二次函数中考真题汇编[解析版]

二次函数中考真题汇编

[解析版]

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1

236 25

S

S

=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α

（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2

3

E'B的最小值．

【答案】（1）抛物线y＝﹣3

4

x2+

9

4

x+3，直线AB解析式为y＝﹣

3

4

x+3；（2）P（2，

3 2）；（3

410

【解析】

【分析】

（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；

（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出

6

5

PN

AN

=，以此列出方程求解即可解决问题；

（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4

3

，构造相似三角形，可以证明AM′就是

E′A+2

3

E′B的最小值．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），

则有

3

30 n

m m n

?

?

?++

＝

＝

，解得4

3

3

m

n

?

?

?

?

-

?

＝

＝

，

∴抛物线2

39

3

44

y x x

=-++，

令y＝0，得到2

39

3

44

x x

-++＝0，

解得：x＝4或﹣1，

∴A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y＝kx+b，则

3

40

b

k b

+

?

?

?

＝

＝

，

解得

3

3

4

k

b

?

-

?

?

??

＝

＝

，

∴直线AB解析式为y＝3

4

-x+3．

（2）如图1中，设P（m，2

39

3

44

m m

-++），则E（m，0），

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN＝∠AEN，

∵∠PNM＝∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1

2

36

25

S

S

＝，

∴6

5

PN

AN

=，

∵NE∥OB，

∴AN AE

AB OA

=，

∴AN＝5

4

5

4

5

4

5

4

（4﹣m），

∵抛物线解析式为y ＝239

34

4

x x -++， ∴PN ＝239344m m -

++﹣（34-m+3）＝3

4

-m 2+3m ， ∴23

364

55(4)4

m m

m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，

3

2

）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝4

3

，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．

∵OE′＝2，OM′?OB ＝4

3

×3＝4， ∴OE′2＝OM′?OB ， ∴

OE OB

OM OE '=''

， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，

∴

M E OE BE OB '''='＝2

3

， ∴M′E′＝2

3BE′，

∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2

3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线

时），

最小值＝AM′2244()3

+410

． 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+2

3

BE′的最小值，属于中考压轴题．

2．已知函数2222

22(0)114(0)

2

2x ax a x y x ax a x ?-+-

=?---+≥??（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，

①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．

②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．

（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点

()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．

【答案】（1）1a =或3a =-；（2

）①1x =--

1x =+；②

7

2

4m ≤<或21m -<<-；（3

）3a <--

或1a ≤<-

或a >【解析】 【分析】

（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线

y m =观察其与图像交点，即可得到答案．

（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将

2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211

422

y x ax a =---+与0比大小；第二

种为当20a -≤<，2

2

22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211

422

y x ax a =-

--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2

2

22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211

422

y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】

（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-

--+中，得211

2422

a a =---+，解得1a =或3a =-．

（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17

(0)

2

2x x x y x x x ?+-

=?-++≥?

?，

①令2210x x +-=

，解得1x =--

1x =- 令217

022

x x -

++=

，解得1x =+

或1x =-

综上，1x =--

1x =+．

②对于函数()2

210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217

(0)22

y x x x =-

++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2??

???

． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足

7

2

4m ≤<或21m -<<-． （3）22

22y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211

422

y x ax a =-

--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2

2

22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础

上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111

49342222

0y x ax a a a =---+=?--+<-，

解得3a >

或3a <--，

综上可得：3a <--．

②当20a -≤<时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足

2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，

22222=20y x ax a a =-+--≤

；得2a ≤<，

在此基础上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111

4=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，

2221111

49342222

2y x ax a a a =---+=?--+>-；

求得21a -<<-；

综上：1a ≤<-．

③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，

22222=22y x ax a a =-+--≥且222111

4+40222

y x ax a a =---+=-<；

求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．

综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】

本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．

3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为

()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233y x x =-

++；（2）当9

2n =时，PBA S ?最大值为818

；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析

【解析】 【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-

S △AOB,设P 21,233n n n ??-++

???

求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.

(3) 求点D 的坐标，设D 2

1,233

t t t ??-++ ??

?

,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使

60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对

的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】

解：()1抛物线顶点为()3,6

∴可设抛物线解析式为()2

36y a x =-+

将()0,3B 代入()2

36y a x =-+得

396a =+ 1

3

a ∴=-

∴抛物线()2

1363y x =-

-+，即21233

y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，

PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-

设P 点坐标为2

1,233

n n n ??-++ ??

?

1133222

BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???

=

=-++=-++ ???

11933222

ABO S OA BO ?=

=??= 2

2231

99191981322

2222228PBA

S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9

2n =

时，PBA S ?最大值为818

()3存在，设点D 的坐标为2

1

,233

t t t ??-++ ??

?

过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则2

13,6233

DG t CG t t ??=-=--++ ???

30ACD ∠=

2DG DC ∴= 在Rt CGD ?中有

222243CG CD DG DG DG DG =+=-=

)21336233t t t ??

-=--++ ???

化简得(1133303t t ??

---= ???

13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+

3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中

229276AD AG GD ++=

6,120AD AC CAD ∴==∠=

Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上

此时1

602

CQD CAD ∠=

∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径

则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32

即2936m +=

∴1233,33m m ==-

综上所述，Q 点坐标为()()

0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

4．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数

()0k

y x x

=

>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”

（1）当1n =时．

①求线段AB 所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围． 【答案】（1）①1944y x =-

+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当9

2

x =时，k

有最大值

8116

；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；

【解析】 【分析】

（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则219

44

k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；

（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k

x

），则得到2210

44

n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b

a -

≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】

解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则

251a b a b +=??

+=?，解得：14

94a b ?=-????=??

， ∴19

44

y x =-

+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得19

44

y x =-

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 1944

k x x =-+， ∴22191981

()444216

k x x x =-+=--+； ∵1

04

-

<， ∴当9

2x =

时，k 有最大值8116

； 当1x =时，k 有最小值2；

∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在9

2

x =

的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则

25a b a b n +=??

+=?，解得：24

104n a n b -?=???-?=??

， ∴21044

n n

y x --=

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 2210

44

n n k x x --=

-， 当

2

04

n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：10

10

42242

n n x n n --==--；

∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．

即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当

2

04

n ->时，有 ∴2

04

10124n n n -?>???-?≤?-?

，解得：26n n >??≥-?，

∴不等式组的解集为：2n >； 当

2

04

n -<时，有 ∴2

0410524n n n -?

，解得：

10

29n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：10

9

n ≥

．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．

5．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.

例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)

(0)x x y x x ≥?=?

-

. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2

1

42

y x x =-+-

. ①当点3,2B m ?? ???

在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2

1

42

y x x =-+-

的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12??-

???、9,12??

???

，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数2

4y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.

【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =

，min 1

2

y =-；（3）31n -<≤-，5

14

n <≤

【解析】 【分析】

（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

1

2

，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-1

2

，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】

解：（1）根据题意，

一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)

5,(0)ax x y ax x -≥?=?

-+

， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则

(5)510a -?-+=，

∴1a =；

（2）根据题意，二次函数2

142y x x =-+-的相关函数为2

214,(0)214,(0)

2x x x y x x x ?-+-≥??=??-+

，

①当m ＜0时，将B （m ，

32）代入y=x 2-4x+1

2得m 2-4m+1322

=，

解得：

m=2 当m≥0时，将B （m ，

32

）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=3

2，

解得：

或

m=2．

综上所述：

m=2-或

m=2+或

m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

1

2

，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2

143(3)4(3)22

y =--?-+=， ∴此时y 的最大值为

432

． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 1

2

-

，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-

， 当x=2时，有最大值，最大值y=

72

． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-

的相关函数的最大值为43

2，最小值为12

-；

（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．

∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．

如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，

∴-n=1，解得：n=-1．

∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），

∴n=1．

如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （1

2

-，1）， ∴

14+2-n=1，解得：n=54

． ∴1＜n≤

5

4

时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54

． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．

6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．

（1）若b ＝1，a ＝﹣

1

2

c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；

（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1?y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323

b a <-< 【解析】 【分析】

（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；

（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1?y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】

解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣

1

2

c ，

∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣1

2

c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，

∴1+2c 2＞0，即△＞0，

∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，

∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，

∴顶点纵坐标2

14b a

-≤，

∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；

（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1?y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，

∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，

24

()()033

b b a a ++<， ∴203403b a b a ?+??或203403

b a b a ?+>????+

∴42

33

b a -

<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12

323

b a <-<． 【点睛】

本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

7．如图，已知抛物2

(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且

OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12

x =

． (1)求抛物线的解析式；

(2) 在x 轴上方有一点P ， 连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠， 记PBC ?的面积为S ， 求

当10.5

S=时点P的坐标

(3)在(2)的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的

10.5

S=时点P的坐标；直线y x t

=+与抛物线交于,

C B

''两点(C'在B'的左侧)，若以点,,

C B P

''为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．

【答案】（1）2

11

3

22

y x x

=--（2）(2,6)（3）19或32

【解析】

【分析】

（1）确定点A的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；

（2）确定直线AP的解析式，用m表示点P的坐标，由面积关系求S和m的函数关系式即可求解；

（3）先确定点P的坐标，当'''90

B PC

∠=，利用根与系数的关系确定'''

B C的中点E的坐标，利用''2

B C PE

=建立方程求解，当''''90

PC B

∠=时，确定点G的坐标，进而求出直线''

C G的解析式，得出点''

C的坐标即可得出结论．

【详解】

（1）∵OC OB

=，且B点坐标为(3,0)，

∴C点坐标为(0,3)

-．

设抛物线解析式为2

1

()

2

y a x k

=-+．

将B、C两点坐标代入得

25

4

1

3

4

a k

a k

?

=+

??

?

?-=+

??

，解得

1

2

25

8

a

k

?

=

??

?

?=-

??

．

∴抛物线解析式为22

112511

()-3

22822

y x x x

=-=--．

（2）如图1，设AP与y轴交于点'C．

∵PAB CAB

∠=∠，OA OA

=，90

AOC AOC

∠'

=∠=?，

∴AOC

?≌AOC

?'，

∴3OC OC ='

=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12

x =， ∴(2,0)A -， ∴直线AP 解析式为3

32

y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴31

3(3)622PF x x x =

+--=+， ∴13

924

PBC S OB PF x ?=

??=+， ∵10.5S =，∴3

910.54

x +=， ∴2x =．

此时P 点的坐标为(2,6)．

（3）如图2，由211

-322

3

32

y x x y x ?=-??

?

?=+??得6,12P （），

当90C PB ∠=''?时，取''B C 的中点E ，连接PE ． 则2B C PE ''=,即224B C PE =''． 设1122(,),(,)B x y C x y ''．

由

2

11

-3 2

2

y x x

y x t

?

=-

?

?

?=+

?

得23(26)0

x x t

--+=，

∴1212

3,(26)

x x x x t

+==-+，

∴点

33

(,)

22

E t+，

22222

1212121212

()()2()2()41666

B C x x y y x x x x x x t

??

=-+-=-+-=+

?

=?

''，2222

33261

(6)(1221

222

PE t t t

=-+-=-+

），

∴2

261

16664(21)

2

t t t

+=-+，

解得：19

t=或6（舍去），

当90

PC B''''

∠=?时，延长C P''交BC于H，交x轴于G．

则90,45

BHG PGO

∠=?∠=?，

过点P作PG x

⊥轴于点Q，则12

GQ PQ

==，

∴(18,0)

G，

∴直线C G

''的解析式为18

y x

=-+，

由

2

11

-3

22

-18

y x x

y x

?

=-

?

?

?=+

?

得

7

25

x

y

=-

?

?

=

?

或

6

12

x

y

=

?

?

=

?

（舍去），

∴(7,25)

C'-

'，

将(7,25)

C'-

'代入y x t

=+中得32

t=．

综上所述，t的值为19或32．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系

数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．

8．如图，已知抛物线2

y x bx c

=-++与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中点A的坐标是()

1,0，点C的坐标是()

2,3

-，抛物线的顶点为点D．

（1）求抛物线和直线AC的解析式．

（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC

?的面积的最大值及此时点P的坐标．

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点E，点M为直线AC上的任意一点，过点M作//

MN DE交抛物线于点N，以D，E，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为

27

8

，此时点P(

1

2

-，15

4

)；（3）能，(0，1)，(

117

2

-+

，

317

2

)或(

117

2

--

，

317

2

)

【解析】

【分析】

（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；

（2）设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)，求出PQ的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；

（3）根据题意，设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M在线段AC上时，点N在点M上方；②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方；分别求出点M的坐标即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，C(-2，3)，

∴

10

423

b c

b c

-++=

?

?

--+=

?

，

，

解得：

2

3

b

c

=-

?

?

=

?

，

．

∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．

设直线AC的解析式为y=kx+n．

将点A，C坐标代入，得