二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解
二面角的平面角及求法
1．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P
﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角
的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
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（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
→→
设平面α和β的法向量分别为?和?，若两个平面的夹角为θ，则
→→（1）当 0 ≤＜?，?＞≤?
→→→→
2，θ=＜
?，?＞，此时 cosθ＝cos＜?，?＞
=
→→
???
．
→→
|?||?|
?
→→→→→→
（2）当?，?＞≤π时，θ＝cos（π―＜?，?＞）＝﹣cos＜?，?＞=―=
2＜＜
→→???
．→→|?||?|
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人教A版高中数学必修2二面角教案
◆教案 二面角 教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2 【教学目标】 1、知识目标： (1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。 (2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。 2、能力目标： 培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。 3、过程与方法目标： 引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。 4、情感、态度、价值观目标： (1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。 (2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。 (3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值； (4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。 【教学重点与难点】 重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。 难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】 (1)教学方法： 采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。 (2)教学手段： 借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。 【学法指导】 通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。 【教学流程】 【教学过程】
《平面与平面的位置关系》中的《二面角》
《二面角》教案 云南玉溪工业财贸学校 魏华新 一、目的要求 1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。 2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。 3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。 二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。 三、教学过程： （一）、二面角 1、提示问题产生的背景： 问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？ 问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？ 通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领
会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。 2、展现概念形成过程。 问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？ 创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。 问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？ 引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。 由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力），通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。
高中数学《二面角的平面角及求法》练习
高中数学《二面角的平面角及求法》练习 1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中. 证明：平面平面； 若是的中点，求二面角的余弦值． 3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝． （1）求证：平面； （2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值； （3）求二面角的平面角的正切值． 4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论； （2）求二面角的余弦值． 6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将 ，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示． （1）试判断与平面的位置关系，并给出证明； （2）求二面角的余弦值． 7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值．
8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面 上的投影为直线与的交点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 9. （ （1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝ Ⅰ，直线与平面所成的角等于． Ⅱ证明：平面平面； 求二面角的余弦值． 11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，． Ⅰ求证：为直角三角形； Ⅱ求二面角的余弦值． 13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝． （1）证明：面； （2）若，面面，求二面角的余弦值． 14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．
高中数学最全二面角的知识汇编
二面角大小的求法 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小. PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小 例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F
三、垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； 例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3 39 2，求二面角βα--l 的大小. 四、射影法：（面积法） 利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。 P β α l C B A
二面角及其平面角
二面角及其平面角 [引言] 二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法. [概念] 由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面. 图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成 [二面角的度量] 以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直 二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角 [二面角的平面角作法] 做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考 1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角. 2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角 3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角 图2 二面角的平面角的三种作法 [例题1]
已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小 此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步： 1、找到或作出题目中二面角的平面角 2、证明1中的角为所求二面角 3、计算出角的大小 一“作”二“证”三“计算” 下面给出参考解法 解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1） 由三垂线定理得AD⊥l ∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2） ∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离 ∴AO=2√3，AD=4 在Rt△ADO中 ∴sin∠ADO=√3/2 ∵二面角的范围是[0,π] 故∠ADO=60° 即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3） 需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出. [思考] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离. [拓展延伸] 以下内容供有余力的同学参考 面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面
二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解
二面角的平面角及求法 1．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角 的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P ﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角 的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； 1/ 2
高中数学二面角求法及经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
找二面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法． 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例 1 在 60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求： （1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值． 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决 了这个问题，这道题也就解决了一半． 根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略． 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小． 分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面 α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角 的平面角． 总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一 个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用 三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角． （2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 BD AF ⊥” 、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”． 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角 例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果 n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角． 分析：⊥?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD PA PA βα平面PAB ． 因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）． 注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明 图1 图2
二面角的求法(教师版)
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G
高中数学立体几何——二面角问题方法归纳
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1（山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 (1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 练习2（天津）如图，在四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 是矩形． 已知ο 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例3（湖南）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是 CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ; （Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 A B C E D P E A B C F E A B C D D
立体几何二面角5种常见解法
立体几何二面角大小的求法 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 A P H
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小 例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F
二面角的平面角的五种基本图形及作法
二面角的的五种基本图形及其平面角的作法 舒云水 求二面角的关键是要准确作出二面角的平面角，下面介绍二面角的五种基本图形及其平面角作法﹒ 在具体立体几何题中二面角常以图1的形式给出，二面角A- -的两个面以三角形（下文称为面三角形）的形式出现，分BC D 析好这两个面三角形的图形性质特点，是作好二面角的平面角的关键．还有一条线也是非常重要的，这条线是两个面三角形不在二面角棱上的另一个顶点（如图1中的A、D）的连线（下文称为顶点连线）﹒为了叙述方便，将两个面三角形的公共边称为棱底边，图1中 的线段BC为二面角D -的棱底边﹒ BC A- 图 图 1 图 2 图 3 图4 图5 图6 图7 图8 1. 基本图形一：两个面三角形都是以棱底边为底边的等腰三角形﹒ 如图2，在二面角D BD=﹒根据等腰三 AB=，CD BC A- -中，AC
角形的性质：底边上的中线与高重合，取底边BC的中点E，连结 AE、ED，则AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED为二面角D A- -的平面 BC 角﹒ 2.基本图形二：两个面三角形关于棱底边对称全等﹒ 如图3，在二面角D A- -中，⊿ABC?⊿DBC，A与D是对应 BC 点﹒因为两个三角形对称全等，过A作AE⊥BC于E，连结DE，则 DE⊥BC，∠AED为二面角D A- -的平面角﹒ BC 3. 基本图形三：顶点连线垂直于二面角的一面﹒ 如图4，在二面角D -中，AD ⊥平面BCD，过D作DE⊥BC A- BC 于E，连结AE，根据三垂线定理知AE⊥BC，∠AED为二面角-的平面角﹒这种情况在高考题中出现最多﹒ A- BC D 4. 基本图形四：二面角的一个面三角形顶点（不在二面角棱上的顶点）也在的第三个平面内，第三个平面与二面角的另一面垂直﹒ 如图5，二面角D -的面三角形ABC的顶点A在第三个平 BC A- 面ABD内，平面ABD⊥平面BCD，根据平面ABD⊥平面BCD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BCD﹒下一步作法同基本图形三： 过垂足E作EG⊥BC于G，连结AG，则∠AGE为二面角D A- -的 BC 平面角﹒ 5. 基本图形五：无棱二面角﹒ 如图6，两个面三角形只有一个公共点在棱上，这种图形要作二面角的平面角，关键是要作出二面角的棱﹒下面分两种情况谈作棱问题﹒
最新版,二面角求法与经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
高中数学：《二面角》教案
高中数学：《二面角》教案 一、目的要求 1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念,并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。 2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养,从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。 3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系,进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。 二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念,不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。 三、教学过程： （一）、二面角 1、提示问题产生的背景： 问题情境1、在修筑水库的拦水坝时,为了牢固耐用而又经济,必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念）,接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？ 问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？ 通过这二个问题,打开了学生的原有认知结构,为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到,二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要,从而明确新课题研究的必要性,触发学生积极思维活动的展开。 2、展现概念形成过程。 问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？ 创设这个问题情境,为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示,引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。
问题情境4、通过类比,同学们能给出二面角的概念吗？ 引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程,通过类比,迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上,从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果,给予积极的评价,强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。 由教师出示预先准备好的二面角的模型,要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图,为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角,教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力）,通过实际运用,可以促使学生更加深刻地理解概念。 （二）、二面角的平面角 1、揭示概念产生背景。 问题情境5、观察教师预先准备好的几个图形,它们有什么异同？ 引导学生观察发现二面角的倾斜程度不同,即大小不一样。
高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.
由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面 所成的角 一、教学目标 1、知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。 1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板） 四、教学设计 （一）创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？ 承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB 获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A （三）应用举例，强化所学α 例题：课本P.72例3 图2.3-3 做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。 （四）运用反馈，深化巩固 问题：课本P.73的探究问题 做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
求二面角平面角的方法
寻找二面角的平面角的方法 面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点?对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们 并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法. 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型. 1.1二面角的相关概念 新教材⑴在二面角中给出的定义如下： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的 平面角中去研究?教材如下给出了二面角的平面角的概念： 二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一点 0,分别在两个半平 面内作射线AO _ I, BO _丨，则.AOB为二面角〉-丨- 一：的平面角? 2.二面角的求解方法 对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角 形的边角问题加以解决?定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍： 一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介 绍? 2.1定位二面角的平面角，求解二面角 二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角:-a -■的两个面内，分别有A和B两点?已知A和B到棱的距离分别为2和4,且 线段AB =10 ,试求： (1 )直线 AB 与棱a所构成的角的正弦值; (2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.