b 2

2.(1)D (2)C (3)C

3.(1)41

x 2－31xy+91

y 2 (2)－8x 2y 2

(3)809999 (4)998001