2013上海市初中数学竞赛(新知杯)
1.已知7
21
,721-=+=
b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者
5432a a a a x +++=时，5)(=x f ，
当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为
___________.
6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________.
7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________.
8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE
二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）
9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA
BC AB 111++的最大值.
10.已知a 是不为0的实数，求解方程组：????
??
?=-=-a
x y xy a y
x
xy 1 11.已知：,1>n n a a a a ,,,,321Λ为整数且2013321321=????=++++n n a a a a a a a a ΛΛ，求n 的最小值.
12.已知正整数d c a 、、、b 满足),13(),13(22-=+=d c b d c a 求所有满足条件的d 的值. 答案：
1.27
10
2- 2.60 3.265 4.0 5.735 6.12-≤≤-m 7.3671 8.59
9.CA BC AB 1
11++4221+≤ 10.经检验原方程组的解为：?????+=+=1
1
2
2a y a a x ，
????
?+-=+-
=1
12
2a y a a x . 11.【解析】2013,1,1,554321===-===a a a a a n 当满足题设等式，下证当4≤n 时，不存在满足等式要求的整数，不妨设n a a a a ≤≤≤≤Λ321，
(1)当4=n 时，611132013??=，当4321,,,a a a a 中有负整数时，必为
??
?==+?-==20132015
,14
34321a a a a a a ，若2013,143==a a 不满足条件，当20152671,344343<≤+?≤?≥a a a a a 无解.不可能，当4321,,,a a a a 中无负整数时，显然
20134≠a ，6714≤a ，容易验证等式不可能成立.
(2)当3=n 时，当321,,a a a 中有负整数时，必为,121-==a a 显然等式不成立，当321,,a a a 中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立.
(3)当2=n 时，21,a a 均为正整数，同上易验证等式不可能成立. 综上所述，n 的最小值为5.
12.85=d
2013上海新知杯初中数学竞赛答案
2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
题号
一
（1~8）
二
总分
9 10 11 12
得分
评卷
复核
一、填空题（每题10分，共80分）
1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三
等分，则直线与之间的距离为_____________。
2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则
的值为______________。
3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得
是等腰三角形，则点的坐标是____________________。
4. 在矩形中，。点分别在上，
使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。
5. 使得是素数的整数共有___________个。
6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值
时，_____________。
7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式
（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。
8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前
项的和，则___________。（这里表示不超过实数的最大整数。）
二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）
9. 如图，是正方形内一点，过点分别作
的垂线，垂足分别为
。已知
，求证：或者
，或者
。
10. 解方程组。
11. 给定正实数，对任意一个正整数，记
，这里，表示不超过
实数的最大整数。
（1） 若，求的取值范围；
（2） 求证：。
12. 证明：在任意
个互不相同的实数中，一定存在两个数
，满足
2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
题号 一
（1~8） 二 总分
9 10 11 12
得分 评卷 复核
一、 填空题（每题10分，共80分）
1. 已知关于x 的两个方程：ΛΛ032
=+-m x x ①，ΛΛ02
=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则
梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编
号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，
h ，使得()()2
2
h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，
2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ，
7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局
得1分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的
5
4
，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），
且abcd 是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分） 9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知?=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC
交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。求证：LC SM //。
解
10. 对于正整数n ，记n n ???=Λ21!。求所有的正整数组()f e d c b a ,,,,,，使得
!!!!!!f e d c b a ++++=，且f e d c b a ≥≥≥≥>。
解
11. （1）证明：存在整数x ，y ，满足202242
2
=++y xy x ；
（2）问：是否存在整数x ，y ，满足?2011422=++y xy x 证明你的结论。 解
12. 对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p ，...，k p ，对于每个
()k i p i ≤≤1，存在正整数i a ，使得1
+<≤i i a i
a i p n p ，
记()k a
k a
a
p p p n p +++=Λ2121例如，()895210026=+=p 。 （1）试找出一个正整数n ，使得()n n p >；
（2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得()n .n p 11>。 解
2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）
1. 已知31=+x x ，则=+++1055101
1x x x x _________。
2. 满足方程()()332
22
=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为__________。
3. 已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，ο，CD 为C ∠的角平分线，则_________。
4. 若前2011个正整数的乘积201121???Λ能被k 2010整除，则
正整数k 的最大值为________。
5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标
分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边
AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。
6. 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，H 分别在
边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是_________。 7. 整数q p ，满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程
0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p ________。
8. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。设
21x x ，是方程02
=++c bx ax 的两个实数根，则平面直线坐标系
内两点()()1221x x B x x A ，，，之间的距离的最大值为_______。 9. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于_______。
10. 设c b a ，，是整数，91≤<<≤c b a ，且1+??cab bca abc 能被9整除，则c b a ++的最小值是_________，最大值是__________。
二、 解答题（每题15分，共60分）
11. 已知面积为4的ABC ?的边长分别为b c c AB b CA a BC >===，，，，AD 是A ∠的角平分线，点'C 是点C 关于直线AD 的对称点，若BD C '?与
ABC ?相似，求ABC ?的周长的最小值。
O
G F
E
H
D
C
B
A E
B
C'
C
D
B
A
12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格
中，使得7个三位数 cfi beh ghi def abc ，，，，
和aei 都能被11整除，求
三位数ceg 的最大值
13. 设实数z y x ，，满足0=++z y x ，且
()()()2222≤-+-+-x z z y y x ，求x 的最大值和最小值
14. 称具有22161b a +形式的数为“好数”，其中b a ，都是整数 （1）证明：100，2010都是“好数”。
（2）证明：存在正整数y x ，，使得161161y x +是“好数”，而y x +不是“好数”。
2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题
（2009年12月6日）
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。
2、在三角形ABC 中，22b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4、已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。
5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边
AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。
i
h g f e d c
b a 第五题图
B
A
6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。
7在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 8方程xyz =2009的所有整数解有 组。
9如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。
10、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD = 90°，AB =BC =10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是 。
二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD =1, AD =3，并且∠BDC =3∠BAC ，求BC 的长。 三、（本题15分）求所有满足下列
条
中
件的四位数abcd ，
2
()abcd ab cd =+其数字c 可以是0。
四、（本题15分）正整数n 满足以下条件：任意n 个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n 。
五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2a b +与2a b +都是有理数，称数对(a,b )是和谐的。
①试找出一对无理数，使得(a ，b )是和谐的；
②证明：若(a ，b )是和谐的，且a +b 是不等于1的有理数，则a ,b 都是有理数； ③证明：若(a ，b )是和谐的，且a
b
是有理数，则a ,b 都是有理数；
第二大题图
C
A
D
2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。 【答案】4，132
-
2、在三角形ABC 中，22b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94
4、已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5
边5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜
小值
AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最为 。
6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程
28610x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。
【答案】2772
第五题图
B
A
7在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】1
33
2
k <<
8方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72
9如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。 【答案】21°
10、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD = 90°，AB =BC =10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正
三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是 。
【答案】300-
二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD =1, AD =3，并且∠BDC =3∠BAC ，求BC 的长。 解：设BC =x
，则BD =
AB =∠ABD 平分
线BE ，则BDE ADB V :V ,因此
23BD DE DA DE =?=。
由角平分线定理可知3DE BD DE BD BD
DE AE AB AE DE AB BD AB BD
=?=?=+++。
因此2
1x +=
，解得BC x ==
第十题图
M C
A
B
第二大题图
C
A
D
E
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd ，2()abcd ab cd =+其中数字c 可以是0。
解：设,x ab y cd ==,，则2100()x y x y +=+，故22(2100)()0x y x y y +-+-=有整数解，由于10< x < 100，故y ≠0。因此22(2100)4()4(250099)x y y y y ?=---=-是完全平方数，
可设2250099t y =-，故99(50)(50)y t t =-+，0≤ 50- t <50+ t 之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50?t = 1或50?t =45，相应得到y =1,25，代入解得
982030
,,12525x x x y y y ===??????===???
o 因此9801,2025,3025abcd =。 四、（本题15分）正整数n 满足以下条件：任意n 个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n 。
解：由于222222222222222,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此n ≥15。
而n =15时，我们取15个不超过2009的互质合数1215,,,a a a K 的最小素因子
1215,,,p p p K ，则必有一个素数≥47，不失一般性设1547p ≥，由于15p 是合数15
a 的最小素因子，因此21515472009a p ≥≥>，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n 最小是15。
五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2a b +与2a b +都是有理数，称数对(a,b )是和谐的。
①试找出一对无理数，使得(a ，b )是和谐的；
②证明：若(a ，b )是和谐的，且a +b 是不等于1的有理数，则a ,b 都是有理数； ③证明：若(a ，b )是和谐的，且a
b
是有理数，则a ,b 都是有理数；
Q
P E D
C B
A
F
P E
D
C
B
A
解：①不难验证11(,),22
a b =是和谐的。
②由已知22()()()(1)t a b a b a b a b =+-+=-+-是有理数，a b s +=是有理数，因此
1
t
a b a b -=
+-，解得121t a s s ??=+ ?-??是有理数，当然b =s ?a 也是有理数。 ③若20a b +=，则a b b
=-是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数。若
20a b +≠，由已知()()()()2
2
2
111
a
a b b b x a a b b
b ++==
++是有理数，a y b =也是有理数，因此
211
y x
b xy -=
-，故21xy b y x -=-是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数。 2008年新知杯上海市初中数学竞赛
一、填空题：
1、如图：在正ABC ?中，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，使得AE CD =，AD 与BE 交于点P ，AD BQ ⊥于点Q .则
=QB
QP
_____________. 2、不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 都成立.则实数a 的最大值为_____________. 3、设n a 表示数4n 的末位数.则=+++2008
21a a a Λ_____________. 4、在菱形ABCD 中，?=∠60A ，1=AB ，点E 在边AB 上，使得12:EB :AE =，P 为对角线AC 上的动点.则PB PE +的最小值为_____________.
5、关于x 的方程
121
22
+=--a a x ax 的解为_____________. 6、如图：设P 是边长为12的正ABC ?内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F .已知321::PF :PE :PD =.那么，四边形BDPF 的面积是_____________.
7、对于正整数n ，规定n !n ???=Λ21.则乘积!!!921???Λ的所有约数中，是完全平方数的共有_____________个.
8、已知k 为不超过2008的正整数，使得关于x 的方程02
=--k x x 有两个整数根.则
所有这样的正整数k 的和为_____________.
E D C B A 9、如图：边长为1的正111C B A ?的中心为O ，将正111C B A ?绕中心O 旋转到222C B A ?，使得1122C B B A ⊥.则两三角形的公共部分（即六边形ABCDE
F ）的面积为_________. 10、如图：已知?=∠=∠9DAC BAD ，AE AD ⊥，且BE AC AB =+.则=∠B _____________.
二、如图：在矩形ABCD 内部（不包括边界）有一点P
，它到顶点A 及边BC 、CD 的距离都等于1，求矩形ABCD 面积的取值范围.
三、已知实数x 、y 满足如下条件：()()??
?
??=-+>->+422020
2y x y x y x y x ，求y x -的最小值.
四、如图：在凹六边形ABCDEF 中，A ∠、B ∠、D ∠、E ∠均为直角，p 是凹六边形
ABCDEF 内一点，PM 、PN 分别垂直于AB 、DE ，垂足分别为M 、N ，图中每条线段的长度如图所示（单位是米），求折线MPN 的长度（精确到0.01米）.
五、求满足不等式n n n n n
?
???+??????+??????+??????131132的最大正整数n ，其中[]x 表示不超过实
数x 的最大整数.
2008年“新知杯”上海市初中数学竞赛
参考答案
提示：
8、答案：48°。
延长BA 至F ，则△ADE≌△AFE，AE 平分∠FED，且∠BFE＝∠ABE，代换一下即可。 10、1×2＋2×3＋3×4＋…＋44×45＝30360
基本功题：首先是：x 2－x －k 的因式分解，其次是求和问题。 二、答案：2＜S≤3/2＋21/2。
本题是考察基本不等式的运用技巧。我估计我的学生可以得一半分。
三、答案：4×31/2/3。换元法技巧而已。只要令x ＝（a +b ）/2，y =(a －b )/2，
P
F
E
D
C
B
A
利用对称性，设y ＞0即可。 四、答案：15.50。 纯粹的解三角形的死做题。
只要边CF ，则与NP 的交点即为中点，并取AB 中点，慢慢解了。 希学生注意：可以使用计算器，一定要掌握。 五、答案：1715。
高斯函数题再加上放大与缩小的应用。
∵[n/2]＋[n/3]＋[n/11]＋[n/13]＜n ，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数。 ∴[n/2]＋[n/3]＋[n/11]＋[n/13]≤n－1 即n －1≥（n －
2006年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、 填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10题，每题10分，共90分）
1、如图，在△ABC 中，70=∠A °，90=∠B °，点A 关于BC 的对称点是A '，点B 关于AC 的对称点是B '，点C 关于AB 的对称点是C '，若△ABC 的面积是1，则 △C B A '''的面积是________________．
2、已知实数f
e d c b a 、、、、、满足如下方程组
??????????
?=
+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++222222f e d c b a f e d c b a f e d c b a f e d c b a f e d c b a f e d c b a ，
则a b c d e f -+-+-的值是_______________．
3、如图，菱形ABCD 中，顶点A 到边BC ，CD 的距离AF AE ,都为5，6=EF ，那么菱形ABCD 的边长为________________．
A'
C'
B'C
B
A
第1题图
F
E
D
C
B
A
第3题图
4、已知二次函数a x x y +-=2的图像与x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是__________________．
5、使得1+n 能整除20062006+n 的正整数n 共有_____________个．
6、[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][]2
7
832-
=+x x x 的所有实数解为_________． 7、如图，ABCD 为直角梯形（90=∠=∠C B °），且BC AB =，若在边BC 上存在一
点M ，使得△AMD 为等边三角形，则AB
CD
的值为
_________________．
8、如图，△
ABC 的面积为S ，
长为p ，
周△C B A '''的
三边在△ABC 外，且与对应边的距离均为h ，则△
C B A '
''的周长为______________，面积为_______________．
9、)1(>n 个整数（可以相同）2007,,212121==+++n n n a a a a a a a a a ΛΛΛ满足，则n 的最小值是________________．
10、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：ΛΛ,,,,21n a a a ，例如：,,813,734,523,312224223222221Λ=-==-==-==-=a a a a 那么，
1009921a a a a ++++Λ的值是___________________．
二、（本题20分）
如图，已知半径分别为1，2的两个同心圆，有一个正方形ABCD ，其中点D A ,在半径为2的圆周上，点C B ,在半径为1的圆周上，求这个正方形的面积．
三、（本题20分）
关于z y x 、、的方程组???=++=++6
32,
23zx yz xy a z y x 有实
数解
),,(z y x ，求正实数a 的最小值．
四、（本题20分）
M
D
C B
A
第7题图
第8题图
第二题图
设A 是给定的正有理数．
（1） 若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理
数z y x 、、，使得A z y y x =-=-2222．
（2） 若存在3个正有理数z y x 、、，满足A z y y x =-=-2222，证明：存在一个三边
长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A ．
2005年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷 （2005年12月11日 上午9：00——11：00）
解答本试卷不得使用计算器
一、填空题：（本大题10小题，前5题每题8分，后5题每题10分，共90分） 1．在小于100的正整数n 中，能使分数1
(3
32)(41)
n n ++化为十进制有限小数的n 的所
有可能值是 。
2．将数码1，2，3，4，5，6，7，8，9按某种次序写成一个九位数：
,abcdefghi A abc bcd cde def efg fgh ghi =++++++令，则A 的最大可能值是
。
3．如果一个两位数5X 与三位数3YZ 的积是29400，那么X+Y+Z= 18 。 #．已知a ，b ，x ，y 都为实数，且2221,433y a x y b =--=--，则a b x y +++ 的
值为 。
5．如图：△OAB 的顶点O （0，0），A （2，1），B （10，1），直线CD ⊥X 轴，并且把△OAB 面积二等分，若点D 的坐标为（x ，0），则x 的值是 。
6．如果两个一元二次方程22010x x m mx x ++=++=与分别有两个不相同的实根，但其中有一个公共的实根α，那么实根α的大小范围是 。
7．如图：在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DC=2AB=2AD ，
若BD=6，BC=4，则S ABCD = 。 （S ABCD 表示四边形ABCD 的面积，下同） 8．如图，ABCD Y 中，点M 、N 分别是边BC 、DC 的中点，AN=1，AM=2，且∠MAN=60°，则AB
的长
是 。
#如图：△ABC 中，点E 、F 分别在这AB 、AC 上，EF ∥BC ，若S △ABC =1，S △AEF =2S △EBC ，则S △CEF = 。
10．设P 为质数，且使关于x 的方程x 2－px －580p=0有两个整数根， 则p 的值为 。 二、（本题20分）
已知矩形ABCD 的相邻两边长为a 、b ，是否存在另一个矩形A ’B ’C ’D ’，使它的周长
和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的1
3
？证明你的结认论。
三、（本题20分）
已知a 、b 、c 都是大于3的质数，且25a b c +=。
（1）求证：存在正整数n>1，使所有满足题设的三个质数a 、b 、c 的和a+b+c 都能被n
整除；
（2）求上一小题中n 的最大值。 四、（本题20分）
如图：在Rt △ABC 中，CA>CB ，∠C=90°，CDEF 、KLMN 是△ABC 的两个内接正方形，已知S CDEF =441，S KLMN =440，求△ABC 的三边长。
2005年（宇振杯）上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题
1、6，31；
2、4648；
3、18；
4、5； 5
、10- 6、1α= 7、18； 8
、
3
9
、5- 10、29
N
D
二、设矩形A ’B ’C ’D ’的相邻两边长为m 、n ，则按题意有m+n=1()3a b +,1
3
mn ab =，因
此m 、n 是二次方程211
()033
x a b x ab -++=的两正根。
∵11
()0,033a b ab +>> ∴上述二次方程有两正根的条件是
即(50(50
(5(50(50a b a b a b a b a b ??-+>-+--
?或或
∴当(5a b ≥+≤或0存在；当
(5(5b a b -<<+时，满足条件的矩形A ’B ’C ’D ’不存在。
三、（1）∵c=2a+5b ， ∴a+b+c=3a+6b=3(a+2b) 又a 、b 、c 都是大于3的质数，故引(a+b+c)，
即存在正整数n>1(例如n=3)，使()n a b c ++
（2）∵a 、b 、c 都是大于3的质数 ∴a 、b 、c 都不是3的倍数 若1(mod3),2(mod)3a b ≡≡，例
252100(mod3)c a b =+≡+≡，这与C 不是3的倍数矛盾
同理，2(mod3),1(mod3)a b ≡≡，也将导致矛盾 因此，只能1(mod3)2(mod3)a b a b ≡≡≡≡或， 于是230(mod3),9()a b a a b c +≡≡++从而
当7,13,2751379a b c ===?+?=时为质数，a+b+c=99=9×11； 当7,19,27519109a b c ===?+?=时为质数，a+b+c=135=9×15； ∴在所有()n a b c n ++的中，最大为9
四、论正方形CDEF 的边长为x ，正方形KLMN 的边长为y ，
则按题设x=21，
y=BC=a ，CA=b ，AB=c ，则a 2+b 2=c 2 注意到2()2CEB CEA ABC ax by S S S ab ???+=+== ∴ab
x a b
=
+……①
又由△AKL ∽△ABC 得AL=b y a g 同理，MB=a
y b g
故2(1)b a c ab
c AL LM MB x y a b ab
+=++=++=g
2abc
y c ab
=
+……②
于是2222222222211111121211()()()()c c y x c ab a b c ab a b a ab b c
-=+-+=++-++=
将它代入②式，可得2
22122yc ab c y
=
=-g 进而 于是a 、b 是二次方程22212221220t -+-=g 的两根 ∵b>a
∴2316311a =-，2316311b =+
2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(前5题每题6分，后5题每题8分，共7 O 分)
1．若关于x 的二次方程x 2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且x 1<1，x 2>1，则实数a 的取值范围是 ．
2．方程x
x x -+
-+-33
4251=3的解是 ． 3．一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍；原二位数是
4．如图，△ABC 中，CD 、CE 分别是AB 边上高和中线，CE=BE=1，又CE 的中垂线过点B ，且交AC 于点F ，则CD+BF 的长为 ．
5．如图，分别以Rt△XYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF 、BCYX 、DEZY ，若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF 的面积为 ．
6．如图，正方形纸片ABCD 的面积为1，点M 、N 分别在AD 、BC 上，且AM=BN=2/5，将点C 折至MN 上，落在点P 的位置。折痕为BQ(Q 在CD 上)，连PQ ，则以PQ 为边长的正方形面积为 ．
7．三个不同的正整数a 、b 、c ，使a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数，则a 、 b 、c 是 ．
8．若实数a 、b 、c 、d 满足a 2+b 2+c 2+d 2=10，则y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 ．
9．已知实系数一元二次方程ax 2+2bx+c=O 有两个实根x 1、x 2，若a>b>c ，且a+b+c=0，则d=|x 1-x 2|的取值范围为 ．
1O ．如图，△ABC 中。AB=AC ，点P 、Q 分别在AC 、AB 上，且AP=PQ=QB=BC ，则∠A 的大小是 ．
二、(本题16分)如图PQMN 是平行四边形ABCD 的内接四边形
(1)若MP∥B C,NQ∥AB，求证：S 四边形PQMN =2
1
S □ABCD ；
(2)若S 四边形PQMN =2
1
□ABCD ，问是否能推出MP∥Bc 或NQ∥AB?证明你的结论．
三、(本题l 6分)设n 是正整数，d 1四、(本题l 8分)如图，已知△ABC，且S △ABC =1，D 、E 分别是AB 、AC 上的动点，BD
与CE 相交于点P ，使S BCDE =9
16
S △BPC ，求S △DEP 的最大值．
2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题
（2003年12月7日 上午9∶00~11∶00） 解答本试卷不得使用计算器.
一、填空题（本大题10小题，前5题每题6分、后5题每题8分，共70分.） 1、设曲线C 为函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为C 1，C 1关于
x 轴对称的曲线为C 2，则曲线C 2是函数y ＝＿＿＿＿＿＿＿＿的图象.
2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元。一天学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两
商店都让利优惠：甲痁实行每买5支送1支（不足5支不送），乙店实行买4支或4支以上打8.5折，小王买13支这种铅笔，最少需要化＿＿＿＿＿元。 3、已知实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，2220.1a b c ++=，则444a b c ++的值是＿＿＿. 4、已知凸四边形ABCD 的四边长为AB ＝8，BC ＝4，CD ＝DA ＝6，则用不等式表示∠
A 大小的范围是＿＿＿＿＿＿。 5、在1，2，3，…，2003中有些正整数n ，使得2x x n +-能分解为两个整系数一次式
的乘积，则这样的n 共有＿＿＿＿＿个。 6、设正整数m ，n 满足m < n ，且
()()2
2
2111123
11m m n n m m +++=+++++L ，则m n +的值是＿＿＿＿。
7、数1，2，3，…，2k 按下列方式排列：
1
2
…
… …… …
任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了k 次后，所取出的k 个数的和是＿＿＿。
创新杯数学竞赛试题
创新杯数学竞赛试题 一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。明阳教育 1．与30以内的奇质数的平均数 最接近的数是 A．12 B．13 C．14 D．15 2．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有 若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去， 这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比 A．不增不减 B．减少1个 C．减少2个 n．减少3个 3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排 播出的方法共有________种。 A．21 B．22 C．23 D．24 4．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是________元． A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.8 5．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007 A．201 B．203 C．204 D．205
6．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有_________盏． A．1004 B．1002 C．1000 D．998 7．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且 a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为 A．1032 B，1132 C．1232 D．1332 8．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是 A．29 B．31 C．33 D．35 9．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是 A．62 B．92 C．512 D．1024 10．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是 二、填空题(5’×12二60’)
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，
－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
１ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
创新杯数学建模竞赛题
2011年天津工业大学“创新杯”数学建模竞赛赛题 要求：1.在A、B、C题中选择一题； 2.按以下格式加封面，在答卷中不得出现班级、姓名等； 3.如不愿意参加假期培训（7.9—7.23）和全国大学生数学建模竞赛的必须在封面声明，不愿自费参加竞赛的同学也请在封面声明； 4.参赛选手务必于2011年6月13日11时之前将纸质版论文上交，老校区同学交到主楼A座606，新校区同学交到第一公共教学楼B区314。
编号：（同学不得填写） ------------------------------------------------------------------- 编号： 队员姓名：队员一：__________________ 班级：___________学号：___________ 队员二：___________________班级：___________学号：___________ 队员三：___________________班级：___________学号：___________ (附：不愿意参加假期培训（7.9—7.23）和全国大学生数学建模竞赛)
A题：一种汽车比赛的最优策略 汽车运动是当前世界上一项重要的体育项目。这项运动比传统的体育项目更具综合性，尤其涉及科学技术的各个方面。数学物理科学在这个项目中自然十分重要。当然，汽车运动的比赛项目也十分丰富。其中的速度赛和节油赛就是两项基本比赛。有人设计了如下的两个比赛项目： 项目1：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下汽车行驶路程最远。 项目2：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下，在确定的比赛路段内，汽车行驶时间最短。 上述两个比赛项目的要点是比赛者应设计自己的最优比赛策略，既是给出定量燃油的消耗速率v(t), 尽量使上述两个项目达到最优效果。既是得到尽量好的比赛成绩。 请在合理的路面阻力和其他阻力假设下建立数学模型，并求出上述两个问题(项目)的最优策略，既是定量燃油的最优消耗律v(t)函数。 当汽车还有能量输入(例如：太阳能)时，如何修正数学模型。
历年初中数学竞赛真题库(含答案)
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S
高中数学竞赛试题
1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案 时间： 2016/3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟. 1.（本小题满分15分） 设集合{} ()() { } 2 2 2 320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2A B =求a 的值； （2）若A B A =,求a 的取值范围； （3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围. 2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== （1）求证：;N M ? （2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =请说明理由.
已知函数4 4 4 )cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2 ,0[π ∈x 有最大值5， 求实数m 的值．
已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．
已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<<x ； （2）如果21历年初中数学竞赛真题库(含答案)
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S
2014年广西创新杯高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准
2014年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试卷参考答案及评分标准 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、函数x x x y +-=)1(的定义域为（ ） A.{|0}x x ≥ B.{|1}x x ≥ C.{|1}{0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤ 答案：C 解析：由(1)0,0x x x -≥≥解得：1x ≥或0x =. 2、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） A. B. C.6 D.4 答案：C 解析：几何体为三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰三角形，,4AB BC AC ==，顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ⊥面ABC ，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6。 3、在区域22:(1)4D x y -+≤内随机取一个点，则此点到点(1,2)A 的距离大于2的概率是（ ） A.13+ B.32π C.13 D.13-答案：A 解析：如图，因为A 点在圆22(1)4x y -+=上，所以到点(1,2)A 的距离大于2的点构成的区域是区域D 内去除它与区域22(1)(2)4x y -+-≤公共部分剩 下的部分，剩下部分的面积为144242433πππ??-??-?=+ ??? ，故 所求事件的概率为41343ππ+=+。 4、已知A 为ABC ?的最小内角，若向量
222211(cos ,sin ),( ,),cos 1sin 2 a A A b A A ==+-则a b ?的取值范围是 ( ) A ．1(,)2-∞ B ．1(1,)2- C ．21[,)52- D ． 2[,)5-+∞ 解：选C. 22222222222cos sin cos sin 1tan 31cos 1sin 22cos sin 2tan tan 2 A A A A A a b A A A A A A --?=+===-+-+++， (0,]3A π∈,tan A ∴∈.21[,)52a b ∴?∈- 5、设x x x f +=3)(，R x ∈，当20πθ≤ ≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立， 则实数m 的取值范围是（ ） A.)1,0( B. )0,(-∞ C. )2 1,(-∞ D. )1,(-∞ 解：选D 因为函数)(x f 是奇函数，所以不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立转化为)1()sin (->m f m f θ，又)(x f 是增函数，所以1sin ->m m θ在]2 ,0[π 上恒成立。当0≥m 时，只要10->m ，解得10<≤m ，当0最新全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ．
七年级数学竞赛试题及答案
普定县城关镇第一中学2011——2012学年度第一学期 七年级数学竞赛试题 学校： 班级： 姓名： ★亲爱的同学，经过这段时间的中学数学学习，你的数学能力一定有了较大的提高，展示你才能的机会来了！祝你在这次数学竞赛中取得好成绩！别忘了要沉着冷静、细心答题哟！ 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（ ） A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 （ ） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 3、255 ，344 ，533 ，622 这四个数中最小的数是………………………（ ） A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子 中一定成立的是…… （ ） A 、c b a ++＞0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->-
6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… （ ） A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克 二、填空题(每小题6分，共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是_____ 8、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当x ＝ c c b b a a + + 时，则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m ＝_________ 时，代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地，去时步行，返回时坐车，共用x 小时，若他往返都座车，则全程 只需x 3 小时，，若他往返都步行，则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数。（14分） （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ，请用n 的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和。（用n 的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2
“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案(2020年九月整理).doc
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-+可以化简为（）． （A）2c a -（B）22 a b -（C）a -（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B） 21 4 a- （C） 1 2 （D） 1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（）． （A）2 3（B）4 （C）5 2（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．
初一数学竞赛题含答案
一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将 正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )． (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33 2. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+2 1b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+2 1b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )， (A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数 4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )． (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l 5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )． (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和 6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )． (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点 7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋b a (b+1)得( )． (A)2a (B)2 b (C)+2 (D)-2 8．已知m<0，-l20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是 12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是 13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，则表中问号“?”表示的数是 梨 梨 苹果 苹果 30 梨 型 梨 梨 28 荔枝 香蕉 苹果 梨 20 香蕉 香蕉 荔枝 苹果 ? 19 20 25 30 14．某学生将某数乘以-1．25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0．25，则正确结果 应是 . 15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和5 1，则线段AB 的中点所表示的数是 . 16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x = 17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后 加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在 年 月．
全国大学生数学竞赛试题及答案
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <第十五届“创新杯”数学建模竞赛赛题
第十五届“创新杯”大学生数学建模竞赛赛题 一、A—D题2018 年“深圳杯”数学建模挑战赛赛题 A题-人才吸引力评价模型研究 B题-无线回传拓扑规划 C题-人体减重机制调控模型及健康效用研究 D题-基于多源监测数据的道路交通流状态重构研究 二、E题 空气污染物的数据特性和相关性分析 雾霾常见于城市, 雾霾的源头多种多样，比如汽车尾气、工业排放、建筑扬尘、垃圾焚烧，甚至火山喷发等等，雾霾天气通常是多种污染源混合作用形成的。但各地区的雾霾天气中，不同污染源的作用程度各有差异。中国不少地区将雾并入霾一起作为灾害性天气现象进行预警预报，统称为“雾霾天气”。 雾霾现在几乎避无可避，其成分中PM2.5和PM10都属于可吸入颗粒物，两者都含有毒、有害物质，而且都能在大气中长期漂浮，输送距离远，对人体健康和空气污染影响大。PM2.5和PM10这两种物质的含量常被用来作为重要的检测指标。 E题附件是某省辖市在其各10个区县布设的检测设备（一个设备号代表一个检测站）采集的一段时间的PM2.5和PM10数据。请根据数据完成以下任务： 1.挑选某2-3个检测设备的采集数据，分析其PM 2.5和PM10含量的数据规律； 2.分析不同地区之间PM2.5和PM10数据的相关性； 3.建立合理的综合评价模型，根据10个区县各检测站的PM2.5和PM10数据，合理给出能够反映该省辖市每天各个时间段的PM2.5和PM10数据。 三、F题 大气污染问题 复旦大学经济学院、中国经济研究中心陈诗一教授和陈登科博士合作的论文“雾霾污染、政府治理与经济高质量发展”在国内权威经济学期刊《经济研究》2018年第2期作为封面文章发表，该论文也是陈诗一教授主持的国家社会科学基金重大项目“雾霾治理与经济发展方式转变机制研究”（项目批准号14ZDB144）的阶段性研究成果。这篇论文首次系统考察了雾霾污染对中国经济发展质量的影响及其传导机制，并估算了中国政府环境治理政策的减霾效果和政府环境治理对中国经济发展质量的影响。此项研究成果在推动中国经济发展方式转变和加快生态文明体制建设方面具有重要的理论价值和政策意义。 F题附件(1、2)为某城市2016年的大气监测数据（数据已做脱敏处理），请结合各监测点的数据，完成以下问题： 1.根据所给数据进行分析，大气污染主要和哪些因素有关， 2.对整个城市的大气污染状况的整体规律进行分析。 3.对各监测点之间的污染状况的相关关联性进行分析。
20xx小学六年级创新杯数学竞赛试题.doc
第十届“创新杯”全国数学邀请赛 小学六年级试卷 一、选择题 （4 分× 10=40 分）（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的） 。 1．2012+2011-2010-2009+2008+2007-2006-2005+ +4+3-2-1=( ) A ．2012 B ．2010 C ．4020 D ．4048 2．有 n 个自然数（数可以重复）其中包括 2012，不包括 0，这 n 个自然数的平 均数是 572。如果去掉 2012 后，剩下 n-1 个数的平均数为 412，那么这 n 个 数中最大的数可以是（ ） A ．2012 B ． 4024 C ．3700 D ．3800 1 3333 1 1 7 ） 3．计算 9999 6666 2012 的结果为（ 6 2 9 9 A ．3333 B ．1331 C ．1332 D ．1321 4．某次知识竞赛共 5 道题，全班 52 人，答对一题得 1 分。已知全班共得 181 分。已知每人至少得 1 分，且得 1 分的有 7 人，得 2 分和得 3 分的人一样多， 得 5 分的人有 6 人，则得 4 分的有（ ）人。 A ．25 B ．30 C ． 31 D ．35 5．李军有一个闹钟，但它走时不准，这天下午 6∶ 00 把它对准北京时间，可到 晚上 9∶00 时，它才走到 8∶ 45。第二天早上李军看闹钟走到 6∶17 的时候 赶去上学，这时候北京时间为（ ） A ．7∶15 B ．7∶24 C ． 7∶ 30 D ．7∶35 6．A 、B 、C 为正整数，且 A 1 24 ，则 A+2B+3C= （ ） B 1 5 C 1 A ．10 B ．12 C ．14 D ．15 7．下列图形，第 10 个图中△比○多（ ）个 A ．44 B ．60 C ．56 D ．45 （ ） （ 2 （ 3 1 8．某校学生到郊外植树，已知老师是学生人数的 ） 1 。若每位男生种 13 棵树，女 3 生每人种 10 棵树，每个老师种 15 棵树，他们共种了 204 棵树，那么老师有 （ ）人。 A ．6 B ．7 C ．5 D ．4 9．如图，每个小方格面积为 1，那么△ ABC 面积为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．11.5 A
河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】 （A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ． 解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1. ∴201520132014c b a ++=20152013 1020141+?+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?，则代数式144+-z x 的值是【 】 （A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ． 解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 （A ）a （B ）b （C ）c （D ）d 图2 图1 d c b a N M 【答】C ． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M （第3题图）
