幂函数及应用全部
学科教师辅导讲义
教学主任签字：
R R R{x|x≠0}[0，＋∞
R
B.
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近
，b>0.
函数零点的存在性定理上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
也就是方程f(x)＝0
幂函数在生活中的应用(教学知识)
幂函数在生活中的应用 例1：按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元） 解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。 已知本金是a元，一期后的本利和为； 二期后的本利和为； 三期后的本利和为； …… x期后的本利和为。 将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得： （计算器算出） 答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。 点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。 例2：设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系是，其中c, k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa，求600 m 高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c ＝ 1.01×105，代入②，得： ，利用计算器得；1000k＝－0.115，所以k＝－1.15×10－4， 从而函数关系是。再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104
答：在600 m高空得大气压强约为9.42×104 Pa。 点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器才能完成。 例3：20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1） （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）？ 解析：（1） 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。 （2）由可得 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。6； 当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105。 所以，两次地震的最大振幅之比是 故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。 点评：正确理解题意是本题的关键，对对数运算技巧的掌握是解决本题的基本保证。
幂函数及函数应用(习题)
1 幂函数及函数应用（习题） 1. 下列函数属于幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =- 2. 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ） 3. A ．p ，q 均为奇数，且 0p q > B ．p 是奇数，q 是偶数，且0p q < C ．p 是偶数，q 是奇数，且0p q > D ．p 是偶数，q 是奇数，且 0p q < 4. 已知幂函数()y f x =的图象过点1(22 ，，则2log (2)f 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 5. 下列不等式在0a b <<的条件下不成立的是（ ） A ．22 b a < B ．1133 a b < C ．223 3 a b - - > D ．11a b --> 6. 若幂函数35()m f x x m -=∈N （）在(0，+∞)上是减函数，且满足()()f x f x -=， 则m 的值可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 函数3()32f x x x =-+的零点为（ ） A ．1，2 B ．±1，-2 C ．1，-2 D ．±1，2
2 8. 已知函数2()2x f x x -=+，那么方程()3f x =的实数解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 设()lg 3f x x x =+-，用二分法求方程lg 30x x +-=在(2，3)内近似解的过程 中得f (2.25)<0，f (2.75)>0，f (2.5)<0，f (3)>0，则方程的根落在区间（ ） A ．(2，2.25) B ．(2.25，2.5) C ．(2.5，2.75) D ．(2.75，3) 12. （1）函数2 y x - =的定义域为______________． （2）函数y =_______________． 13. 已知函数021 ()0x x f x x -?-?=>≤（）（） ，则((2))f f -=_________． 14. 如图，点2)在幂函数()f x 的图象上，点1 (2)4 -，在幂函数g 上，若()()f x g x =，则x 的值为___________． y
赏析幂函数的图象特征及应用
一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.
解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。
函数的应用(含幂函数)提高训练C组
函数的应用（含幂函数）提高训练C组一、选择题 1函数（） A是奇函数，且在上是单调增函数 B是奇函数，且在上是单调减函数 C是偶函数，且在上是单调增函数 D是偶函数，且在上是单调减函数 2已知，则的大小关系是（） A B C D 3函数的实数解落在的区间是( ) A B C D 4在这三个函数中，当时， 使恒成立的函数的个数是（） A个B个C个D个 5若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是（） A函数在区间内有零点 B函数在区间或内有零点 C函数在区间内无零点 D函数在区间内无零点
6求零点的个数为（） A B C D 7若方程在区间上有一根，则的值为（） A B C D 二、填空题 1函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为 2若函数的零点个数为，则______ 3一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒 4函数与函数在区间上增长较快的一个是 5若，则的取值范围是____________ 三、解答题 1已知且，求函数的最大值和最小值 2建造一个容积为立方米，深为米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元，把总造价（元）表示为底面一边长（米）的函数 3已知且，求使方程有解时的的取值范围
（数学1必修）第三章函数的应用[提高训练C组]参考答案 一、选择题 1A为奇函数且为增函数 2C 3B 4B作出图象，图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如指数函数的图象；向下弯曲型，例如对数函数的图象；5C唯一的一个零点必然在区间 6 A 令，得，就一个实数根 7 C 容易验证区间 二、填空题 1对称轴为，可见是一个实根，另两个根关于对称 2作出函数与函数的图象,发现它们恰有个交点 32000年：（万）；2001年：（万）； 2002年：（万）；(万) 4幂函数的增长比对数函数快 5在同一坐标系中画出函数与的图象，可以观察得出 三、解答题 1．解：由得，即
幂函数的运算及应用题
黄岩中学 2006学年第一学期 高一第一次过关测试题 数 学（实验班） （命题人：王建华 鲍德法 时间：2006/10） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的. 1.集合{ }3,2,1的真子集个数是 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2. 函数3 1 -= x y 的定义域是 （ ） A.[)+∞,3 B. [)+∞,0 C.()()+∞∞-,3(3,Y D. ()+∞,3 3.下列函数中，在区间()2,0上是增函数的是 （ ） A ．x y = B ．1+-=x y C ．542+-=x x y D ．x y 2 = 4．已知幂函数)(x f 的图象经过点??? ? ??22, 2，则)4(f 的值为 （ ） A ．16 B ． 161 C ．2 1 D ．2 5.如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A.3a ≥- B ．3a ≤- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6.设2log 3t =,那么3log 4= ( ) A ．1 t B ．2t C. 232t D ．223 t 7.0.7 0.8 a =, 0.9 0.8b =,0.8 1.2 c =的大小关系是 ( ) A.a b c >> B. c a b >>
C.b c a >> D. b a c >> 8.若函数()log a f x x = (01a <<)在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍,则a = ( ) A. 4 B. 2 C. 12 D. 14 9．函数2 ()lg( 1)1f x x =-+的图像 ( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y x =对称 10．若1,10-<<- 12.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函 数为“同族函数”，那么函数解析式为2x y -=，值域为{-1，-9}的“同族 函数”共有 ( ) A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上. 13.已知函数5(6) ()(2)(6) x x f x f x x -≥?=?+=-a a x a a x 的解的个数是 . 16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2 ()2f x x x =-,则当0x <时的表达式为()f x = .
函数的应用(含幂函数)基础训练A组
函数的应用（含幂函数）基础训练A组 一、选择题 1若 上述函数是幂函数的个数是（） A个B个C个D个 2已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（） A函数在或内有零点 B函数在内无零点 C函数在内有零点 D函数在内不一定有零点 3若，，则与的关系是（） A B C D 4求函数零点的个数为（） A B C D 5已知函数有反函数，则方程（） A有且仅有一个根B至多有一个根 C至少有一个根 D以上结论都不对 6如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） A B C D 7某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（）
A亩B亩C亩D亩 二、填空题 1若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是= 2幂函数的图象过点，则的解析式是_____________ 3用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 4函数的零点个数为 5设函数的图象在上连续，若满足，方程 在上有实根 三、解答题 1用定义证明：函数在上是增函数 2设与分别是实系数方程和的一个根，且 ，求证：方程有仅有一根介于和之间3函数在区间上有最大值，求实数的值 4某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？ 数学1（必修）第三章函数的应用[基础训练A组]参考答案 一、选择题 1C是幂函数 2C唯一的零点必须在区间，而不在 3A，
4C ，显然有两个实数根，共三个； 5B可以有一个实数根，例如，也可以没有实数根，例如 6D或 7C 二、填空题 1设则 2， 3令 4分别作出的图象； 5见课本的定理内容 三、解答题 1证明：设 即， ∴函数在上是增函数 2解：令由题意可知
幂函数的图像性质和应用
幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n a -= （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 1、 幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
0n < 幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． O x y O x y O x y
人教版数学高一-人教数学A版必修一第三章《函数的应用(含幂函数)》提高训练(含详细解析)
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数） [提高训练C 组] 一、选择题 1 函数3y x =（ ） A 是奇函数，且在R 上是单调增函数 B 是奇函数，且在R 上是单调减函数 C 是偶函数，且在R 上是单调增函数 D 是偶函数，且在R 上是单调减函数 2 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A a b c << B c a b << C a c b << D b c a << 3 函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( ) A [0,1] B [1,2] C [2,3] D [3,4] 4 在,,log ,22 2x y x y y x ===这三个函数中，当1021<<
幂函数及函数应用(讲义)
幂函数及函数应用（讲义） ? 知识点睛 一、幂函数 1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2. 函数图象及图象性质 （1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3 ，12 y x =，1y x -=的图象： （2）图象性质 （3）幂函数图象的画法 第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势． ①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如 1 2 y x =； ③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．
① 当m n α= （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． ② 当m n α=- （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． 3. 幂函数指数变化与图象分布规律 函数y x α=在第一象限的图象： ①a y x =；②b y x =；③c y x =；④d y x =；⑤e y x =；⑥f y x =， 则有a 高中数学幂函数公式的应用总结
高中数学幂函数公式的应用总结 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在 第二、三象限内，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果 幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 1高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向 的数轴上的点表示因变量。 2一次函数：①若两个变量,间的关系式可以表示成为常数，不等于0的形式，则称是的一次函数。②当=0时，称是的正比例函数。 3高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐 标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当0，O，则经2、3、4象限;当0，0时，则经1、2、4象限;当0，0时，则经1、3、4象限;当0，0时，则经1、2、3象限。 ④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。 4高中函数的二次函数： ①一般式：，对称轴是 顶点是; ②顶点式：，对称轴是顶点是; ③交点式：，其中，是抛物线与x轴的交点 5高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴左侧，值随值的增大而减少;在对称轴右侧;的值随值的增大而增大。 当时，取得最小值 ③时，在对称轴左侧，值随值的增大而增大;在对称轴右侧;的值随值的增大而减少。 当时，取得最大值
高中函数的图形的对称 1轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 2中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
幂函数及函数综合(人教A版)(含答案)
幂函数及函数综合（人教A版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.下列函数是幂函数的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 2.若是幂函数，则m的值为( ) A.2 B.1 C. D.-1 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 3.函数的单调递减区间是( ) A.(-∞，0) B.[2，+∞) C.(-∞，1] D.[1，+∞) 答案：A
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 4.已知，，下列不等式(1)；(2)；(3)； (4)；(5)中恒成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 5.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B.
C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 6.下列命题中正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点 C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图像 7.设函数，则的值为( ) A. B.
C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用 8.函数的图象( ) A.关于原点对称 B.关于直线y=-x对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用 9.设函数定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当时，，则( ) A. B.
幂函数及应用全部
学科教师辅导讲义 教学主任签字：学员编号：年级：高一课时数：2课时学员：浩翔辅导科目：数学学科教师： 授课日期及时段2017年2月11日 教学目标1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。 2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。 重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题 一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． [化解疑难] 1．幂函数的特征 (1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)xα前的系数为1，且只有一项． 2．指数函数与幂函数的辨析 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数. ：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x 1 2 ，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象． [化解疑难] 常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝x 1 2
图象 定义域 R R R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(－∞，＋ ∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增 定点 (1,1) [化解疑难] 幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． [例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝? ?? ??12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法] 判断一个函数是否为幂函数的方法
生活中的幂函数问题
高考数学复习点拨：生活中的幂函数问 题 生活中的幂函数问题 数学本来就是来源于生活，因此在现实生活中有许多有趣的 数学问题，我们刚刚学过一些函数知识，在学习过程中多留 心观察、多收集一些社会生活方面的问题，注意从数学角度 理解、分析、研究、把握问题，思考能否用已学过的某种函 数模型来研究问题。经常这样做，不仅可以巩固所学知识， 激发学习热情，而且有利于学生树立运用数学的意识，培养 他们的探索精神。 例.为合理用电缓解电力紧张，某市将试行"峰谷电价"计费 方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0. 56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行"峰谷电价"的居民户电价为每千瓦时0.53 元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x千瓦时．(1)写出实行峰谷电价的电费y1=g1(x)及现行电价的电费 y2=g2(S)的函数解析式及电费总差额f(x)=y2-y1的解析式； (2)对于用电量按时均等的电器（在任何相同的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？ (3)若每户实行"峰谷电价"的居民需缴纳安装"分时段电能计 量表"的成本费100元．在用电量按时均等的条件下，一户
居民要在一年内收回安装"分时段电能计量表"的成本费，每户每月用电至少要不低于多少千瓦时（结果取整数）？ 分析：第(1)小题易解．对于第(2)问，能否省钱，即看 f(x)0是否可能成立．对于第(3)问，由f(x)的意义，令f (x)≤100,求出总用电量S的最小值即可． 解：(1)总用电量为S千瓦时，高峰时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为(S-x)千瓦时， y 1=0.56x+(S-x)×0.28＝0.28S+0.28x；y2=0.53S.电费总差额 f(x)= y2- y 1=0.25S-0.28x(0≤x≤S)． (2)可以省钱． 令f (x)0，即0.25S-0.28x0. 对于用电量按时均等的电器而言，高峰用电时段的时间与总时间的比为,能保证f(x)0,即y1y2． 所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱． (3)由(2)知，根据按时均等用电可知，即x=S.令f(x)＝0.25S-0.28x≥100， 即0.25S-0.28×S≥100，≤97. 即每月用电量至少不低于97千瓦时，才能在一年内收回成本． 点评: 本题从电费问题抽象出的函数模型.在解题过程中渗
2015 幂函数及应用
良好的开端是成功的一半 一、幂函数的定义 :一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质:（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数;（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 题型一 幂函数的定义： 例1、1.在下列函数中，哪些是幂函数 （1）2x y = （2）2 3x x y += （3）x y = （4）1x 3y 2 += （5）2 x 2y = （6）0 x y = 2、已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数， 且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 例2．1、函数2 23 ()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 3.已知函数()() 2 2 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。 3．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 型一 幂函数的定义域和值域 例3 、求下列函数的定义域： （1）23 y x = （2）56 y x = （3）45 y x -= （4）32 y x - = 1．已知f(x)＝2 x 2，(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最 大值． 2、（1）试求函数2 ) 2(-+=x y 的定义域、值域、单调性，并画出草图。 3、函数12 2 4 (42) (1)y mx x m m mx - =++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）． Ａ．12)， Ｂ．1 )+，∞ Ｃ．(22)-， Ｄ．(11-- 4、求函数y ＝52x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）值域． 题型一 幂函数的单调性应用 1. 比较下列各组数的大小。 例4.（1） 253- 2 51.3- （2）32)32(-- 32)6(-π- （3） 8.05.0 24.0- （4） 32)32(- 31 )2 1 (- 1、比较大小：（1）1 12 2 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 2 、已知点在幂函数()f x 的图象上，点124? ?- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有： （１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 2.利用幂函数的性质求解不等式 例5、根据幂函数的单调性求下列各式中参数a 的范围 （1）43435.0>a （2）3 232)42()2(+>-a （3）22)23()1(--->+a a 1.已知函数2 23 n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画 出函数的图象． 2．已知幂函数3p y x -=()p N *∈的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足 33 (1)(32)p p a a -<+ 的 a 的取值范围． 3、已知幂函数2 m 2m 3 *f(x)x (m N )--=∈的图象关于y 轴对称，且在区间)(∞+,0上是单调减函数。 （1） 求m 的值．解关于a 的不等式m m 3 3 (a 1)(32a) -- +<- 题型一 幂函数的图像与奇偶性 例6、已知函数5 )(3 13 1 - -= x x x f 证明)(x f 是奇函数。 （2）求)(x f 的单调区间。 1、 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象， 比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 2、下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数α x y =的图象 是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数α x y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 【同步练习】 1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ．y Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 1α 3α4α 2α
函数的应用(含幂函数)(必修1第三章)巩固训练题
函数的应用（含幂函数）（必修1第三章）巩固训练题 满分100分，时间80分钟 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。) 1 若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A 若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B 若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D 若0)()( 良好的开端是成功的一半 类型一、幂函数定义的应用： 1、已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数. 2、已知y=(m 2+2m-2)·2 1 1 m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值. 3.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、 二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 . 类型二、幂函数的图象与性质应用： 1、单调性与值域：①. 已知点在幂函数()f x 的图象上，点124? ?- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上．定 义()()()()()()()≤??=?>??f x f x g x h x g x f x g x ，， ，． 试求函数h(x)的最大值以及单调区间. ②、求函数y ＝5 2 x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）值域． 2、解不等式： 已知点在幂函数()f x 的图象上，点124? ?- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为 何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 3、比较大小： ⑴.试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小. ⑵．已知函数f(x)＝x α (0＜α＜1),对于下列命题：① 若x ＞1,则f(x)＞1； ② 若0＜x ＜1,则0＜f(x)＜1;③ 若f(x 1)＞f(x 2),则x 1＞x 2； ④ 若0＜x 1＜x 2,则2 211) ()(x x f x x f < .其中正确的命题序号是 ________. 4、数形结合： 1.已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足() () --+<-m m 3 3 a 132a 的a 的取值范围. 14． 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象， 比较1,,,,,04321αααα的大小 （ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 9．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 类型三、求参数的取值范围 1、已知函数223 ()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f < ，求m 的值，并确定()f x 的解析 式． 2、已知幂函数f (x )＝3 m 2-2 -m x (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋ 1)－m 3＜(3－2a )－m 3的a 的取值范围． 类型四：求解存在性问题 3、已知函数2 ()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存 在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(] 4--，∞是减函数，且在区间(40)-， 上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 类型五：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况 4、 讨论幂函数2 221 ()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．函数 12 24 (42) (1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）． Ａ．12)， Ｂ．1 )+，∞ Ｃ．(22)-， Ｄ．(11-- 综合练习：1.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 （）幂函数 （）对数函数 （）指数函数 （）余弦函数 2.已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是()()(0，+∞) ()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0) 3．已知幂函数f (x )＝x α部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |0 第三章 函数的应用（含幂函数） [基础训练A 组] 一、选择题 1．若)1(,,)1(,1,4,)2 1(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y x x 上述函数是幂函数的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 3．若0,0,1a b ab >>>，12 log ln 2a =，则log a b 与a 2 1log 的关系是（ ） A ．12 log log a b a < B ．12 log log a b a = C ．12 log log a b a > D ．12 log log a b a ≤ 4． 求函数132)(3 +-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对 6．如果二次函数)3(2 +++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞ 7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩 二、填空题 1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。 2．幂函数()f x 的图象过点 （，则()f x 的解析式是_____________。 3．用“二分法”求方程0523 =--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ， 那么下一个有根的区间是 。 4．函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。 5．设函数)(x f y =的图象在[],a b 上连续，若满足 ，方程0)(=x f 在[],a b 上有实根．2015 幂函数及应用
函数的应用(含幂函数)