2020年中考试题分类汇编——二次函数

中考试题分类汇编——二次函数

一、选择题

1、（天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①

；②；③；④；⑤，（

的实数）其中正确的结论有（）B

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．B

（A）②④（B）①④（C）②③（D）①③

3、（2007广州市）二次函数与x轴的交点个数是（）B

A．0B．1C．2D．3

4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A

5、（2007四川资阳）已知二次函数（a≠0）的图象开口向上，并经过点（-1，2），（1，0）。下列结论正确的是（）D

A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大

B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C. 存在一个负数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

D. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

6、（2007山东日照）已知二次函数y=x2-x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）B

（A）m-1的函数值小于0（B）m-1的函数值大于0

（C）m-1的函数值等于0（D）m-1的函数值与0的大小关系不确定

二、填空题

1、（2007湖北孝感）二次函数y =ax2＋bx＋c的图象如图8所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，则P、Q的大小关系为.P

2、（2007四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数的图象，那么

的值是．－1

3、（2007江西省）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．，；

4、（2007广西南宁）已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限．三

三、解答题

1、（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点坐标。

解：（1）设这个抛物线的解析式为

由已知，抛物线过，B（1，0），C（2，8）三点，得

（3分）解这个方程组，得

∴所求抛物线的解析式为（6分）

（2）

∴该抛物线的顶点坐标为

2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．

解：（1）设二次函数解析式为，

二次函数图象过点，，得．

二次函数解析式为，即．

（2）令，得，解方程，得，．二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．

二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．

平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为

3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是，且过点．

（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；

（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，····· 2分

又点在它的图象上，可得，解得．

所求为．令，得

画出其图象如下．

（2）证明：若点在此二次函数的图象上，

则．得．

方程的判别式：，该方程无解．

所以原结论成立．

4、（2007贵州省贵阳）二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根．（2分）

（2）写出不等式的解集．（2分）

（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（2分）

（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．（4分）

解：（1），

（2）

（3）

（4）

5、（2007河北省）如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．

解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得

解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．

（3）将（m，m）代入，得，

解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．

∴m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．

6、（2007四川成都）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐

角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．

解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，

由解得

此二次函数的表达式为．

（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．

在中，令，则由，解得

．令，得．．

设过点的直线交于点，过点作轴于点．

点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．

．要使或，

已有，则只需，①

或②成立．

若是①，则有．而．在中，由勾股定理，得．解得（负值舍去）．．

点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．

满足条件的直线的函数表达式为．

［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联

立求得点的坐标为．］

若是②，则有．而．在中，由勾股定理，得．

解得（负值舍去）．．点的坐标为．

将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．

存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．

将点的坐标代入中，求得．此直线的函数表达式为．

设点的坐标为，并代入，得．

解得（不合题意，舍去）．．

点的坐标为．此时，锐角．

又二次函数的对称轴为，

点关于对称轴对称的点的坐标为．

当时，锐角；当时，锐角；

当时，锐角．

7、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC 在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）。

（1）如果二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；

（3）求边C’O’所在直线的解析式．

8、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．

（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；

（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.

解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得

解之，得

∴线段l的函数关系式为M＝13000t+2000,1≤t≤8.

由t=知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，

把t=1代入M＝13000t+2000中，得M=15000 m2.

即开发该小区的用地面积是15000 m2.

（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a（t－4）2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，

得解之，得

∴抛物线段c的函数关系式为Q＝（t－4）2+,即Q＝t2-t +,1≤t ≤8.

9、（2006四川资阳）如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、

-31

--

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答（已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分）：

（2）若点D的坐标为（1，0），求矩形DEFG的面积.

解：⑴解法一：设，

任取x,y的三组值代入，求出解析式，·········· 1分

令y=0，求出；令x=0，得y=-4，

∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）. ······· 3分

解法二：由抛物线P过点（1，-），（-3，）可知，

抛物线P的对称轴方程为x=-1，············· 1分

又∵抛物线P过（2，0）、（-2，-4），则由抛物线的对称性可知，

点A、B、C的坐标分别为A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）.······· 3分

⑵由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，··· 4分

又，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，·········· 5分

∴SDEFG=DG·DE=（4-2m）3m=12m-6m2 （0＜m＜2） . ·········· 6分

注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.

⑶∵SDEFG=12m-6m2 （0＜m＜2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是

当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0），··· 7分

设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，

又可求得抛物线P的解析式为：，········· 8分

令=，可求出x=. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有

==，··············· 9分

点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是

k≠且k＞0. ····················· 10分

说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.

若选择另一问题：

⑵∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，········ 4分

又∵，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，

∴SDEFG=DG·FG=6.

10、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，

二次函数的图象记为抛物线．

（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物

线的函数表达式：（任写一个即可）．

（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物

线的函数表达式．

（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．

（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三

角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．

解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，或，

，．

（2）设抛物线的函数表达式为，

点，在抛物线上，

解得

抛物线的函数表达式为．

（3），点的坐标为．

过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，

则，，，，，．

．

．

延长交轴于点，设直线的函数表达式为，点，在直线上，解得

直线的函数表达式为．点的坐标为．

设点坐标为，分两种情况：

若点位于点的上方，则．连结．

．

，，解得．点的坐标为．若点位于点的下方，则．同理可得，．

点的坐标为．

（4）作图痕迹如图③所示．由图③可知，点共有3个可能的位置．

11、（2007浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

解：（1）令y=0，解得或（1分）

∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）

将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）（1分）

∴直线AC的函数解析式是y=－x－1

（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）

则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）

E（（1分）

∵P点在E点的上方，PE=（2分）

∴当时，PE的最大值=（1分）

（3）存在4个这样的点F，分别是