高考数学必杀技系列之数列7：数列求和（裂项相消法）

数列

专题七：数列求和（裂项相消法）

裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此规律拆成两项之差，在求和时一些正负相消，适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型。

一、必备秘籍

1．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

(2)常见的裂项技巧:

二、例题讲解

感悟升华（核心秘籍）本例是裂项相消法的简单应

用，注意裂项，是裂通项，

裂项的过程中注意前面的系

数不要忽略了。

感悟升华（核心秘籍）本例是含有根式型裂项，注

意分母有理化计算。

能完全记忆类型⑤的公式，建

议裂项完后通分检验是否正

确。

高考数学解答题(新高考)数列求和(裂项相消法)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型类型二：无理型类型三：指数型 ①1 1(1)11 ()()n n n n n a a a k a k a k a k ++-=-++++ 如：11211 (2)(2)22n n n n n k k k k ++=-++++ 类型四：通项裂项为“+”型如：①()()()211 11111n n n n n n n +⎛⎫-⋅ =-+ ⎪++⎝⎭ ②()() 131222(1) (11)1n n n n n n n n n n +⎛⎫ ++⋅-=+- ⎝+⎪⎭ 本类模型典型标志在通项中含有(1)n -乘以一个分式.

二、典型例题类型一：等差型例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且___________.从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，1124,b a b a ==这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和为n T ，求证：1 6n T <. 【答案】(1)选择条件见解析，21n a n =+(2)证明见解析 (1)若选①，21a -为11a -与31a +的等比中项，则()()()2 132111a a a -+=-，由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，∴25a =，把25a =代入上式，可得()()4616d d -+=，解得2d =或4d =-（舍） ∴13a =，21n a n =+；若选②，3q =为等比数列{}n b 的公比，且1124,b a b a ==，可得213b b =，即413a a =，即有 113)3a d a +=（，即123a d =；又315S =，可得11 332152 a d +⨯⨯=，即15a d +=，解得12,3d a ==，此时21n a n =+；第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，设，则，典型的裂项相消的特征，可将通项裂项为：解答过程：由题意知：；

裂项相消法公式大全

裂项相消法公式大全裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。以下是裂项相消法的一些公式: 1. 等差数列求和公式: Sn = n * (a1 + an) / 2 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 2. 等比数列求和公式: Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1) 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 3. 无理数列求和公式: 对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。 4. 等差数列裂项公式: a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

5. 等比数列裂项公式: a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n]) 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。 6. 无理数列裂项公式: π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π 其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。

数列求和的“裂项相消法”讲解

对于本题通项公式类型的数列，采用的“求前n 项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例：（1）本题： n a ===-“分子有理化”技巧）得 41111111 n S =++++==-----… 【往下自己求吧！答案 C 】（2）求和 1111122334(1) n S n n =++++???+… 解：通项公式：()()()1111111 n n n a n n n n n n +-===-+++ 所以 111111*********n S n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?+???????? (1) 111n n n =- +=+

（3）求和 1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… 解：()()()()()()43411 111141434414344143n n n a n n n n n n +--??===- ?-+-+-+?? 得 1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… 11111111143771111154143n n ??????????=-+-+-++- ? ? ? ???-+?????????? … 1114343n ??=- ?+?? () 343n n = + （4）求和 1111132435(2) n S n n =++++???+… ()()()21111122222n n n a n n n n n n +-??===- ?+++?? ()()()()1111111113243546572112n S n n n n n n = ++++++++?????--++... 1111111111111112132435462112n n n n n n ????????????????=-+-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ? ???--++???????????????? (11111212) n n =+--++ （仔细看看上一行里边“抵消”的规律） 311212 n n =--++ 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。

数列裂项相消法

数列裂项相消法数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定的规律排列成一列数的集合。在数学中，数列不仅仅是一些数的简单排列，它更是我们探索抽象、递推的一个途径，也是一些数学问题解决的基础。在数学中，数列裂项相消法是一种简便的数学工具，它充分利用数列的性质，将数列通过裂项相消的方式，简化和加速计算过程。本文将从数列基础认识入手，详细介绍数列裂项相消法的原理和应用，希望能为学生和教师提供一些帮助。一、数列的基础认识 1、数列的定义按照一定规律排列成一列数的集合称为数列。 2、数列的表示形式数列一般表示为a1, a2, a3, ……,an (n为自然数) 或 {an}。 3、数列的通项公式我们可以通过观察数列的规律，利用代数方法推出数列的通项公式，通项公式是数列中每一项的公式。 4、数列的性质数列有许多重要的性质，主要包括公差、公比和递推公式等。二、裂项相消法的原理数列裂项相消法是一种计算数列的方法，它的基本原理是：利用数列中相邻项的差或比，裂项相消，简化计算过程。 an - a(n-1) = f(n) - f(n-1) a(n-1) - a(n-2) = f(n-1) - f(n-2) …… a2 - a1 = f(2) - f(1) 如果把所有式子加起来，就可以得到：利用裂项相消法，可以得到：

an = （a1 + an）/2 + （n - 1）/2 * d 这个公式可以用于计算等差数列的前n项和。例如，有一个公差为3，首项为1的等差数列，前5项和为？根据上面的公式，可以得到： 5 * （1 + 5*3）/2 = 40。因此，该等差数列的前5项和为40。 an / a(n-1) = q 由此可以得到等比数列的求和公式：当q ≠ 1 时： a1 = 1，q = 2，n = 4。斐波那契数列是一种非常特殊的数列，它的前两项都是1，每一项都是前两项之和。 1,1,2,3,5,8,13,21,34…… an = （1/√5）*（（（1+√5）/2）^n -（（1-√5）/2）^n） ∑（k=1 to n）a(k) = a(n+2) - 1。例如，求斐波那契数列的前8项和。 a10 = 89，因此，前8项和为88。四、总结数列裂项相消法是一种简便的数学工具，它利用数列的性质，加速和简化计算过程，可以广泛应用于等差数列、等比数列、斐波那契数列的求和，也可以用于一些其他数列的计算。对于学生来说，掌握数列裂项相消法可以提高计算效率，对数学学科的应用也具有非常重要的作用。

数列求和裂项相消法例题

数列求和裂项相消法例题摘要： 1.引言：裂项相消法求和 2.裂项相消法的基本原理 3.裂项相消法在数列求和中的应用 4.裂项相消法求和的例题解析 5.结论：裂项相消法的优点和局限性正文：一、引言：裂项相消法求和数列求和是数学中一个重要的研究领域，它是指将一个数列按照一定规则进行求和。在数列求和中，裂项相消法是一种常用的求和方法，它通过将数列中的项进行裂项处理，再利用相消法进行求和，从而简化求和过程。本文将介绍裂项相消法的基本原理，以及它在数列求和中的应用。二、裂项相消法的基本原理裂项相消法的基本原理是将数列中的项进行裂项处理，使得相邻的项可以相互抵消，从而简化求和过程。具体来说，对于一个数列a1, a2, a3,..., an，我们可以将其拆分为两个数列，如： a1 + a2 + a3 +...+ an = (a1 + a2) + (a2 + a3) + (a3 + a4) +...+ (an-1 + an) 在这个过程中，我们可以发现，每个括号内的两项之和等于下一项，即：a1 + a2 = a2 + a3 a2 + a3 = a3 + a4

... an-1 + an = an + a1 通过这样的裂项处理，我们可以将原数列中的项相互抵消，从而得到一个新的数列，其求和过程更加简单。三、裂项相消法在数列求和中的应用裂项相消法在数列求和中的应用非常广泛，它可以用于各种类型的数列求和。下面我们通过一个具体的例题，来看一下裂项相消法在数列求和中的应用。例题：求和数列1, 2, 4, 7, 11,... 这个数列的通项公式为：an = (n - 1) * n，其中n 表示项的位置。我们可以使用裂项相消法来求解这个数列的和。首先，我们将数列进行裂项处理，得到： 1 = 0 + 1 2 = 1 + 1 4 = 2 + 2 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 接下来，我们可以将相邻的项进行相消，得到： 1 + 2 = 3 2 + 4 = 6 3 + 7 = 10 4 + 11 = 15

数列求和裂项相消法例题

数列求和裂项相消法例题【原创实用版】目录 1.引言：裂项相消法求和 2.例题 1：奇数项和偶数项的等差数列求和 3.例题 2：绝对值不等的正负数列求和 4.例题 3：具有规律的数列求和 5.总结：裂项相消法的应用和注意事项正文一、引言：裂项相消法求和数列求和是数学中的一个重要知识点，它应用于各种实际问题中，如求解等差数列、等比数列的和等。在求和过程中，裂项相消法是一种常用的方法，它可以有效地简化计算过程。下面我们通过几个例题来介绍裂项相消法求和。二、例题 1：奇数项和偶数项的等差数列求和假设有一个等差数列，其中奇数项和偶数项的公差分别为 a 和-b （a,b 均为正数），现在需要求解该数列的前 n 项和。解法：我们可以将奇数项和偶数项分别求和，然后用总和减去偶数项的和，得到奇数项的和。具体计算如下：设奇数项和为 S1，偶数项和为 S2，则 S1 = a + a + 2 + a + 4 +...+ a + (2k-1) S2 = b + b + 2 + b + 4 +...+ b + (2k-1) 将 S1 和 S2 相加，得到：

S1 + S2 = (a + b) + (a + b + 2) + (a + b + 4) +...+ (a + b + 2k-2) 观察发现，S1 + S2 中的每一项都等于 a + b，因此： S1 + S2 = (a + b) * k 所以奇数项和 S1 = (a + b) * k - S2 通过裂项相消法，我们成功地将等差数列求和问题简化为求解两个等差数列的和，从而降低了计算难度。三、例题 2：绝对值不等的正负数列求和现在考虑一个由正数和负数构成的数列，其中正数的绝对值和负数的绝对值不相等，求该数列的前 n 项和。解法：我们可以将数列中的正数和负数分别提取出来，然后分别求和。具体计算如下：设正数和为 S1，负数和为 S2，则 S1 = a1 + a2 + a3 +...+ an S2 = -b1 - b2 - b3 -...- bn 其中，ai 和 bi 分别为数列中的正数和负数，a1, a2, a3,..., an 和b1, b2, b3,..., bn 分别为它们的绝对值。由于正数和负数的绝对值不相等，我们可以通过裂项相消法简化计算过程。具体操作如下：将 S1 和 S2 相加，得到： S1 + S2 = (a1 - b1) + (a2 - b2) + (a3 - b3) +...+ (an - bn) 观察发现，S1 + S2 中的每一项都等于 ai - bi，因此： S1 + S2 = (a1 - b1) * k 所以正数和 S1 = (a1 - b1) * k - S2

数列求和裂项相消法

数列求和裂项相消法数列求和裂项相消法是一种利用数列中相邻项之差的特殊性质，通过对数列元素进行分解和化简，最终得到数列的和的公式的方法。具体步骤如下： 1. 找出数列中相邻项的差，通过将相邻项进行相减，得到一个新的数列。 2. 对新数列进行合并。如果新数列中对应的项之间存在相消的情况，可以将它们合并为一个式子。 3. 将合并后的式子进行分解，找出一些特定的公式或规律。 4. 将分解后的公式和规律代入到原数列的求和公式中，得到数列的和的公式。下面以一个简单的例子来说明这种方法：例子：求数列1+3+5+7+9+...+99的和。分析：这个数列中相邻项的差为2，所以我们可以将它分解为： 1 + (3-2) + (5-2*2) + (7-3*2) + (9-4*2) + ... + (99-49*2) 在对每一项进行合并时，可以发现有些项之间存在相消的情况，比如：

3-2和2*1可以相消； 7-3*2和2*2可以相消； 11-4*2和2*3可以相消； ... ... 因此，我们可以将这些相消的项合并起来，得到下面的式子： 1 + 2(1-2) + 2(2-3) + 2(3-4) + ... + 2(49-50) 接下来，我们可以将每一项进行拆分，得到如下的式子： 1 + 2(-1) + 2(-1) + 2(-1) + ... + 2(-1) 或者简写为： 1 - 2 + 2 - 2 + 2 - ... + 2 - 2 这是一个等差数列，公差为-2，首项为1，共有50项。因此，它的和可以通过等差数列求和公式来计算： S = (a1 + an) * n / 2 其中，a1是首项，an是最后一项，n是项数。将这些值代入到求和公式中，得到：

数列求和裂项相消法

裂项相消法典型例题 (以下n均为正整数) 求丄十丄+丄+……+—的值. 例］： A2 2x3 3x4 方・3+1) 这是一道较为简单的裂项相消法化简题，1到2, 2到3, 3到4,……，n到n + 1 ,都相差1,直接裂项即可。(化成1/1-1/2+1/2-1/3...) 击 1 1 I I 小m 彳列2："3 3x5 5x7 这是例1的升华题，是将分母稍作变化，题目就不一样了. 1到3, 3 到5, 5到7,……，2nT到2n+ 1 ,都相差2,裂项后总体要乘以1/2,这样才可以。 1 + 1 + 1卜一t 1的值, 例1x4 4x7 7x10 97x100 这是例2的拓展题，此时分母每个因数相差3了，做法一样，裂项后总体要乘以1/3,这样才行。常■------ -- * —------ s - * ----- ---- 壽隆■ ：例4：(sH-Ma+2) (ir+2Xm+3) 債+ 59肪+1期这是将例1 一般化，此时分母每个因数相差1,裂项后直接相消。

不------ * ---------- 1 ---------------- +• + ------------------- 阿恵• 例5：再5+引S+欢用 + 巧(fl+WXw + W) 这是将例3的拓展题，此时分母每个因数相差3,做法一样，裂项后总体要乘以1/3,这样才行。例6: * ^-1X5--2)*(W-2XW-3I*M，"''*1 J 1 1 丨、亠,1 1 . 这道题易错题，易写成(;~)+(—)+…'(三TR),这样就造成错误，原来是正的，现在是负的。正好相反，这一点多注意。求——4 ——-—— 4 --------- ------ + --4 -------- ] ---- 的氤例7：伸-町叶畑f何这道题易错题，这样就造成错误，原来是正的，现在是负的。正好相反，这一点多注意。

整理高中数学复习数列求和裂项相消法

高中数学复习数列求和裂项相消法

常用的数列求和方法数列求和是中学数学中一个十分有趣的课题，它对于加深巩固中学课程的学习，开拓中学生的知识领域都十分有益。这个开阔、有趣的“数列求和”的世界，可以极大的丰富我们的数学知识，提高我们的数学思维能力。其中最重要的是等差数列和等比数列的和。我们采用倒序像相加法和错位相减法推导他们的前n 项和。除此之外还应掌握有等差数列和等比数列这两个基本数列出发组合变形构造的新数列的求和方法。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。对各种类型的数列给出数列求和是中学数学中一个十分有趣的课题，它对于加深巩固中学课程的学习，开拓中学生的知识领域都十分有益。对各种类型的数列给出求和的主要方法与实例。这些方法是我们求一般数列的通法。一：公式法直接利用公式求和，如果是等差、等比数列可直接利用其求和公式求和，而有些特殊的常见数列则应记住其求和结果，以便于应用。直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式： ③1+3+5+……+(2n-1)=，，例1、（1）求和：1+1 a +1 a2 +⋯⋯+1 a n （2）已知，求的前n项和. 例2：是等差数列，前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和．解析：运用等差数列的性质：若，则． ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅+ + +n x x x x3 2

∵， ∴．因此，．点评：在运用公式求和时，已知可以求，但往往在不易求得这些值时，利用“整体值”求和十分有效，这种“整体值”的运用在后面的等比数列求和时也常用．练习：已知等比数列中，，，则. 例3. 求数列的前项和已知数列的前项和，求数列的前项和．解：，当时，，当时，也适合上式， ∴时，，令，则， ∴时，；当时，．（1）当时，；（2）当时，．故点评：对于带绝对值号的数列求和问题，应先弄清取什么值时，或，然后再求解．

数列的求和(裂项相消法)

数列的求和（裂项相消法）对于⎭ ⎬⎫⎩⎨ ⎧ +1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111n n a a d c ，常见拆项： 1 11)1(1+-=+n n n n )121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 1 k = =1、已知数列的的通项，求数列的前n 项和：（1） )1(1+=n n a n （2）) 2(1 +=n n b n 2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 3、在数列{a n }中，11211++ ⋅⋅⋅++++= n n n n a n ，又1 2+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

4、等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a n ，求数列{}的前n项和． 5、正项数列{a n }满足﹣（2n﹣1）a n ﹣2n=0．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令b n =，求数列{b n }的前n项和T n ． 6、已知等差数列{a n }满足：a 3 =7，a 5 +a 7 =26．{a n }的前n项和为S n ．（1）求a n 及S n ；（2）令（n∈N*），求数列{b n }的前n项和T n ．

7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点), (n s n n 在直线2 11 21+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，()* N n ∈，113 =b ，且其前9项和为153. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设) 12)(112(3 --=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T . 8、已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足5,053-==S S (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211 n n a a -+⎧ ⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和．

数列求和专题(裂项相消)

数列求和专题复习一、公式法 1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3.常见数列求和公式： )1(211+==∑=n n k S n k n ；)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n ；21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1：已知3 log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 例2：设n S n +⋅⋅⋅+++=321，+∈N n ,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值.

二、倒序相加法似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++⋅⋅⋅+++的值例4：求222 2 2 22222 22123101102938101 ++++++++的和．变式1：已知函数()222 x x f x =+ （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的值.

三、裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan() 1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++= -则例5：求数列 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1 1, ,3 21, 2 11 n n 的前n 项和. 例6：在数列{}n a 中，11211++⋅⋅⋅++++= n n n n a n ，又1 2+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.

数列求和的“裂项相消法”讲解

对于本题通项公式类型的数列，采用的（一）“求前n 项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例：（1）本题： 1 111n n n n n a n n n n -+-+===++-+（变形过程中用了“分子有理化”技巧）得 1223341111111111 n n n n S n +-+=++++==+-----… 【往下自己求吧！答案 C 】（2）求和 1111122334(1) n S n n =++++⨯⨯⨯+… 解：通项公式：()()()1111111 n n n a n n n n n n +-===-+++ 所以 111111*********n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …

1111n n n =- +=+ （3）求和 1111377111115(41)(43) n S n n =++++⨯⨯⨯-+… 解：()()()()()()43411 111141434414344143n n n a n n n n n n +--⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭ 得 1111377111115(41)(43) n S n n =++++⨯⨯⨯-+… 11111111143771111154143n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ … 1114343n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ()343n n = + （4）求和 1111132435(2) n S n n =++++⨯⨯⨯+… ()()()21111122222n n n a n n n n n n +-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ ()()()()1111111113243546572112n S n n n n n n = ++++++++⨯⨯⨯⨯⨯--++... 1111111111111112132435462112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (11111212) n n =+--++ （仔细看看上一行里边“抵消”的规律） 311212 n n =--++ 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。

数列的求和方法----裂项法

用裂项相消法对数列求和（文科用）西安市第一中学：张平乐在数列求和的方法中，裂项相消法是一种重要的方法. 裂项相消法——化作同一个数列中的两项之差的形式,适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+1n n a a c 、⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧⋅+k n n a a c 其中{}n a 是各项不为0的等差数列，+∈N k ，c 为常数；部分无理数列等等. 裂项法的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如果，数列通项是分式，分母是几个因子连乘的形式，裂项往往是将分子变成分母中一些因子之差的形式进行裂项；如果是几个因子连乘的形式，则往往通过给它在乘以结果为1的两个式子之差的形式，裂项相消法通常从通项入手进行裂项. 一、裂项法对数列求和的一些实例（教师出示数列的通项，学生试着裂项，展示依据和过程）：（1）)()1(n f n f a n -+=或)()(n f K n f a n -+= （2）1 11)1()1()1(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n （3）)2 11(21)2(2)2()2(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n 在对（1）、（2）、（3）的思考之后，由学生探索出（4）式. (4) )11(1)()()(1k n n k k n kn n k n k n n a n +-=+-+=+=. (5)).1 21121(21)12)(12(2)12()12()12)(12(1+--=+---+=+-=n n n n n n n n a n 在对（4）、（5）的思考之后，由学生探索出（6）、（7）、（8）、（9）式.