八年级上册实数专题训练

实数专题训练

一. 学习目标

1、了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类

能力。

2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义。

3、了解实数范围内相反数、倒数数和绝对值的意义。

4、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。

二. 教学重点与难点

1、 有理数的分类；数轴、相反数、绝对值及有理数的运算。

2、 关于绝对值的化简；有理数的混合运算；符号情况；规律探索题。

3、 绝对值的化简；运算时符号的错误；规律探索无从下手。

三. 考点分析

1. 算术平方根、平方根、立方根的性质。

2. 算术平方根、平方根、立方根的性质。

3. 创新思维题。

四.知识体系与典型例题分析

【无理数】

1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及

“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…

（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理

数。如：2-π是无理数

（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π,

（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），

而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3

2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有

( )个

【算术平方根】：

1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做

a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的

相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例：（1）下列说法正确的是 （ ）

A ．1的立方根是1±；

B ．24±=；（

C ）、81的平方根是3±；

（ D ）、0没有平方根；

（2）下列各式正确的是（ ）

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、

235=-

（3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则

=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的

取值范围。

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的

值.

平方根：

1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的

平方根；，我们称x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x

2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根

例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。

（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多

少？

3. 的性质与22)0()(a a a ≥

（1）

77)0()22=≥=）如：（a a a （2）||2a a =中，a 可以取任意实数。如5|5|52==

3|3-|3-2==）（

例：1.求下列各式的值

（1）27 （2）27-）（ （3）

249-）（

2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。

3.已知2＜x ＜3,化简

=-+|3|)-22x x （ 。

【立方根】

1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3=a,那么这个数x 就叫

做a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。如23=8，则2

是8的立方根，0的立方根是0。

2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方

根是它本身的数有0,1，-1.

例：（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于

（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根

是2，④()4832

±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个

D 、4个

比较两个数的大小：

方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则

a-b ＞0. 方法三：乘方法.如比较3362与的大小。

例：比较下列两数的大小

（1） 2

123-10与 （2）5325与 【实数】

定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最

小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a

1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=?

??<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即

正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两

个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一

实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

（2）数轴上的每个点都表示已个实数。

例：（1）下列说法正确的是（ ）；

A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；

B 、数轴上的点与有理数一一对

应 ；

C 、1和2之间的无理数只有2 ；

D 、不带根号的数都是有理数。

（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A 、b a -

B 、ab

C 、b a +

D 、a b -

（3）比较大小(填“>”或“<”).

-， 76______67，

215- 21， （4）数 2,3-- 的大小关系是 ( )

A. 32<-<-

B. 32-<<-

C. 23-<<-

D.

32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；

______________________________________。

（6）若2,3==b a ，且0

【二次根式】

定义：形如）（0≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数

注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“

”，如9是二次根式，而

9=3,3显然就不是二次根式。

（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。若a 是数，则这个数必须是

非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。

例：下列根式是否为二次根式

（1）3- （2）｜｜3- （3）a - （4）3

2-- 二次根式的性质：

性质1：)0,0(.≥≥=b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方

根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。

性质2：)0,0.( b a b

a b a ≥= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的

二次根式，叫做最简二次根式。

例：1.化简：

（1）1512? （2）)0(2724≥b b a （3）

x

94 2.计算：

32278115.041--+ 32

3811613125.0??? ??-+-

3.已知：()()06

4.01,12173

2-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。

6.（提高题）观察下列等式：回答问题：

①2111111112111122=+-+=++

②6111212113121122=+-+=++ ③1211131311413112

2=+-+=++，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想2

251411++的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

六.随堂练习

一、重点考查题型：

1.－1的相反数的倒数是

2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的

相反数

3.数－3．14与－Л的大小关系是

4.和数轴上的点成一一对应关系的

是

5.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是

6.在实数中Л,－25 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有 个 7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）

（A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数

8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜= 。

9．下列说法正确是（ ）

（A ） 有理数都是实数 （B ）实数都是有理数

（B ） 带根号的数都是无理数 （D ）无理数都是开方开不尽的数

10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：

（1） c-b 和d-a

（2） bc 和ad

二、考点训练：

*1．判断题：

（1）如果a 为实数，那么－a 一定是负数；（ ）

（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）

（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）

（5）任何有理数都有倒数；（）

（6）最小的负数是－1；（）

（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）

（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－22

7

,0，－9 ,－

3－1

8

, －

Л

2

,8 , ( 2 －

3 )0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛｝负分数集合｛｝

整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1

4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

－3, 2 －1， 3，－ 0．3， 3－1， 1 + 2 ， 31 3

互为相反数：互为倒数：互为负倒数：

*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－ 2 ）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，

求|a+b|

2m2+1

+4m-3cd= 。

*7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜

a+2

＝0，求ａ＋ｂ= 。

三、解题指导：

1．下列语句正确的是（）

A、无尽小数都是无理数

B、无理数都是无尽小数

C、带拫号的数都是无理数

D、不带拫号的数一定不是无理数。2．和数轴上的点一一对应的数是（）

A、整数

B、有理数

C、无理数

D、实数

2．零是（）

A、最小的有理数

B、绝对值最小的实数

C、最小的自然数

D、最小的整数

4.如果a是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

（3）ａ的倒数是1

a

，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有

个

*5．比较下列各组数的大小：

(1) 3

2

3 时,

1

a

1

b

6．若a,b满足|4-a2|+a+b

a+2

=0,则

2a+3b

a

的值是

*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中

O是原点，且|a|=|c|

（1）判定a+b,a+c,c-b的符号

（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a是负数；（2）a、b两数异号；（3）a、b互为相反数；

（4）a、b互为倒数；(5)x与y的平方和是非负数；

（6）c、d两数中至少有一个为零；（7）a、b两数均不为0 。*13.数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点。

七.课后总结与回顾

八.课后习题

1．0的相反数是，3－л的相反数是，3

－8 的相反数是；－

л的绝对值是，0 的绝对值是， 2 － 3 的倒数是2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是。

A表示的数是－1

2

，且AB＝

1

3

，则点B表示的数是。

3 －3

3 ,л,(1－ 2 )o,－

22

7

,0．1313…,2cos60o, －3－1 ,1．101001000…

(两1之间依次多一个0),其中无理数有，整数有，负数有。

4. 若a的相反数是27，则｜a|＝；5．若|a|＝ 2 ，则a= 5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是

6．实数可分为（） A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数

*7．若2a与1－a互为相反数，则a等于a=

8．当a为实数时，a2 =－a在数轴上对应的点在（）

A、原点右侧

B、原点左侧

C、原点或原点的右侧

D、原点或原点左侧

*9．代数式

ａ

｜ａ｜

＋

ｂ

｜ｂ｜

＋

ａｂ

｜ａｂ｜

的所有可能的值有个。

10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图

（1）比较a－b与a+b的大小

（2）化简|b－a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜

试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周长。

＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2－（ｍ－8）2九.课后链接