哈工大概率论与数理统计第三版
哈工大概率论与数理统计第三版
《哈工大概率论与数理统计第三版》是一本深入浅出的数学基础教材，它囊括了概率论和数理统计的相关概念、原理和应用。本书内容丰富，涵盖了多个重要的概念和定理，对于深入理解和掌握概率论和数理统
计的知识具有重要意义。
在接下来的文章中，我将以从简到繁的方式，逐步深入探讨《哈工大
概率论与数理统计第三版》中的一些重要内容和理论，帮助读者更好
地理解这本教材，并对概率论和数理统计有一个全面、深刻的认识。
一、概率论的基本概念和原理
在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，概率论的基本概念和原理
是学习的重点之一。概率论作为一门独立的数学学科，是研究随机现
象的规律性和统计规律的一门学科，其理论和方法对于解决实际问题
具有重要的应用价值。教材中介绍了概率的定义、性质和常见的概率
分布，如离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，以及它们的
性质和应用。通过对这些基本概念和原理的学习，读者可以建立起对
概率论的基本认识和理解。
二、数理统计的基本概念和方法
除了概率论，数理统计是另一个重要的学习内容。数理统计是利用数
学的方法对统计数据进行分析和推断的一门学科，是概率论的一种应用。在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，数理统计的基本概念
和方法也得到了详细的介绍和阐述。教材中介绍了样本和总体的概念，以及常见的统计推断方法，如点估计、区间估计和假设检验等。通过
对这些内容的深入学习，读者可以了解数理统计的基本原理和方法，
有助于他们更好地应用数理统计的知识进行实际问题的分析和解决。
三、概率论与数理统计的应用
除了学习概率论和数理统计的基本概念和原理，教材中还介绍了概率
论和数理统计在实际问题中的应用。在金融、医学、工程等领域，概
率论和数理统计的方法被广泛应用于数据分析、风险评估、质量控制
等方面。通过学习这些应用实例，读者可以更好地理解概率论和数理
统计的实际应用，并将理论知识转化为实际工作中的技能。
总结回顾
通过本文的阐述，我希望读者对《哈工大概率论与数理统计第三版》
有了更深入的了解和认识。概率论和数理统计作为一门重要的数学基
础学科，对于理工科学生和研究人员具有重要的意义。通过深入学习《哈工大概率论与数理统计第三版》，读者可以建立起对概率论和数
理统计的深刻理解，为他们的学习和科研工作奠定坚实的基础。
个人观点和理解
作为一名数学爱好者，我对概率论和数理统计有着浓厚的兴趣。通过
学习《哈工大概率论与数理统计第三版》，我深刻体会到了概率论和
数理统计的重要性和实用性，同时也加深了我对数学学科的理解和认识。我相信，通过不断地学习和探索，我能够更好地应用概率论和数
理统计的知识，为实际问题的解决贡献自己的力量。
在知识的文章格式中，我将以上内容进行整理和排版，以便读者能够
更好地阅读和理解。我会在文章中多次提及《哈工大概率论与数理统
计第三版》中的相关概念和方法，以帮助读者更好地理解和掌握这些
知识。希望我的文章能够对读者有所帮助，让他们对概率论和数理统
计有一个更全面、深刻和灵活的认识。四、概率论的应用领域
概率论作为一门基础学科，其应用领域非常广泛。在金融领域，概率
论被广泛应用于风险评估和投资决策。通过概率论的方法，可以对股票、债券等金融产品的价格走势进行预测，从而帮助投资者做出更加
理性和科学的投资决策。在医学领域，概率论被用于疾病的发病率预
测和药物疗效评估，为医生提供科学依据，指导临床诊断和治疗。在
工程领域，概率论被应用于可靠性分析和系统优化设计，帮助工程师
提高工程设计的安全性和可靠性。这些都是概率论在实际领域中的重
要应用。
五、数理统计的应用领域
与概率论类似，数理统计作为一门应用学科，其应用领域也非常广泛。在市场调研和商业决策中，数理统计被广泛应用于分析顾客消费行为
和市场趋势，为企业提供科学的营销策略和决策支持。在环境科学和
气象学领域，数理统计被应用于气候变化的趋势分析和自然灾害的发生概率预测，为政府部门提供科学的应对策略。在生物医学领域，数理统计被用于临床试验数据分析和疾病流行病学研究，为医学科研提供科学依据。这些都是数理统计在实际领域中的重要应用。
六、概率论与数理统计的发展趋势
随着信息技术的快速发展和大数据时代的到来，概率论和数理统计的发展也面临着新的机遇和挑战。在大数据分析和人工智能领域，概率论和数理统计的方法被广泛应用于数据挖掘和模式识别，为企业和科研机构提供创新性的解决方案。概率论和数理统计也在不断地发展和完善，在新技术和新领域中展现出了新的应用前景。未来，随着人工智能、物联网等新兴技术的发展，概率论和数理统计将继续发挥重要作用，成为推动科技进步和社会发展的重要力量。
七、个人对概率论与数理统计的认识和展望
通过学习《哈工大概率论与数理统计第三版》，我对概率论和数理统计有了更加深入和全面的认识。我深刻体会到了概率论和数理统计在解决实际问题中的重要性和实用性，也对其在未来的发展趋势充满了期待。作为一名数学爱好者和科研工作者，我将继续深入学习概率论和数理统计的知识，不断地探索其在实际领域中的应用，为推动科技进步和社会发展贡献自己的力量。我也希望能够通过自己的努力和学习，将概率论和数理统计的知识传播给更多的人，让更多的人能够受益于这门重要学科的知识。
哈工大概率论与数理统计第三版
哈工大概率论与数理统计第三版 《哈工大概率论与数理统计第三版》是一本深入浅出的数学基础教材，它囊括了概率论和数理统计的相关概念、原理和应用。本书内容丰富，涵盖了多个重要的概念和定理，对于深入理解和掌握概率论和数理统 计的知识具有重要意义。 在接下来的文章中，我将以从简到繁的方式，逐步深入探讨《哈工大 概率论与数理统计第三版》中的一些重要内容和理论，帮助读者更好 地理解这本教材，并对概率论和数理统计有一个全面、深刻的认识。 一、概率论的基本概念和原理 在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，概率论的基本概念和原理 是学习的重点之一。概率论作为一门独立的数学学科，是研究随机现 象的规律性和统计规律的一门学科，其理论和方法对于解决实际问题 具有重要的应用价值。教材中介绍了概率的定义、性质和常见的概率 分布，如离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，以及它们的 性质和应用。通过对这些基本概念和原理的学习，读者可以建立起对 概率论的基本认识和理解。 二、数理统计的基本概念和方法 除了概率论，数理统计是另一个重要的学习内容。数理统计是利用数
学的方法对统计数据进行分析和推断的一门学科，是概率论的一种应用。在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，数理统计的基本概念 和方法也得到了详细的介绍和阐述。教材中介绍了样本和总体的概念，以及常见的统计推断方法，如点估计、区间估计和假设检验等。通过 对这些内容的深入学习，读者可以了解数理统计的基本原理和方法， 有助于他们更好地应用数理统计的知识进行实际问题的分析和解决。 三、概率论与数理统计的应用 除了学习概率论和数理统计的基本概念和原理，教材中还介绍了概率 论和数理统计在实际问题中的应用。在金融、医学、工程等领域，概 率论和数理统计的方法被广泛应用于数据分析、风险评估、质量控制 等方面。通过学习这些应用实例，读者可以更好地理解概率论和数理 统计的实际应用，并将理论知识转化为实际工作中的技能。 总结回顾 通过本文的阐述，我希望读者对《哈工大概率论与数理统计第三版》 有了更深入的了解和认识。概率论和数理统计作为一门重要的数学基 础学科，对于理工科学生和研究人员具有重要的意义。通过深入学习《哈工大概率论与数理统计第三版》，读者可以建立起对概率论和数 理统计的深刻理解，为他们的学习和科研工作奠定坚实的基础。 个人观点和理解 作为一名数学爱好者，我对概率论和数理统计有着浓厚的兴趣。通过
《概率论与数理统计》第三版王松桂科学出版社课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2, ,6i =， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； 习题五 1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 解设X为已取出的废品只数，则X的分布为 X 012P 8 184521 45即P 所以 ， 2．假设一部机器在一天解设一周所获利润为T（万元），则T的可能值为 又设X为机器一周 类似地可求出T的分布为 （万元） X（毫米）服从正态分布所以一周3．假设自动线加工的某种零件的内径 1)，内径小于·55· 10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（元）与零件的若 若 问平均 即 两边取对数得 即 时，平均利润最大. 4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 数学期望. 解 即25，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和X~，分布律为 ·56 · X P 02712515412523612538 125 X 的分布函数为 1251251251255 5．设随机变量服从几何分布，其分布列为 ， 求EX与DX 解1 EX其中 k 由函数的幂级数展开有所以 k 1， 1 . p 因为 所以 2 ， ·57· 解2 设 则 （1）–（2）得（1） （2） 1， 所以 从而，得 ， ，22232n ， ， 于是 所以 ，ppp12q12q， 故得X的方差为 ·58 · 6．设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1）（2） （3） 1 ； 2 其他 （4） 其他 1 ，（因为被积函数为奇函数） 解（1）EX 哈工大概率论2022年秋季学期期末考题及答案哈工大2022年秋季学期 概率论与数理统计试题 一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．设大事A 、B 互相自立，大事B 、C 互不相容，大事A 与C 不能同时发生，且 ()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则大事A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概 率为__________ ． 2．设随机变量X 听从参数为2的指数分布，则21e X Y -=-的概率密度为 ()Y f y =______ ____． 3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0 ()20, 0 x x x f x x -?>?=??≤?，利用契比雪夫不等式估量概率 ≥+=0, 00,11)(2x x x 第1页/共10页 x f . （B ）0, 157(),1116160, 1x f x x x x =?≤? . 【】 5．设12,, ,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ -= X S n Y 其中X 为样本均值，2 S 为样本方差，则【】（A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n -（D ）~(1,1)Y F n -． 三、（8分）假设某段时光内来到百货公司的顾客数听从参数为λ的Poisson 分布，而在百货 公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机互相自立，试求=A “该段时光内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。 四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）2 41Y X X =-+的概率密度 ()Y f y ； （2）X 与Y 的相关系数XY ρ. 第2页/共10页 概率论与数理统计第三版课后习题答案 概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，它研究了随机事件的发生规律和数据的统计分析方法。而《概率论与数理统计》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了概率论和数理统计的基本理论和方法。在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。下面将为大家提供一些《概率论与数理统计》第三版课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。 第一章概率论的基本概念 1. 掷一颗骰子，问出现奇数的概率是多少？ 答：骰子一共有6个面，其中3个面是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率是3/6=1/2。 2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？ 答：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率是 13/52=1/4。 第二章随机变量及其分布 1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx，其中0 f(x,y)=1/(2πσ1σ2√(1-ρ^2))e^(-(1/(2(1-ρ^2)))(x^2/σ1^2- 2ρxy/(σ1σ2)+y^2/σ2^2))，其中-∞ 概率论与数理统计答案(汇总版) 篇一：概率论与数理统计教程答案(徐建豪版) 习题 1、写出下列随机试验的样本空间. （1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数. （2）在单位园中任取一点记录其坐标. （3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{()x2?y2?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18} 2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C. 解：B?A?{(),(),(),(),(),()} BC?{(),(),(),()} B?C?{(),(),(),(),(),(),(),(),(),()} 3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件. （1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2 解：（1）第1，2次都没有中靶 （2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶 （3）第二次中靶 4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2， 3），使用符号及其运算的形式表示以下事件： （1）“至少有一次击中靶子”可表示为； （2）“恰有一次击中靶子”可表示为； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为； （4）“三次全部击中靶子”可表示为； （5）“三次均未击中靶子”可表示为； （6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解：（1）A1?A2?A3; (2) A123?1A23?12A3; (3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) 123(6) 12A3 5.证明下列各题 （1）A?B?A （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A) 证明：（1）右边=A（??B）?A?AB=A且??B??A?B=左边 （2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=A或??B??A?B 习题 1.设A、B、C三事件，P(A)?P(B)?P(C)?1 4 P(AC)?P(BC)?1 8,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率. 习题三 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。 解表示事件：前次出现正面，第k次出现反面，或前次出现反面，第k次出现正面，所以 数X的分布列。 rk 解从个球中任取r个球共有种取法，r个球中有个黑球的取法有CbCa，所以X的分布列为 ，， ．袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个 此乃因为，如果，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即；如果 则r个球中至少有个黑球，此时k应从开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率 列。 解设‘第i个零件是合格品’。则，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布 ，23424 ，23423423424 ，23423423424 1236 即X的分布列为 ·19· X P01 2416242112436 . 24 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 分布。 解第一个路口即为红灯，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率21, 2 ，224 P(X第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯 依此类推，得X的分布列为 3 1 . P8 5．将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故X~B(n, 列为 ，X的分布2 6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。解设X 为每分钟接到的呼叫次数，则X~P(4) 48 （1） 4k （2） 7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。解设X 为该商品的销售量，N为库存量，由题意 ·20 · 5k 即 5K 查泊松分布表知，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。 8．已知离散型随机变量X的分布列为：，，试写出X的分布函数。 解X的分布列为 X P1230.20.30.5所以X的分布函数为 9．设随机变量X的概率密度为 其他. 求：（1）常数C；（2）使成立的a. 解（1） ，； 2 ， （2） 概率论定理 一、内容简介 概率论与数理统计是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广 泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机 变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等 内容。 二、本课程的目的和任务 本课程是工科以及管理各专业的基础课程，课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的 基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在各领域中的具体应用。 课程的任务在于使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养他们解决某些相关 实际问题的能力。 三、本课程与其它课程的关系 学生在进入本课程学习之前，应学过下列课程： 高等数学、线性代数 这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。本课程学习结束后，学生可 具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础 学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的 重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。 四、本课程的基本建议 概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富， 结果深刻。通过对本课程的学习，学生应熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析 方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。具体要求如下： (一)随机事件和概率 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和运算。 2、认知概率的定义，掌控概率的基本性质，并能够应用领域这些性质展开概率排序。 3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。 4、认知事件的独立性概念，掌控应用领域事件独立性展开概率排序。 5、掌握伯努利概型及其计算。 第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数(设以百分制记分）。 （２）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 (３)生产产品直到有1０件正品为止,记录生产产品的总件数。 (4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 (5）在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 (1)}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 (２)}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4)=Ω{00,1００，0100,0１0１,0110,11００，1010,１０１１，0111,11０1，0１１1，1１11}，其中0表示次品,1表示正品。 （5）=Ω{(x,y ）| 0 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数‘两次点数之和为10’，‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，‘球的最小号码为1’； （4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间（1）其中‘出现i点’，。 （2） (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； ； 。 （3） (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} （4） ，其中‘’表示空盒； 。 （5）。 2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件： （1）仅A发生； （2）A,B,C中至少有两个发生； ·1· （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。 解（1） （2）或； （3）或； （4）； （5）或； 3．一个工人生产了三件产品，以表示第i件产品是正品，试用Ai 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品； （3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 习题四 1 •一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放 回，再从袋中任取一球，以 X,Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求 （X,Y ） 的 分布列• 解 （X,Y ）的分布列 为 12 1 4 3 6 余者类推。 2 •将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正 面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出 （X,Y ）的分布列及边缘分布列。 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 X 〜B （3,丄）. 2 其中 P(X 1, Y 1) X ” 1 2 3 1 1 1 6 12 2 1 1 1 6 6 6 1 1 3 12 6 P(X 1)P(Y 1| X 1) P(X 1, Y 2) P(X 1)P(Y 2| X 1) 2 2 P(X 1, Y 1) P(X 1)P(Y 1|X 1) 余者类推。 3 •设(X,Y)的概率密度为 1 (6 x y), 0 x f (x,y) 8 0 2, 2 y 4, ,其它. 又( 1) D {(x,y)|x 1,y 3}; (2) {(x, y)|x 1 3}。求 P{(X,Y) D} P{( x,y) D} 解 (1) P{(X,Y) 1 8 1 6 - 2 1 8 5 24 设( X,Y)的概率密度为 D} 求(1) 1 0x(1 C(R J x 2 y 2), 0 2 系数C ；(2)(X,Y)落在圆x f(x,y) (1 ) 1 C x 2 (R , x 2 y 2 R 2 31 2 8 3 8 1 (2)设 D (6 y)dxdxy x)dx R 3 2 R 3 3 {( x,y)|x P{(X,Y) D} x 2 x 1 8(6 1 [(3 0 x y)dxdy 2 x 其他. 2 r (r R)内的概率 y 2)dxdy C R 3 2 r ｝，所求概率为 r 2 x)2 4]dx R 2, £(R 、X 2 y 2)dxdy R R r 2 drd ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2, },{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222 ⨯⨯ 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 24 7C 3 C 35= 2 4 7C 2C 35= 22 4 7C C 6C 35=1122 4 7C C 12C 35=12 4 7C 2C 35 = 27C /C = 2122 4 7C C 6C 35 =224 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =⎰⎰ ⎰ ⎰ 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ⎰⎰ (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨ ⎩⎪⎩⎰⎰其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰ ⎰ 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=⎩⎨ ⎧<<<<--., 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有概率论和数理统计习题集与答案解析
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