测控电路第五版李醒飞第4章习题答案

第四章信号分离电路

4-1简述滤波器功能，按照功能要求，滤波器可分为几种类型？

滤波器是具有频率选择作用的电路或运算处理系统，即对不同频率信号的幅值有不同的增益，并对其相位有不同的移相作用。按照其功能要求，滤波器可分为低通、高通、带通、带阻与全通五种类型。

4-2按照电路结构，常用的二阶有源滤波电路有几种类型？特点是什么？

常用的二阶有源滤波电路有三种：压控电压源型滤波电路、无限增益多路反馈型滤波电路和双二阶环型滤波电路。

压控电压源型滤波电路使用元件数目较少，对有源器件特性理想程度要求较低，结构简单，调整方便，对于一般应用场合性能比较优良，应用十分普遍。但压控电压源电路利用正反馈补偿RC网络中能量损耗，反馈过强将降低电路稳定性，因为在这类电路中，Q值表达式均包含-Kf项，表明Kf过大，可能会使Q 值变负，导致电路自激振荡。此外这种电路Q值灵敏度较高，且均与Q成正比，如果电路Q值较高，外界条件变化将会使电路性能发生较大变化，如果电路在临界稳定条件下工作，也会导致自激振荡。

无限增益多路反馈型滤波电路与压控电压源滤波电路使用元件数目相近，由于没有正反馈，稳定性很高。其不足之处是对有源器件特性要求较高，而且调整不如压控电压源滤波电路方便。对于低通与高通滤波电路，二者Q值灵敏度相近，但对于图4-17c所示的带通滤波电路，其Q值相对R，C变化的灵敏度不超过1，因而可实现更高的品质因数。

双二阶环型滤波电路灵敏度很低，可以利用不同端输出，或改变元件参数，获得各种不同性质的滤波电路。与此同时调整方便，各个特征参数可以独立调整。适合于构成集成电路。但利用分立器件组成双二阶环电路，用元件数目比较多，电路结构比较复杂，成本高。

4-3测控系统中常用的滤波器特性逼近的方式有几种类型？简述这些逼近方式的特点。

测控系统中常用的滤波器特性逼近的方式可分为巴特沃斯逼近、切比雪夫逼近与贝赛尔逼近三种类型。

巴特沃斯逼近的基本原则是在保持幅频特性单调变化的前提下，通带内最为平坦。其特点是具有较为理想的幅频特性，同时相频特性也具有一定的线性度。

切比雪夫逼近的基本原则是允许通带内有一定的波动量ΔKp，故在电路阶数一定的条件下，可使其幅频特性更接近矩形，具有最佳的幅频特性。但是这种逼近方式相位失真较严重，对元件准确度要求也更高。

贝赛尔逼近的基本原则是使相频特性线性度最高，群时延函数τ(ω)最接近于常量，从而使相频特性引起的相位失真最小，具有最佳的相频特性。但是这种

逼近方式幅频特性在这三种逼近方式中是最差的。

4-4按照电路组成，滤波电路主要有几种类型？特点是什么？

(1)LC无源滤波器：由电感L、电容C组成的无源电抗网络具有良好的频率选择特性，并且信号能量损耗小、噪声低、灵敏度低，曾广泛应用于通信及电子测量仪器领域。其主要缺点是电感元件体积大，在低频及超低频频带范围品质因数低（即频率选择性差），不便于集成化，目前在一般测控系统中应用不多。

(2)RC无源滤波器：由于电感元件有很多不足，自然希望实现无感滤波器。由电阻R、电容C构成的无源网络。由于信号在电阻中的能量损耗问题，其频率选择特性较差，一般只用作低性能滤波器。

(3)由特殊元件构成的无源滤波器：这类滤波器主要有机械滤波器、压电陶瓷滤波器、晶体滤波器、声表面波滤波器等。其工作原理一般是通过电能与机械能、分子振动能的相互转换，并与器件固有频率谐振实现频率选择，多用作频率选择性能很高的带通或带阻滤波器，其品质因数可达数千至数万，并且稳定性也很高，具有许多其他种类滤波器无法实现的特性。由于其品种系列有限，调整不便，一般仅应用于某些特殊场合。

(4)RC有源滤波器：RC无源滤波器特性不够理想的根本原因是电阻元件对信号功率的消耗，如在电路中引入具有能量放大作用的有源器件，如电子管、晶体管、运算放大器等，补偿损失的能量，可使RC网络像LC网络一样，获得良好的频率选择特性，称为RC有源滤波器，本章重点讨论这种滤波器。此外各种形式的集成滤波器也属于有源滤波器。

4-5滤波器特性参数主要有哪些？

（1）特征频率f c=ωc/(2π)为信号功率衰减到1/2 (约3 dB)时的频率，称为转折频率，一般应用中也常以此作为通带与阻带的边界点。这种划分不够灵活，例如要求通带内测量误差不超过10%，但是通带内转折频率附近信号电压已经衰减到70%左右。f p=ωp/(2π)为通带与过渡带边界点的频率，在该点信号增益下降到一个人为规定的下限，又称通带截频，因为增益误差可以人为地限定，更适合精度较高的应用场合。f r=ωr/(2π)为阻带与过渡带边界点的频率，在该点信号衰耗(增益的倒数)下降到一个人为规定的下限，又称阻带截频。滤波器的另一重要特征频率是它的固有频率f0=ω0/(2π)，也就是其谐振频率，复杂电路往往有多个固有频率。它是当电路没有损耗时，即分母中a j1=0时极点所对应的频率。

（2）增益与衰耗滤波器在通带内的增益Kp并非常数。对低通滤波器通带增益一般指ω=0时的增益；高通滤波器指ω→∞时的增益；带通滤波器则指中心频率处的增益。对带阻滤波器，应给出阻带衰耗，定义为增益的倒数。通带增益变化量ΔKp指通带内各点增益的最大变化量，如果ΔKp以dB为单位，则指增益dB值的变化量。

（3）阻尼系数与品质因数 阻尼系数α是表征滤波器对角频率为ω0信号的阻尼作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标，它是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。α的倒数Q =1/α称为品质因数，是评价带通与带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，后面将要证明，对于常用的二阶带通或带阻滤波器有

ω

ω?=

Q 式中的Δω为带通或带阻滤波器的3dB 带宽，ω0为中心频率。对于只有一个固有频率的带通或带阻滤波器，其中心频率与固有频率ω0相等，二者常常混用。

（4）灵敏度 滤波电路由许多元件构成，每个元件参数值的变化都会影响滤波器的性能。滤波器某一性能指标y 对某一元件参数x 变化的灵敏度记作S x y ，定义为

x

x y

y S y x d d =

灵敏度可以按照定义，根据传递函数确定，但在很多情况下直接计算往往是非常复杂的。在各种滤波器设计的工具书中，一般会给出各种类型滤波器各种灵敏度的表达式。

灵敏度是电路设计中的一个重要参数，可以用来分析元件实际值偏离设计值时，电路实际性能与设计性能的偏离；也可以用来估计在使用过程中元件参数值变化时，电路性能变化情况。该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度不是一个概念，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越强，稳定性也越高。灵敏度问题在滤波电路设计中尤为突出。

（5）群时延函数 当滤波器幅频特性满足设计要求时，为保证输出信号失真度不超过允许范围，对其相频特性φ(ω)也应提出一定要求。在滤波器设计中，常用群时延函数

ω

ωφωd )

(d )(τ=

评价信号经滤波后相位失真程度。τ(ω)越接近常数，信号相位失真越小。 4-6两个特性参数完全相同的低通滤波器级联后，其3dB 截止频率fc 与原来的单个低通滤波器是否一致？其他特征频率是否一致？为什么？

两个特性参数完全相同的低通滤波器级联后，其3dB 截止频率与原来的单个低通滤波器是不一致的，因为级联后在原来的单个低通滤波器的3dB 截止频率fc 处，信号经过两次3dB 衰减，衰减幅度达到6 dB 。同理可以证明，其他特征频率也是不一致的。

4-7证明二阶电路传递函数分母系数均为正时电路是稳定的(提示：极点位置均

位于平面左半部分)

证明：假设二阶传递函数具有如下形式

1220

122)(a s a s a b s b s b s H ++++=

其极点位置为：

2

2

02112,124a a a a a s P P -±-=

1)当

2

0214a a a <时

1

212021

1

24j 2a a a a a a s P -+-= 1

2120212

24j 2a a a a a a s P ---= 02/)Re()Re(2121<-==a a s s P P )

0,0(21>>a a

2)当21024a a a ≥时

02421

2

0212

11

<-+-=a a a a a a s P

02421

202121

2

<---=a a a a a a s P 极点均位于s 平面左半部分，因此电路是稳定的。

4-8试确定图4-3所示的低通滤波器的群时延函数τ(ω)，并证明当ω<<ω0时，

贝赛尔逼近1/Q =(ω)最接近常数。(提示：将τ(ω)展成幂级数，并略去(ω/ω0)4及更高次项)

由二阶低通滤波器的相频特性表达式

???

?

??

?

>-+-≤-=0

2

02002020arctg πarctg )(ωωωωωαωωωωωωαωω?

可以得到

2

2022202

2

020)()()(d d

)(ω

ωαωωωωαωω?ωωτ+-+-== 0

4

0202020])/()(2)/(1[]

)/(1[ωωωωωωωωωα+-++-=Q

当0ωω<<时，将其展成幂级数又可以得到

])0()()(21][)(1[)(4

2020200O

o ωωωαωωωωωωαωτ+-++-

≈ ])()()(31[40

20200ωω

ωαωωωωαo '+-+-

= 当3=α时略去(/)ωω04及更高次项

400])(1[)(ωα

ωωωαωτ-≈'+-

=o

4-9如果带通滤波器可等效成低通与高通滤波电路的级联，那么带阻滤波器呢？

试以带阻滤波器传递函数证明之。

带阻滤波器可等效成低通与高通滤波电路的并联，但是要求低通滤波器的通带截频低于高通滤波器的通带截频，并且相位方向相同。设电路原理框图如图X4-1所示。

图X4-1

U o (s )=H 1 (s ) U i (s )+ H 2(s ) U i (s )=[ H 1 (s )+ H 2 (s )] U i (s )

如果

2

0220

p 1/)(ωωω++=

Q s s K s H , 2

022

p 2/)(ωω++=

Q s s s K s H

则

20

022

02p /)()(ωωω+++=

Q s s s K s H

为带阻滤波器的传递函数。

4-10具有图4-8所示的通带波动为的五阶切比雪夫低通滤波器可由一个一阶基本节与两个二阶基本节等效级联组成。试求两个二阶基本节的品质因数，并确定通带内增益相对直流增益的最大偏离为百分之几。

通带增益波纹系数11010/P -=?K ε=，n /)]/1([sinh 1εβ-==, 由

U i (o (s )

k k Q θβωωθβωωsin sinh 2/,)cos (sinh P 0222p 20=+=

545.4sin sinh 2cos sinh 1

1221=+=

θβθβQ ，178.1sin sinh 2cos sinh 2

2222=+=

θβθβQ

10/π1=θ, 10/π32=θ,

309.0sin 1=θ,

951

.0cos 1=θ，

809.0sin 2=θ,5878.0cos 2=θ，3623.0sinh =β

%6.510

111120

/2

p p ≈-=+-

=?-K K ε

δ

4-11试确定一个单位增益巴特沃斯低通滤波器的传递函数，要求信号在通带

f ≤250Hz 内，通带增益最大变化量ΔK p 不超过2dB ，在阻带f >1000Hz ，衰耗不低于25dB 。

由题意可知，通带截频f p =250Hz ，阻带截频f r =1000Hz 。首先试用二阶电路n =2，根据巴特沃斯低通滤波器幅频特性单调性有

n

K A 2c p

)/(1)(ωωω+=

20lg 2])/(1/1[p 4

c p -=?-≥+K f f dB ， c f =286Hz

阻带衰耗

8.12)/(1lg 204c r r =+=f f a dB

不满足设计要求。试用三阶电路n =3有

20lg 2])/(1/1[6

c p -≥+f f dB ， c f =

阻带衰耗

8.33)/(1lg 206c r r =+=f f a dB

满足设计要求，仿照第二节例题可以确定其传递函数

2

c

c 12

2

c c c sin 2s )s ()(ωωθωωωω+++=s H =]

10951.2)10718.1()[10718.1(10069.563239

?+?+?+?s s s

4-12用单一运放设计一个增益为-1，f c =的三阶巴特沃斯高通滤波器。

首先确定相应低通滤波器的传递函数

6/π1=θ， 2/1sin 1=θ

2c c 122

c c c sin 2s )s ()(ωωθωωωω+++-='s H =))((2c

c 22

c c c ωωωωω++-+s s s

利用频率变换关系s/ω0→ω0/ s 可以得到所求高通滤波器的传递函数

)()())(()(212

c

c 22

c ωωωωωH H s s s s s s H =+++-= 然后确定电路结构。用单一运放构成三阶电路，其中一阶环节可由增益为1的RC 无源电路实现。二阶环节增益为-1，可选无限增益多路反馈型电路，实际电路结构如图X4-2所示。

图X4-2

对一阶电路有

RC

s s

s s s H /1)(c 1+=+=

ω

电容值可参考表4-5选择为μF 1.0=C ，电阻值可按下式计算

Ω≈=

k 821.5π21

c

Cf R R 可选公称值为 k Ω的电阻。 对二阶电路有

2

c

c 2

2

2)(ωω++-=s s s s H C 1仍可参考表4-5选择为C 1=μF。对于所述三阶滤波电路，当0ωω=时，增益为0=ω

时的1/c 0ωω=。因为增益为-1，由二阶无限增益多路反馈巴特沃斯低通滤波器增益表达式（参见表 4-4）可得C 3= C 1。 这时还有三个未知元件R 1、R 2与C 2和两个约束条件

3

221c 3

223

21c 21,

C C R R f C C R C C C παω=

++=

因此答案不唯一。如选择C 1=C 2=μF，则R 1= kΩ，R 2= kΩ。最后选择元件公称值为R 1=2 kΩ，R 2=18 kΩ。

4-13一电路结构如图4-26所示。其中R 0= R 1= R 5=10 kΩ，R 2= kΩ，R 3=47 kΩ,

u )t )

R 4=33 kΩ，C 1=C 2=μF。试确定当电阻R 0断开与接入时电路功能分别是什么？并计算相应的电路参数K p 、f 0与α或Q 。

(提示：令R 0断路，u 1点输出U 11(s )=f 1(s )U i (s )；令R 1断路，U 12(s )=f 2(s ) U o (s )。在两者均接入时,因为R 0= R 1，所以f 1(s )=f 2(s ) =f (s )。U 1(s)= f 1(s )U i (s )+f 2(s )U o (s )= f (s )[U i (s )+ U o (s )])

电阻R 0断开时，前级电路与图4-17 c 完全一样，是一个无限增益多路反馈型二阶带通滤波器，后级是一个反相放大器，增益为- R 4/ R 5=。

2

132********

145i o )11(1C C R R R R R s C C R s C R s

R R U U ++++=

这时电路功能仍为带通滤波器

7121.0)

(2111

345p =+=

C C R C R R R K ，Hz 8.129π2121321210=+=

C C R R R R R f 522.0)

(2

2132

1=+=R R R R R α

Q =

电阻R 0接入时，可按提示进行分析，最后可得到其传递函数

])11(2

1321212415231322

415i o C C R R R R R s C R R R C R C R s C R R s

R U U ++-++=

在给定参数情况下电路仍为带通滤波器，电路参数f 0不变，K p =，α =，Q =。

4-14设计一个品质因数不低于10的多级带通滤波器，如要求每一级电路的品

质因数不超过4，需要多少级级联才能满足设计要求？级联后实际的品质因数为多少？

由带通滤波器多级级联品质因数表达式

Q Q

n n

221

=-

212

146722

22n

n

n Q Q n Q Q =+=

+=(),lg lg[(/)]

.

取n=5,即可满足设计要求。级联后实际的品质因数为Q =。

4-15按图4-14a 与图4-17a 设计两个二阶巴特沃斯低通滤波器，f c =1kHz ，K p =1，其中无限增益多路反馈型电路按书中表4-5与表4-6设计，压控电压源电路中C 1参考表4-5选择，并取C 2= C 1。

由表4-5确定图4-17a 电路电容C 1=μF，相应的换标系数k =100/( C 1f c )=10，查表4-6得到r 1=Ω，r 2= kΩ，r 3= kΩ，C 2= C 1。然后可以得到电路实际参数，R 1= kΩ，R 2= kΩ，R 3=Ω，C 1=μF，C 2=μF。最后选择元件公称值R 1= 30 kΩ，R 2=39 kΩ，R 3=30kΩ，C 1=μF，C 2=μF。

图4-14 a 电路中电容选择可参考表4-5，取值为C 1=μF，C 2=μF。令R 2/ R 1=x ，对相关表达式整理得到

2)1

(33.01221112

2=+=+=

x

x C R C R C R C R α 解之得到x 1 =，x 2 =。

因为]33.0π2/[1c 11f C x R =。如取x 1 =，则R 1= kΩ，R 2= x 1R 1= kΩ；如取

x 2 =，则R 1= kΩ，R 2= x 2R 1=Ω。最后选择元件公称值R 1= 56 kΩ，R 2=15 kΩ或R 1= 15 kΩ，R 2=56 kΩ。

4-16一个二阶带通滤波器电路如图4-14c 所示，其中R 1= 56 kΩ，R 2= kΩ，R 3= kΩ，R 0=20 kΩ，R = kΩ，C 1=1μF，C 2=μF。求电路品质因数Q 与通带中心频率f 0。当外界条件使电容C 2增大或减小1%时，Q 与f 0变为多少？当电阻R 2增大或减小1%呢？当电阻R 2减小5%呢？

由表4-3中相关表达式可得到

Hz 6.144π

212

13212

10=+=

C C R R R R R f

rad/s 6.1131111

20

2313110

=-++=

C RR R C R C R C R Q

ω Q =

当电容C 2增大1%时，仍按上面两式计算得到f 0=，Q =。当电容C 2减小1%时，f 0=，Q =。当电阻R 2增大1%时，f 0=，Q =。当电阻R 2减小1%时f 0=，Q =。当电阻R 2减小5%时，Q 值变负，电路自激振荡。

4-17在图4-19中，当R 03开路，并且R 01R 3= R 02R 2时，u 0为高通输出，u 1输出性质如何？

因为u 0为高通输出，经过一个积分环节输出，相当于乘以一个积分运算符-1/(R 5 C 2s )，所以u 1为带通输出。从传递函数也可以证明这一点，令第一级运放输出为u 2

u s R R sR C u s R R sR C u s i 2201212

1211

11()()()()()=-

+-+

u s R R u s R R u s i 0432402()()()=-

-，u s R C s u s 1520

1()()=- 解之得到

u s u s R R R C s R R C C R R R R s R C s R R R R C C i 1402524512022013

221413512

11

1()()

()

=

+-++

因为R 01R 3= R 02R 2，所以u 1为带通输出。