二次函数在实际生活中的应用及建模应用

二次函数的建模

知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：

1．运用配方法求最值；

2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；

3．建立函数模型求最值；

4．利用基本不等式或不等分析法求最值．

一、利用二次函数解决几何面积最大问题

1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；

(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？

解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴?

??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：

利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式

中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）

（2）∵x x x x y 18)18(2

+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)

1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x

-）（米），

根据题意，得：x x x x y 252

1)250(2+-=-=； 又∵500,02

500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252

1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，

即当25)21(2252=-?-=-=a b x 时，2625)2

1(42504422max =-?-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625

平方米。 3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

解：（1

）设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm

由题意得： 17)420()4(22=-+x x 解得： 4,1621==x x

当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16

答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能。理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为)5(4420x x -=-cm ，围成两个正方形的面积为ycm2，

根据题意，得：

25102)5(222+-=-+=x x x x y ， ∵

25102)5(222+-=-+=x x x x y 中，a= 2＞0，∴y 有最小值， 即当2522102=?--=-=a b x 时，

225241025244422min =?-??=-=a b ac y =12.5＞12 故两个正方形面积的和不可能是12cm2.

4、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y.

(1)求出y 与x 之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.

解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD= a 米．

∵四边形EFGH 为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH ．

在△AEF 与△DHE 中，

∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH

∴△AEF ≌△DHE （AAS ），∴AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x ）米，

∴y=EF 2=AE 2+AF 2=x 2+（a-x ）2=2x 2-2ax+ a 2，即y=2x 2-2ax+ a 2

；

（2）∵y=2x 2-2ax+ a 2=2（x-2a ）2+24a ，∴当x=2a

时，S 有最大值． 故当点E 是AB 的中点时，面积最大．

5、在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．

（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm 2)是多少？

（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm 2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？

答案：

63363

3360726612626262

1)1(2222有最小值等于时；当）（）（）

（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-=

6、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-4x+3）=（35-4x ）米,面积为S

从而S=x(35-4x)-x=-4x 2+34x

∵ 0＜35-4x ≤10 ∴6.25≤x ＜8.75

S=-4x 2+34x,对称轴x=4.25,开口朝下

∴当x ≥6.25时S 随x 的增大而减小

故当x=6.25时, 35-4×6.25=10

S 取最大值56.25㎡.

答：可设计成宽6.25米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

变式1：小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,花圃的宽宽究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?

解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-2x ）米,面积为S

设矩形面积为y 米2,得到：

S=x （32-2x ）=-2x 2+32x

∵ 0＜32-2x ≤10 ∴ 11≤x ＜16

由图象或增减性可知x=11米时,

S 最大=110米2

7：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．

(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；

(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

解：(1) 四边形EFGH 是正方形．

图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点

按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，

故CE=CF =CG ．

∴△CEF 是等腰直角三角形

因此四边形EFGH 是正方形．

(2)设CE=x, 则BE=0.4－x ，每块地砖的费用为y 元

那么：y=x ×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x)×10]

)24.02.0(102+-=x x

3.2)1.0(102+-=x )

4.00(<

答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．

8、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m 2)．

(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

解：

)240(x x y -=)20(22x x --=

200)10(22+--=x

∵152400≤-

∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，

而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，

5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)

答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？

(2)如果中间有n(n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

x

解：(1)∵长为x 米，则宽为350x

-米，设面积为S 平方米．

)50(3

13502x x x x S --=-?=3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，

3625m a x =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．

(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x

米，设面积为S 平方米．

则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-?=2625)25(212++-+-=n x n

∴当25=x 时，

2625

max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．

即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．

10、(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（如果要问，剪去四个正方形后的面积是多少）

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm，

则．即．

解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：

．即．改写为．当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．若按图1所示的方法剪折，

则与的函数关系式为：

x

x

x

x

y?

-

?

+

-

=

2

2

10

2

)

2

8(2

即．

当时，．

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

x x x x y ?-?+-=2282)210(2． 即．

当时，．

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为

cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为

cm2．

11．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；

（2）求支柱的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．

解：（1）根据题目条件，

的坐标分别是．

设抛物线的解析式为，

将的坐标代入，得 解得．

所以抛物线的表达式是．

（2）可设

，于是

从而支柱

的长度是米．

（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．

过点作垂直交抛物线于，则．

根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．

12、

12、(2006年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，?分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD

∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x

∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5

∵1020<

当x=2.5时，S 有最大值12.5

13、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，

则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）

易知CN=4-x ，EM=4-y ．

过点B 作BH ⊥PN 于点H

则有△AFB ∽△BHP

∴PH

BH BF AF =，即3412--=y x ， ∴52

1+-=x y ， x x xy S 52

12+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，

∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，

对于42≤≤x 来说，当x=4时，124542

12=?+?-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

14．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设

BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．

A B C D

P Q

解：∵∠APQ=90°,

∴∠APB+∠QPC=90°.

∵∠APB+∠BAP=90°,

∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°

.∴△ABP ∽△PCQ.

,86,y

x x CQ BP PC AB =-= ∴x x y 3

4612+-=． 15、如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )

A ．424m

B ．6 m

C ．15 m

D ．2

5m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2 5 m 12 m A B C

D

∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴

MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(5

12x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-?==, 当5.2=x 时，y 有最大值． 二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

1、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 . 解：设此函数解析式为：2y ax =，（a ≠0）； 那么

（2，-2）应在此函数解析式上．

则24a -= 即得12a =

-， 那么212y x =-．

2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于

水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图

（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的图（1） 图

关系是45

22++-=x x y .请回答下列问题： (1)柱子OA 的高度是多少米？ (2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

解：（1）把x=0代入抛物线的解析式

得：y=

45，即柱子OA 的高度是4

5 （2）由题意得：当x=2=121-?-（）时，y=49,即水流距水平面的最大高度 （3）把y=0代入抛物线

得：4

522++-x x =0，解得，x 1=12-(舍去，不合题意)，x 2=52 故水池的半径至少要5

2米才能使喷出的水流不至于落在池外 3．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系

.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

解：（1）①设抛物线解析式为：

2y ax c =+， ∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，

∴A （﹣10，0），B （10，0），D （0，4），

∴10004a c c +=??=?，解得：1254a c ?=-???=?，∴抛物线解析式为：21425y x =-+；

②∵要使高为3米的船通过，∴3y =，则213425x =-+，解得：5x =±，∴EF=10米；

（2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW2=BC2+CW2，∴222(4)10r r =-+，解得：14.5r =；

②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：

GF2=WF2﹣WG2，即GF2=14.52﹣13.52=28，所以GF=27，此时宽度EF=47米．

4.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）

A ．2.76米

B ．6.76米

解：设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得

-4=a ×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x 2/25

因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：y=-81/25=-3.24

此时水深6+4-3.24=6.76米

即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B

5、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m ．

（1）在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式；

（2）在正常水位的基础上,当水位上升h （m ）时,桥下水面的宽度为d （m ）,求出将d 表示h 的函数解析式.

（3）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?

解：(1)设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得 -4=a ×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x 2/25

(2)设水面上升hm ，水面与抛物线的交点为（d/2,h-4），带入抛物线得

h-4=-d 2/4×1/25 化简得：d=10√4-h

(3)将d=18代入d=10√4-h 得：h=0.76 所求最大水深为：2+0.76=2.76(米)

所以当水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行

6、林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线

y=?5

1-x 2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ） A ．3.2m B ．4m

解：由题意得：3.05=?5

1-x 2+3.5， x 2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，

∴x=1.5，∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m ，故选B ．

7.如图是江夏宁港灵山脚下古河道上一座已有了400年历史的古拱桥的截面图，这座拱桥桥洞上沿是抛物线形状，若把拱桥的截面图放在平面直

角坐标系中，则抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的

跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，如果在桥洞两侧

壁上各安装一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间

的水平距离是（ ）

A ．3m

B ．4m

C ．5m

D ．6m

解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），

设抛物线解析式为y=a （x-5）2+5，

把点（0，1）代入得：a=-4/25

抛物线解析式为y=-4/25（x-5）2+5， 令y=4，得:x1=15/2 x2=5/2

∴盏景观灯之间的水平距离是：15/2-5/2=5m 故选C ． 先不做此题 7.如图，在“江夏杯”钓鱼比赛中，选手甲钓到了一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看作以A 为最高点的一条抛物线，已知鱼线AB 长6m ，鱼隐约在水面了，估计鱼离鱼竿支点有8m ，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹脚α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为

8.如图，AB 是自动喷灌设备的水管，点A 在地面，点B 高出地面1.5

米．在B 处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线

状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成45°角，水流的最高点C

与喷头B 高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D 到点A 的距离

是 米．

解：如图，建立直角坐标系，过C 点作CE ⊥y 轴于E ，过C 点作CF ⊥x 轴于F ， ∴B （0，1.5），∴∠CBE=45°，∴EC=EB=2米，

∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5，∴C （2，3.5）

设抛物线解析式为：y=a （x-2）2+3.5，

又∵抛物线过点B ，∴1.5=a （0-2）2+3.5 a=-1/2

所求抛物线解析y=-1/2（x-2）2+3.5，即 y=-x 2/2+2x+3/2

∵抛物线与x 轴相交时，y=0，即-x 2/2+2x+3/2=0

∴（舍去）7

27221-=+=x x ∴点D 坐标为）

（0,72+ 水流落点D 到A 点的距离为：米72+

9.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶

点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．

（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）

解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立

直角坐标系，

设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标

为（4，8）．

所以8=a×42 a=1/2 ∴所求抛物线的函数解析

式为：y=x2/2

（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，

则点A、D关于OC对称．

连接BD交OC于点P，则点P即为所求．

（3）由题意知点B的横坐标为2，

∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），

∴点D的坐标为（-4，8），

设直线BD的函数解析式为y=kx+b，

2k+b＝2..........①

?4k+b＝8........②

解得：k=-1，b=4．

∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，

把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），

两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．

10、兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．（提示：利用对称性，答案：2080．）

11、自建平面坐标系求值：(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一

个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．

答案：如图所示建立直角坐标系

则：设c ax y +=2

将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入， ?

??+=+-?=c a c a 5.2)5.0(12，解得???==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．

三、利用抛物线解决最大利润问题

1、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)

解：（1）由题意得出： ：w = (x －20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10000

∵a=-10＜0，x=-b/2a =35，，∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

（2）由题意，得：-10x 2+700x-10000=2000，

解这个方程得：x1=30，x2=40．

∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．

（3）∵a=-10＜0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，W ≥2000.

∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，W ≥2000.

设成本为P （元），由题意，得：P =20(-10x+500)=-200x+10000，

∵k=200＜0，∴P 随x 的增大而减小．∴当x=32时，P 最小=3600．

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

2.我市某工艺厂设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（注：利润=销售总价-成本总价）

销售单价x （元∕件）

… 30 40 50 60 … 每天销售量y （件） … 500 400 300 200 …

（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；

（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；

①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？

②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b

30a+b＝500.........①

40a+b＝400.........②

解得：a＝?10 b＝800 ∴函数解析式为：y=-10x+800

（2）①由题意得出：P=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，

∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；

②∵P=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，

∴当x=50时，P=9000元，

当x=35时，P=6750元，

∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．

3.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x（元/件）…55 60 70 75 …

一周的销售量y

…450 400 300 250 …

（件）

（1）直接写出y与x的函数关系式：y=-10x+1000

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请求出该商家最大捐款数额是多少元？

解：（1）设y=kx+b，

由题意得，

55k+b＝450...........①

60k+b＝400...........②

解得：k＝?10 b＝1000

则函数关系式为：y=-10x+1000；

（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）

=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，

∵-10＜0，

∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，

∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；

（3）∵由40（-10x+1000）≤10000

解得x≥75 ∴当x=75时，利润最大，为8750元．

4、某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为；

（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；

（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元

解：：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；

（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；

(3)当x≤60，y随x的增大而减小，当x=55时，w最大=1125

所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.

5．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，

市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80.

设这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该产品销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

解：（1）由题意得：w=（x-20）?y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，∴w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；，

（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，

∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．

解得x1=25，x2=35．

∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．6．某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系

y=ax2-bx,当x＝1时，ｙ＝1.4；当x＝3时，ｙ＝3.6。

信息2：销售B种产品所获利润y (万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)求二次函数解析式；

(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种

产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

解：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，

代入y=ax2-bx 得a=-0.1 b=1.5

所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据题意可列函数关系式为：

（3）W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6)2+6.6，

因为-0.1＜0，当m=6时，W有最大值6.6，

∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．

7．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．

(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

解：：（1）当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,

300×（12﹣10）=300×2=600元, 即政府这个月为他承担的总差价为600元;

（2）依题意得,w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0,∴当x=30时,w有最大值4000元．

即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;

（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得：x1=20,x2=40．

∵a=﹣10＜0,抛物线开口向下,∴结合图象可知：当20≤x≤40时,w≥3000．

又∵x≤25,∴当20≤x≤25时,w≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p元,

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小,

∴当x=25时,p有最小值500元．

即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．

8．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.

（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？

解：（1）（220－10x）；

∵抛物线的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，随的增大而增大.

由题意可知，∴当x=14时，最大为320.

∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.

9．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：

x 3000 3200 3500 4000

y 100 96 90 80

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.

（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:

租出的车辆数未租出的车辆数

租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元

解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，

将（3000，100），（3200，96）代入得，解得：。

∴。

将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。

∴y 与x 间的函数关系是

。 （2）填表如下： 租出的车辆数

未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （3）设租赁公司获得的月收益为W 元，依题意可得：

当x=4050时，Wmax=307050，

∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元

10、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

解：（1）设

=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=， 故利润关于投资量的函数关系式是=；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =

，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，

故利润2y 关于投资量的函数关系式是222

1x y ；

（2）设这位专业户投入种植花卉万元（

），则投入种植树木(x -8)万元， 他获得的利润是万元，根据题意，得

==

+21y

y

+= =

∵021>=a ∴当时，的最小值是14；

∴他至少获得14万元的利润． 因为，所以在对称轴2=x 的右侧，

z 随x 的增大而增大

所以，当8=x 时，z 的最大值为32．

如图7，把抛物线y=

2

1x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=21x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________________．

解析：设平移后的抛物线m 的解析式为y=

12

x 2+bx+c ，它经过点A （-6,0）和原点O （0，0），代入求出解析式得： b=3 c=o 所以函数的解析式为

12x 2+3x 所以顶点坐标是（－3，－92

）， x=－3时，y=212x =92，所以点Q 坐标是（－3，92

）， OA=6，PQ=2×92=9，所以四边形APOQ 面积是12

×6×9=27,图中阴影部分的面积是 四边形APOQ 面积的12，所以面积是272

m Q

P A x

y

O

图7