第三章整式的加减

第三章整式的加减

一、基础题

［典例优化解题］

例1下列说法正确的是（）

A、2是单项式

B、不是单项式

C、x的次数是0

D、x的系数0

［解析］因为单独一个数是单项式，所以A项是正确的；因为可以看作是与x的积，所以是单项式，故B项是错误的；因为x的指数是1，所以单项式x的次数是1，而不是0，故C项是错误的；因为x可以看作是1与x的积，所以单项式x的系数是1，而不是0，故D项是错误的。于是应选A。

［答案］A

［点评］解答本题的关键是理解单项式的概念以及单项式的系数和次数。第一，单项式是指含有数字与字母乘积的代数式，如4x，ab，x3，－n，等等；第二，单独一个数或一个字母也是单项式，如2，x，－2003等等；第三，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，如－x的系数是－1；第四，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数，如ab2是三次单项式。下列变式例题都是考查单项式的概念以及单项式的系数和次数。

［变式一］单项式－的系数是（）

A、－1

B、－5

C、－

D、

［解析］本题变化点是考查单项式的系数。单项式的系数包括前面的符号，在书写单项式的系数时，一定要连同它前面的符号一起。另外，还要注意它的分子和分母。因此，－的系数是－。故应选C。

［答案］C

［变式二］单项式－2x3y n是五次单项式，则n的值是。

［解析］本题变化点是利用单项式的次数列方程求解。依题意，得3＋n＝5，所以有，n＝2。

［答案］2

例2下列说法正确的是（）

A、2x＋是多项式

B、2x＋xy是二次二项式

C、2x－3是由2x与3两项组成的一次二项式

D、若一个多项式的次数是4，则这个多项式任何一项的次数都是4

［解析］因为多项式是几个单项式的和，而不是单项式，所以2x＋不是多项式，故A项是错误的；因为2x＋xy含有2x与xy，而且最高次项xy的次数是2，所以，B项是正确的；因为2x－3的项是2x与－3，故C项是错误的；因为在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数，注意是“最高”，而不是“所有”，故D项是错误的。于是应选B。

［答案］B

［点评］解答本题的关键是理解多项式的概念以及多项式的项数和次数等相关概念。第一，几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项；第二，一个多项式含有几项，就叫做几项式；第三，多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数；第四，把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的降幂排列；反之，称为升幂排列。下列变式例题都是考查多项式及其相关的概念。

［变式一］多项式x2－2x2y2＋3y3－25的次数是（）

A、2

B、3

C、4

D、5

［解析］本题变化点是侧重考查多项式的次数。多项式的次数就是“次数最高项的次数”。这里的“最高次数”是单项式的次数，是对字母而言。因此，多项式x2－2x2y2＋3y3－25的最高次项是－2x2y2，其次数为4。故应选C。

［答案］C

［变式二］把多项式5x2＋3xy－4x3y2－y3＋2x4y4按x的升幂排列。

［解析］本题变化点是侧重考查多项式的重新排列。依题意，只需考虑x的指数按从小到大的顺序排列。排列时，注意符号跟着一起移动。

［答案］－y3＋3xy＋5x2－4x3y2＋2x4y4

例3下列说法中，正确的是（）

A、所含字母相同并且次数相同的项是同类项

B、次数相同的项一定是同类项

C、同类项的次数一定相同

D、系数相同的项才是同类项

［解析］根据同类项的定义知，判别同类项的标准：一是字母相同；二是相同字母的次数相同。两者缺一不可，并且要注意的是相同字母的次数相同。因此，A、B两项都是错误的；另外是否为同类项与它们系数的大小无关。因此，D项也是错误的。只有C项是正确的，因为根据单项式次数的定义知，互为同类项的各项的次数就是它们所有字母的指数和，因而一定相同。故应选C项。

［答案］C

［点评］解答本题的关键是理解同类项的概念。第一，所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项；第二，几个常数项也是同类项；第三，同类项的判别与系数无关，也与字母的排列顺序无关。下列变式例题都是考查同类项的概念及其应用。

［变式一］下列每组代数式中，不属于同类项的是（）

A、与－3xy

B、8x2y与8xy2

C、－2ab与3ba

D、23与32

［解析］本题变化点是侧重考查同类项的判别。解答时，应看清题目要求：“不属于同类项”。

［答案］B

［变式二］若2x a＋2y4与－2x5y4是同类项，则a＝。

［解析］本题变化点是侧重考查同类项概念的应用。根据同类项的定义，列方程求解。依题意，得a＋2＝5，解得a＝3。

［答案］3

例4下列各等式中，正确的是（）

A、－x2＋（3x－2）＝－x2＋3x＋2

B、－（x2＋3x）－2＝－x2＋3x－2

C、－x2＋3x－2＝－x2＋（3x－2）

D、－x2＋3x－2＝－（x2－3x－2）

［解析］根据去括号、添括号的法则可知，选项A是错误的，因为括号前是“＋”号，括号里各项都不改变符号；选项B是错误的，因为括号前是“－”号，括号里各项都改变符号,但是解答中只改变了第一项的符号；选项D也是错误的，因为括号里最后一项没有改变符号；只有选项C是正确的。

［答案］C

［点评］解答本题的关键是掌握去括号、添括号的法则。第一，去括号的法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉时，括号里各项都不变符号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉时，括号里各项都改变符号。第二，添括号的法则：添括号后，括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。第三，添括号与去括号正好相反，如－（a－b＋c）－a＋b－c，从左到右是去括号，而从右到左是添括号。因此，添括号正确与否可用去括号来检验，反之亦然。下列变式例题都是考查去括号、添括号的法则及其应用。

［变式一］下列各式中，去括号正确的是（）

A、a＋（b－c＋d）＝a－b＋c－d

B、a－（b－c＋d）＝a－b－c＋d

C、a－（b－c＋d）＝a－b＋c－d

D、a－（b－c＋d）＝a－b＋c＋d

［解析］本题变化点是侧重考查去括号的应用。根据去括号的法则可知，选项A是错误的，因为括号前是“＋”号，括号里各项都不改变符号；选项B是错误的，因为括号前是“－”号，括号里各项都改变符号,但是解答中只改变了第一项的符号；选项D也是错误的，因为括号里最后一项没有改变符号；只有选项C是正确的。

［答案］C

［变式二］添括号：2x－3x2＋5＝5－（）

［解析］本题变化点是侧重考查添括号的应用。根据添括号的法则，题目的括号前的符号是“－”号，所以括到括号里的各项都要改变符号。原来多项式的常数项5没有括到括号内，其余的两项2x、－3x2要括到括号内，因此，必须改变符号。于是，得到2x－3x2＋5＝5－（－2x＋3x2），也可以写成5－（3x2－2x）。

［答案］3x2－2x

［变式联通练习］

题1下列式子中，是单项式的有（）

A、B、C、D、m2－n2

［变式一］单项式－ab2c3的次数是（）

A、－1

B、3

C、5

D、6

［变式二］单项式－4πr 2的系数是（）

A、－1

B、－4

C、4π

D、－4π

题2多项式x4－2x2＋1是次项式。

［变式一］多项式x3－2x2y2＋3y3－25的最高次项的系数是。

［变式二］把多项式5x2＋3xy－4x3y2－y3＋2x4y4按y的降幂排列。

题3下列语句中正确的是（）

A、3abc与－3ab是同类项

B、与2不是同类项

C、－3a2b3与－3a3b2是同类项

D、a2b与－3ba2是同类项

［变式一］在多项式5xy2＋2x3－3x2y－y3中，与2x2y是同类项的是（）

A、5xy2

B、2x3

C、3x2y

D、－3x2y

［变式二］已知25x4与5x n是同类项，则n等于（）

A、2

B、3

C、4

D、2或4

题4把－（a＋b）－c去括号后得（）

A、－a＋b－c

B、－a－b－c

C、－a－b＋c

D、－a＋b＋c

［变式一］添括号：x2－y2＋4y－4＝x2－（）

［变式二］不改变代数式的值，把2a－（3b－4c＋d）括号前的符号变为相反的符号，其中正确的是（）

A、2a＋（3b－4c＋d）

B、2a＋（3b＋4c－d）

C、2a＋（－3b＋4c－d）

D、2a＋（－3b－4c＋d）

二、拔高题

［典例优化解题］

例1把下列各代数式填入相应的大括号里：

a－3，5xy，x2，2003，－0.01，，，，3b＋4c2－d3，n, 3－

单项式集合｛…｝

多项式集合｛…｝

整式集合｛…｝

［解析］分母中含有字母的式子，一定不是单项式，也不是多项式，从而它也一定不是整式。所以首先应排除，，3－。又由单项式、多项式以及整式的定义可知：5xy，x2，2003，－0.01，n是单项式；a－3，，3b＋4c2－d3是多项式；5xy，x2，2003，－0.01，n，a－3，，3b＋4c2－d3是整式。

［答案］单项式集合｛5xy，x2，2003，－0.01，n，…｝

多项式集合｛a－3，，3b＋4c2－d3，…｝

整式集合｛5xy，x2，2003，－0.01，n，a－3，，3b＋4c2－d3，…｝

［点评］解答本题的关键是正确理解单项式、多项式以及整式的概念。第一，单项式是指含有数字与字母乘积的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式；第二，几个单项式的和叫做多项式；第三，单项式和多项式统称整式，即

整式

例2合并同类项：－4x2＋5x2＝

［解析］根据合并同类项的法则，得到－4x2＋5x2＝（－4＋5）x2＝x2

［答案］x2

［点评］解答本题的关键是掌握合并同类项的法则以及合并同类项的一般步骤。第一，把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；第二，合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变；第三，合并同类项的一般步骤是：⑴准确地找出同类项。⑵利用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。⑶写出合并后的结果；第四，合并同类项时，如果两个同类项的系数互为相反数，那么其结果就为0。另外，合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，但是，在每一步运算中不要漏掉。下列变式例题都是考查合并同类项。思维向多层次、多角度拓展和延伸。

［变式一］合并同类项：x2y＋8xy2＋5－3x2y－xy2－2

［解析］本题变化点是侧重考查项数较多的多项式的同类项合并。解答时，一定要先找出同类项，几个常数项也是同类项。另外，还要特别注意，x2y与－xy2不是同类项。

［答案］x2y＋8xy2＋5－3x2y－xy2－2

＝（x2y－3x2y）＋（8xy2－xy2）＋（5－2）

＝（1－3）x2y＋（8－1）xy2＋（5－2）

＝－2x2y＋7xy2＋3

［变式二］合并同类项：－5ba2＋4ab2＋2ab＋5a2b－2ab

［解析］本题变化点是侧重考查系数互为相反数的同类项合并。解答时，应当注意到－5ba2与5a2b是同类项，但它们与4ab2不是同类项。不是同类项的不能合并，但千万不要漏掉。

［答案］－5ba2＋4ab2＋2ab＋5a2b－2ab

＝（－5＋5）a2b＋（2－2）ab＋4ab2

＝4ab2

［变式三］把（x＋y）当作一个因式，合并同类项：

5（x＋y）2－3（x＋y）＋3（x＋y）2＋2（x＋y）

［解析］本题变化点是侧重考查整体变换。解答时，把（x＋y）当作一个因式，找出同类项：5（x＋y）2与3（x＋y）2，－3（x＋y）与2（x＋y）。

［答案］5（x＋y）2－3（x＋y）＋3（x＋y）2＋2（x＋y）

＝［5（x＋y）2＋3（x＋y）2］＋［－3（x＋y）＋2（x＋y）］

＝8（x＋y）2－（x＋y）

［变式四］求多项式5xy－4x2y－xy－xy－xy2＋x2y＋8的值，

其中x＝1，y＝－2。

［解析］本题变化点是侧重考查求代数式的值。解答时，注意到题目中给出的多项式含有同类项，因此，应先合并同类项，再代入数值进行计算。

［答案］5xy－4x2y－xy－xy－xy2＋x2y＋8

＝（5－－）xy＋（－4＋1）x2y－xy2＋8

＝－3x2y－xy2＋8

当x＝1，y＝－2时，

原式＝－3×12×（－2）－1×（－2）2＋8＝6－4＋8＝10

［变式五］解方程：5x－3－2x＋6＝0

［解析］本题变化点是侧重考查解方程。解答时，先合并同类项化简方程，然后求解。

［答案］合并同类项，得x＋3＝0

∴x＝－3

例3求单项式3x2，－2x，－3x2，5x的和。

［解析］根据题意，列出算式：3x2＋（－2x）＋（－3x2）＋5x，然后进行整式的加减运算。

［答案］3x2＋（－2x）＋（－3x2）＋5x

＝3x2－2x－3x2＋5x＝3x

［点评］本题主要考查整式的加减。解答本题的关键是掌握整式加减法的一般步骤以及去括号、合并同类项的法则。第一，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。整式的加减实质上就是合并同类项；第二，整式加减法的一般步骤是：⑴根据题意列出代数式。⑵如果遇到括号，就按去括号法则先去括号。⑶合并同类项；第三，熟练掌握去括号、合并同类项的法则；第四，在学习了整式的加减以后，求代数式的值时，应先化简代数式，再代入计算。下列变式例题都是考查整式的加减。思维向多层次、多角度拓展和延伸。

［变式一］化简：（x2＋3xy－2y2）－（2xy－3y2）＋2（－x2＋3y2）

［解析］本题变化点是侧重考查去括号的法则。解答时，由于题目中有括号，并且最后一个括号前还有系数2，因此，必须运用去括号的法则，并结合分配律，先去掉括号，再合并同类项。

［答案］（x2＋3xy－2y2）－（2xy－3y2）＋2（－x2＋3y2）

＝x2＋3xy－2y2－2xy＋3y2－2x2＋6y2

＝x2－2x2＋3xy－2xy－2y2＋3y2＋6y2

＝－x2＋xy＋7y2

［变式二］2ab＋b2＋＝3ab－b2。

［解析］本题变化点是侧重考查逆向思维能力。依题意，分别将2ab＋b2与3ab－b2看作一个整体。于是，问题转化为：已知和与一个加数，求另一个加数。用减法。从而得到（3ab－b2）－（2ab＋b2）＝3ab－b2－2ab－b2＝ab－2b2。填空时，注意添加括号。

［答案］（ab－2b2）

［变式三］化简求值：x＋3（x－y）－（2x－y），其中x＝2，y＝－3。

［解析］本题变化点是侧重考查求代数式的值。解答时，注意到题目含有括号，应当先去掉括号，再合并同类项，最后代入数值进行计算。

［答案］x＋3（x－y）－（2x－y）

＝x＋3x－3y－2x＋y

＝2x－2y

当x＝2，y＝－3时，

原式＝2×2－2×（－3）＝4＋6＝10

［变式四］长方形的一边长等于2m＋3n，另一边比它小m－n，则这个长方形的周长是。

［解析］本题变化点是侧重考查分析和解决应用问题的能力。依题意，得到另一边长为（2m＋3n）－（m－n）＝2m＋3n－m＋n＝m＋4n。从而，这个长方形的周长是2（2m ＋3n）＋2（m＋4n）＝4m＋6n＋2m＋8n＝6m＋14n。

［答案］6m＋14n

［变式五］已知（x－3）2＋│y＋1│＝0，

求2x2y－［3x2y－（4xy－x2y）＋y2］－xy的值。

［解析］本题变化点是侧重考查综合解决问题的能力。依题意，先根据非负数的性质，得到x、y的值；再将代数式化简；最后代入数值进行计算。

［答案］∵（x－3）2＋│y＋1│＝0

∴（x－3）2＝0，且│y＋1│＝0

∴x＝3，且y＝－1

又2x2y－［3x2y－（4xy－x2y）＋y2］－xy

＝2x2y－［3x2y－4xy＋x2y＋y2］－xy

＝2x2y－［4x2y－4xy＋y2］－xy

＝2x2y－4x2y＋4xy－y2－xy

＝－2x2y＋3xy－y2

当x＝3，y＝－1时，

原式＝－2×32×（－1）＋3×3×（－1）－（－1）2＝18－9－1＝8

［变式联通练习］

题1在代数式ab－3，－x，，，，ax2＋bx＋c，中，是整式

的共有（）

A、4个

B、5个

C、6个

D、7个

题2合并同类项：－x2－x2－x2＝

［变式一］下列各式中，正确的是（）

A、x＋x＝x2

B、－x2＋x2＝0

C、2x2＋3x3＝5x5

D、2x－x＝2

［变式二］合并同类项：－5x2y＋2x2y＋3xy2－4xy＋4xy

［变式三］把（a－2b）当作一个因式，合并同类项：

2（a－2b）2－7（a－2b）＋3（a－2b）－（a－2b）2

［变式四］求多项式5x－5x2－x－x－x2＋4x3＋8的值，其中x＝1。

［变式五］解方程：5x－3－2x＋6＝0

题3计算6a2－2ab－2（3a2＋ab）所得的结果是( ）

A、－3ab

B、3ab

C、3a2

D、9a2

［变式一］已知A＝x2－2x，B＝x－4x2。求2A－B。

［变式二］一个多项式减去多项式2x2－4xy＋3y2得到多项式－x2＋3xy－4y2，求这个多项式。

［变式三］化简求值：3（x2y－xy2）－（x3＋2x2y－xy2－y3），

其中x＝－2，y＝3。

［变式四］已知三角形的周长是24，第一边长为2m＋3n，另一边比它小m－n，求第三边长是多少？

［变式五］已知－x m＋n y2与8x3y m－n是同类项，试求3－m－n＋（2－m＋n）2的值。

三、中考题

［典例优化解题］

例1(1999年河南省）多项式xy2－9xy＋5x2y－25的二次项系数是。

［解析］这是考查整式问题的一道填空题。要确定多项式中某一项的系数，首先应确定这一项，然后再按单项式的系数的定义来确定这一项的系数。所给多项式的二次项是－9xy，而它的系数是－9。

［答案］－9

［点评］本题侧重考查整式的有关概念。解答的关键在于正确理解单项式的系数和次数，从而来确定多项式的次数或多项式中某一项的系数和次数。下列中考题也是属于这种类型的变式。

［变式一］(2001年福建省）把多项式3xy3＋x3y＋6－4x2y2按x的升幂排列是。

［解析］本题变化点侧重考查多项式的排列。把多项式按某个字母作升幂（或降幂）排列，首先要弄清楚各项中该字母的次数。排列时，一定要注意项前面的符号跟着一起移动。

［答案］6＋3xy3－4x2y2＋x3y

例2 (2002年江西省）化简：2a－（2a－1）＝。

［解析］2a－（2a－1）＝2a－2a＋1＝1。

［答案］1

［点评］本题侧重考查整式的加减。解答的关键在于正确掌握去括号的法则和合并同类项的法则。下列几道中考题都是这种类型的变式。

［变式一］(2002年西宁市）若a＜0，则2a＋5│a│等于（）。

A、7a

B、－7a

C、－3a

D、3a

［解析］本题变化点侧重考查绝对值的概念以及整式的加减。根据绝对值的定义，由a＜0，得│a│＝－a。所以，有2a＋5│a│＝2a＋5（－a）＝2a－5a＝－3a。故选C。

［答案］C

［变式二］(1998年广西省）4x2－7x－3－＝2x2－3x＋8。

［解析］本题变化点侧重考查整式的加减和逆向思维能力。已知两个多项式的差和被减式，求减式，用减法。依题意得，（4x2－7x－3）－（2x2－3x＋8）＝4x2－7x－3－2x2＋3x－8＝2x2－4x－11。注意在填空时，要添加括号。

［答案］（2x2－4x－11）

［变式联通练习］

题1(1998年湖南省）单项式－5xy2的系数是，次数是。

［变式一］(1998年杭州市）把多项式1－3x－2x3＋5x2按x的降幂排列是。

题2(2000年杭州市）计算（3a2－2a＋1）－（2a2＋3a－5）的结果是（）

A、a2－5a＋6

B、－7a

C、－3a

D、3a

［变式一］(2000年内蒙古）若a＜0，则7a＋8│a│＝。

［变式二］(1999年荆州市）一个多项式A减去多项式2x2＋5x－3，马虎同学将减号抄成了加号，运算结果得－x2＋3x－7，多项式A是。

四、创新题

［典例优化解题］

例1当x＝1时，代数式px3＋qx＋1的值为2003，则当x＝－1时，代数式px3＋qx ＋1的值为（）

A、－2001

B、－2002

C、－2003

D、2001

［解析］这是一道求代数式的值的选择题。虽然p、q的值都不知道，但仔细观察题目，不难发现所求的值与已知的值之间的关系。当x＝1时，px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2003，而当x＝－1时，px3＋qx＋1＝－p－q＋1＝－（p＋q）＋1。如果把（p＋q）看作一个整体，那么可以由p＋q＋1＝2003，解得p＋q＝2003－1＝2002。从而－p－q＋1＝－（p＋q）＋

1＝－2002＋1＝－2001。故应选A。

［答案］A

［点评］本题着重对学生综合能力的考查。注重代数式变形的技巧。解答本题的关键是“整体变换法”，即把一个代数式看作一个整体的处理问题的方法。

［变式联通练习］

题1已知4x＋3y＝2003，3x－4y＝2002。求7x－y和x＋7y的值。