初中数学专题复习

初中数学专题复习 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲

【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．

⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式；

②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：（1）分两种情况：

当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根.

当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，

∵()()()2

22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.

∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式

都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①∵关于x 的二次函数32)1(32

1-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称，

∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m .

∴抛物线的解析式为12

1-=x y .

②∵()()2

21212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差）

∴12y y ≥（当且仅当1x =时，等号成立）.

（3）由②知，当1x =时，120y y ==.

∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） ∵对于x 的同一个值，132y y y ≥≥， ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0. 又∵23y ax bx c =++经过()5,0-，

∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）

设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立， ∴320y y -≥，

图7

-1

-2-3-3-2-1

-4-5-62

1

1

23

∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >， ∴24(25)(42)04a a a y a

---=最小

≥.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）

∴2(42)4(25)0a a a ---≤. ∴2(31)0a -≤.

而2(31)0a -≥. 只有013=-a ，解得1

3

a =. ∴抛物线的解析式为3

5343123-+=

x x y .

【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.

（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点()11A --，

是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交

于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

（1）由题意得[]2

2224(1)0m m ?=---->（）

解得5

4

m <

210m -≠

解得1m ≠±

当5

4

m <

且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得212(2)11m m -+-+=-

解得31m m =-=，（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++ （3）抛物线的对称轴是5

8

x =

由题意得114B ??

-- ???

， (关于对称轴对称的点的性质要掌握)

1

4

x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)

另设过点B 的直线y kx b =+（0k ≠）

把114B ??

-- ???，代入y kx b =+，得14k b -+=-，114b k =-

1

14

y kx k =+-

281011

14

y x x y kx k ?=++?

?=+-?? 整理得21

8(10)204

x k x k +--+=

有且只有一个交点，21

(10)48(2)04

k k ?=--??-+=

解得6k =

162

y x =+

综上，与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-，1

62

y x =+

【例3】

已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2

21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值；

（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数

根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线2

21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后

的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．

【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b 。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。

【解析】

(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到

对称轴距离相等．

所以，抛物线对称轴31

42

b x -+=-

=

，所以，4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．

因为，24b ac =-V =16-8=8>0． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是

12122b x a -+=

=-+V ，22

122

b x a --==--V ． （3）由（1）可知，抛物线2

241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位

后的解析式为2

241y x x k =+++．

若使抛物线2

241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可．

由24b ac =-V =168(1)k -+=88k -<0，得1k > 又k 是正整数，所以k 得最小值为2．

【例4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若2

5

a >

，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给2

5

a >

,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. （1）依题意，得0a ≠， ∴2442y ax ax a =-+-

()()22

4422 2.

a x x a x =-+-=--

∴抛物线的顶点坐标为(2,2)- （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，

∴24420ax ax a -+-=的根是整数．

∴24164(42)222a a a a a

x a a ±--==±是整数．

∵0a >， ∴2

2x a

=±是整数． ∴

2

a

是整数的完全平方数． ∵2

5

a >， ∴2

5a

<． (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) ∴

2

a

取1，4， 当

21a =时，2a =； 当24a =时，1

2

a = ． ∴a 的值为2或

1

2

． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2

122

y x x =-．

【例5】已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；

（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X 轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.

解：（1）()()2

2241m m m ?=-+-=

∵方程有两个不相等的实数根, ∴0m ≠ ∵10m -≠,

∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.

（2）证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=. ∴()()

()()

2

222121m m m m x m m --±--±==

--.

∴()()12221

121211

m m m m x x m m m -+--++=

=-==

---， (这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)

∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ??

-

?-??

，，，, ∴无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-， （3）∵1x =-是整数 ∴只需1

1

m -是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠，, ∴2m =

当2m =时，抛物线为21y x =-．

把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ()2

23168y x x x =--=-+

【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分 发散思考

【思考1】已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.

（1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2

241y x x k =++-的图象向

下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

()1

2

y x b b k =

+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

【思考2】已知：关于x 的一元二次方程2

2

2(23)41480x m x m m --+-+= （1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．

【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.

【思考3】已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax 2-bx+kc

（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；

（2）求代数式akc

ab

b k

c +-22)(的值；

（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K 的取值即可。第

二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.

【思考4】已知：关于x 的一元二次方程2

2

(21)20x m x m m -+++-=． （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足122

11

m x x m +-=+-，求m 的值．

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，, 发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴123k =，，．

（2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；

当2k =时，方程2

2410x x k ++-=无整数根；

当3k =时，方程2

2410x x k ++-=有两个非零的整数根．

综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．

当3k =时，二次函数为2

242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2

246y x x =+-．

（3）设二次函数2

246y x x =+-的图象与x 轴交于

A B 、两点，则(30)A -，，(10)B ，．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线12

y x b =+经过A 点时，可得32b =；

当直线12

y x b =+经过B 点时，可得1

2b =-．

由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13

22

b -<<．

【思考2解析】

证明： []2

2=2(23)-4414884m m m m ---++V （）=

0,m >Q 840.m ∴+>

∴方程有两个不相等的实数根。

（2）2(23)84

=

(23)212

m m x m m -±+-±+=

∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数． 又∵12＜m ＜40， 252181.m ∴<+< ∴ 5＜21m +＜9．

35216,.2

217,24.63

218,.

2m m m m m m +=∴=+=∴=+=∴=令令令

∴m=24

【思考3解析】

解：由 kx =x +2，得(k -1) x =2.

依题意 k -1≠0.

∴ 1

2

-=

k x . ∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k -1=1或k -1=2.

A

O x

8 6 4 2

2 4

2- 4- 2-

4- 6- 8-

B

∴ k 1= 2, k 2=3.

（2）解：依题意，二次函数y =ax 2-bx +kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a -b +kc , kc = b -a .

∴2

22222222a ab ab

b a ab b a b a ab b a b ak

c ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(

=.12

2

-=--a

ab ab a （3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b )2-4ac = b 2-4ac . 由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.

( i ) 若ac <0, 则-4ac >0. 故Δ=b 2-4ac >0. 此时方程②有两个不相等的实数

根.

( ii ) 证法一: 若ac >0, 由(2)知a -b +kc =0, 故 b =a +kc .

Δ=b 2-4ac = (a +kc )2-4ac =a 2+2kac +(kc )2-4ac = a 2-2kac +(kc )2+4kac -4ac =(a -kc )2+4ac (k -1). ∵ 方程kx =x +2的根为正实数， ∴ 方程(k -1) x =2的根为正实数. 由 x >0, 2>0, 得 k -1>0. ∴ 4ac (k -1)>0. ∵ (a -kc )2≥0,

∴Δ=(a -kc )2+4ac (k -1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac >0,

∵ 抛物线y =ax 2-bx +kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(-b )2-4akc =b 2-4akc ≥0. (b 2-4ac )-( b 2-4akc )=4ac (k -1).

由证法一知 k -1>0,

∴ b 2-4ac > b 2-4akc ≥0.

∴ Δ= b 2-4ac >0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.

【思考4解析】

（1）[]2

2(21)4(2)m m m ?=-+-+- - 22441448m m m m =++--+

90=>

∴不论m 取何值，方程总有两个不相等实数根 （2）由原方程可得12(21)9(21)3

22

m m x +±+±=

=，

∴ 1221x m x m =+=-， -- ∴ 123x x -=

又∵

12

2 1

1

m

x x

m +

-=+

-

∴

2 31

1

m

m

+ =+

-

∴4

m=-

经检验：4

m=符合题意．∴m的值为4．