线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
摘要
线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.
关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDu
alProblemandApplications
Abstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,itisoneofthescientificmanagementofa uxiliarypeoplemathematicalmethod.Canfromdifferentanglestolinearprogrammingdualproble mforpolicymakerstoprovidemorescientifictheorybasis.Thisarticlemainlyprobesintothelinearp rogrammingproblemandtherelationshipbetweenthedualproblem,linearprogrammingproblem andthetransformationofthedualproblem,theapplicationoflinearprogrammingdualproblem.Thi sarticleisthecomplexoftheoriginalproblemintoitsdualproblemtobesolved,simplifiesthelinearp rogrammingproblem,enablesustorapidlyfindtheoptimalsolutionoflinearprogrammingproble m.
Keywords:linearprogramming;theoriginalproblem;thedualproblem;conversion
目录
4.4非对称型原问题转化为对偶问题 (10)
1引言
线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.
2文献综述
2.1国内外研究现状
在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性.崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法.曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.
2.2国内外研究现状评价
文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.
2.3提出问题
在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.
3预备知识
首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.
3.1对称形式的原问题
我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“≤”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“≥”号.因而，这类数学模型的特点是：（1）所有的决策变量都是非负的；（2）所有的约束条件都是“≤”型；（3）目标函数是最大化类型.
一般形式为：
线性规划原问题的对称形式的]1[
?????????=≥≤+++≤+++≤+++)
,,2,1(0.221
12222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n ΛΛM
ΛΛ(3.1) 3.2非对称形式的原问题
不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大；约束条件；
，或是无限制的随意的组合.例如： ???????≤≥≤++=++≤++无约束
3213
33323213123232221211313212111,0,0.x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s (3.2) 3.3对偶问题的定义
在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的]2[定义如下.
设给定的线性规划为：
?
??≥≤0.X b AX t s (3.2) 其中()T n x x x X ,,,21Λ=，()n
m ij a A ?=，()T m b b b b ,,,21Λ=，()n c c c C ,,,21Λ= 因此，定义它的对偶问题为：
?
??≥≥0.Y C YA t s (3.4) 其中()m y y y Y ,,,21Λ=是行向量.(3.4)是对偶问题，(3.3)是原问题，(3.3)与(3.4)合在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.
3.4原问题转化为对偶问题的理论依据
表所示：我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下]3[1
表1
4原问题与对偶问题的转化
一对对偶的线性规划问题表示了同一个问题的两个侧面，是从两个角度对同一个研究对象提出的极值问题，两类极值的问题都具有相同的目标函数值.我们发现在很多时候求解对偶问题比原问题更加容易，为决策者提供更多的科学理论依据，因此我们常常需要把原问题转化为对偶问题.
4.1原问题与对偶问题的关系
一对对偶的线性规划问题具有相互对应的关系：
（1）原问题中的目标函数值是max，约束条件是“≤”的形式；对偶问题的
约束条件是“≥的形式.
min
目标函数值为，”
（2）原问题的价值系数和对偶问题的右端项对应，原始问题的右端项和对偶问题的价值系数对应.
（3）原问题的变量和对偶问题的约束条件对应，即，原问题中有个
n变量，那么对偶问题就有个
m变量.
m约束条件，那么对偶问题就有个
n约束条件；原问题有个
（4）对偶问题的系数矩阵就是原问题的系数矩阵的转置.
用矩阵表示，原问题为：
则对偶问题为：
需要注意的是，我们所讨论的对偶问题一定是指一对问题，而原问题和对偶问题是相对的，它们互为对偶问题，一个问题可以是原问题也可以是对偶问题.
4.2对称型原问题转化为对偶问题
当线性规划问题为一般形式（3.1）时，我们将根据下面的四条规则转换为它的对偶问题：
（1）原问题和它的对偶问题之间的系数矩阵互为转置.
（2）原问题中变量的个数等于它的对偶问题的约束条件的个数.
（3）原问题的右端常数就是对偶问题的目标函数的系数.
（4）原问题的目标函数求极大时，约束条件是“≤”类型，而它的对偶问题的目标函数求极小，约束条件则为“≥”类型.
形式：
因此，它的对偶问题可以转变为如下的]4[
例1生产计划问题
云南一公司加工生产甲，乙两种产品，它的市场前景非常的好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表2所示.问题：云南的这家公司应该怎样制定每天的生产计划，才能使它的产量得到最大？
表2
分析：为了建立此问题的数学模型，第一，要选定决策变量.第二，要确定问题的目标，即用来评价不同方案优劣的标准，这种目标总是决策变量的函数，称为目标函数.第三，我们把要确定达到目标时所受的限制条件，称之为约束条件.这里要决策的问题是，在现有人力、设备、矿石的限制下，如何确定产量使得产值自大？设1x 和2x 分别表示该公司A ，B 产品的数量，用z 表示产值，则每天的产值表示为2115090x x z +=，使其最大化，即2115090m ax x x z +=，称为目标函数.将制约因素表达出来，即有：人力不超过320工时，为3206821≤+x x ；设备不超过260台时有，2608621≤+x x ；原材料不超过300公斤有，30010421≤+x x 。表述限制条件的数学表达式称为约束条件，由此该问题的数学模型可表示为：
上面的问题是一个典型的求解利润最大化的生产计划的问题.题中，“max ”是
“maximize ”的缩写，意思是“最大化”；“..t s ”是”subjectto ”单词的缩写，表示“满足于······”.因此，上述模型的含义是：在给定的条件限制下，求出使目标函数值达到最大的21,x x 的值.
从数学模型中看出，上面的例题具有下面的三个特征：
(1)用一组决策变量表示问题的一个方案，决策变量的一组取值代表一个具体的方案.通常状况下，决策变量的取值是非负的，部分情况下，还要求决策变量取值为整数.
(2)每个问题都有一个目标，而且都可以用决策变量的线性函数表示.根据问题的不同，要求目标实现最大或者最小.
(3)决策变量都满足一定的约束条件，而且都可以用决策变量的线性等式或者不等式表示.
具备以上三个要素的问题称为线性规划问题，简单地讲，线性规划问题就是求一个线性目标函数在满足一组线性等式（或不等式方程）约束条件下的极值问题.
例2云南一公司加工生产甲，乙两种产品，市场前景非常的很好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表3所示.现在公司有意转换经营方式，现在将各种资源出租转让，我们假定市场广阔.问题：公司转让资源的价格底线是什么？
表3 我们将例1叫做原问题，将例2叫做对偶问题.原问题的数学模型是：
???????≥≤+≤+≤+0
,3001042608632068..2121
2121x x x x x x x x t s (4.1) 分析：现在在对偶问题中我们需要考虑的是，将例题中的三种资源租让或者转出，应该是不少于原来的收益的，否则这家公司宁愿选择自己继续生产.所以，决策的约束条件应该是：出租制造的产品消耗掉的资源不能少于自己生产该产品的收益；目标函数应该是：资源转让的收益底线.所以，我们设1y ，2y ，3y 分别为人力、设备台时和原材料的转让或者出租的价格.由于生产1公斤A 产品需消耗8个工时，6个台时和4公斤的原材料，可创造产值90元.所以出让生产A 产品资源至少应带来90元的产值，即90468321≥++y y y 同理，生产1公斤B 产品需耗时4个工时，6个台时和8公斤的原材料，可创造产值150元，出让这些资源所获得的销售收益应满足
1501086321≥++y y y 上面两个不等式保证了“出售”资源所获得的收益不低于自己组织生产所能创造的收益.但是也不能随意要价，否则由于市场的调节作用将会使资源卖不出去.因此目标函数应该是表达所获的收益的底线，即
解：从转让资源的方面考虑，得到此问题的数学模型应是
?????≥≥++≥++0,,150108690468..3
21321321y y y y y y y y y t s (4.2)
评注：通过分析我们可以知道，重新得到的对偶问题是一个非常重要的线性规划问题，它对问题的分析又加深了一步，减少了管理工作中的盲目性，为决策者提供了
更多的科学依据.原问题与对偶问题之间是相互对应的关系，原问题与对偶问题是从不同的角度对同一问题进行了分析研究.它们之间存在着很密切的关系，这些关系我们将在通过分析可知.从形式上我们可以看到，在原问题中，制订生产计划有3种设备的总工时构成规划的资源约束，可建立3个约束不等式，其中2种要生产的产品将构成决策变量；而在它的对偶问题中，原问题里的3个资源约束所对应的资源估价正好构成了对偶问题的决策变量，原问题中的2个决策变量对应的2种产品则构成了对偶问题的2个约束条件.
小结：通过分析可以得出，问题)1.4(和问题)2.4(具有下面的关系：(1)问题)1.4(的目标函数值求极小；问题)2.4(的目标函数值求极大.(2)问题)1.4(有2个决策变量和3个主约束条件，问题)2.4(有3个决策变量和2个主约束条件.即问题)1.4(中决策变量的个数和问题)2.4(中主约束条件的个数相等，问题)1.4(中的主约束条件的个数和问题)2..4(中的决策变量的个数是相等.原因是，问题)1.4(的系数矩阵和问题)2.4(的系数矩阵是互为转置的.(3)问题)1.4(的价格指标与问题)2.4(的资源指标对应，且问题)1.4(的个价格第i 指标与问题)2.4(的个资源第i 指标对应.(4)问题)1.4(的资源指标与问题)2.4(的价格指标对应，且问题)1.4(的个资源第i 指标与问题)2.4(的个价格第i 指标对应.(5)问题）（1.4的主约束条件是“≥”型的约束条件；而问题）
（2.4的主约束条件是“≤”型的约束条件.
4.3对称型对偶问题转换为原问题
对偶理论中关于线性规划问题里，对偶问题的对偶就是原问题.
设原问题为：
?
??≥≤0..X b AX t s (4.3) 则对偶问题为：
???≥≥0
..Y C YA t s (4.4)
而对偶问题的对偶为：
???≥≤0
..Z b AZ t s (4.5) 由此可见，线性规划问题（4.3），（4.5）的形式是完全一致，因而，原问题和它的对偶问题是互为对偶的关系，也即是对偶问题的对偶就是原问题.
4.4非对称型的原问题转化为对偶问题
线性规划有时以非对称型出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，将是下面要讨论的问题.
在非对称形式的规划问题中，可以按照下面的对应规则直接给出它的对偶问题:
（1）将线性规划问题统一为“≤max,”或“≥min,”的形式，而其中的等式约束按照下面（2），（3）中的方法进行处理.
（2）若原问题的某个约束条件时等式约束，则对偶问题中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制的.
（3）若原问题的某个变量的值没有非负限制，则在它的偶问题中与此变量对应的约束条件是等式约束.
下面对于规则（2）做一些必要的说明，对于规则（3）可以给出类似的证明 设原问题中的第一个约束是等式：
那么，此等式与下面的两个不等式等价：
这样，原问题可以写成
因为就转换为对称形式，所以可以直接写出对偶问题 这里，我们把看作''1'11y y y -=,，于是1y 没有限制，规则（2）的说明完毕.将非对称的线性规划问题转换为对称形式时可能会有以下几种]5[情形：
（1）目标函数的转换
设n n x c x c x c z +++=Λ2211m in ，令z z -='，则将求最小值的问题转换为求最大值的问题，即将求z min 转化为求z max ，且n n x c x c x c z ----=Λ2211m ax .反之，要将
极大化目标函数转化为极小化目标函数，也可以直接给原目标函数乘以-1，把'max z 改写成z min .
（2）主约束条件的转换
A ．将“≤”型（或者“≥”）的约束条件∑=≤n j i j ij b x a 1（或∑=≥n
j i j ij b x a 1），转化
为“≥”型（或者“≤”型）的约束条件时，直接将原约束条件两边同乘以，即
∑=-≥n j i j ij b x a
1（或i j n
j ij b x a -≤∑=1） B ．将“=”型的约束条件∑==n
j i j ij b x a 1转化为“≥”型或者“≤”型的约束条件时，
首先将其写成两个不等式约束条件，然后再转化为所需形式的不等式约束条件，即：
（3）非负约束条件的转换
A ．若变量没有非负限制，取值可正可负，这时可设两个非负变量'
j x 和''
j x ，令
''
'
j j j x x x -=,0,''
'
≥j j x x
B ．若变量0≤j x ，可令：0,'
'
≥-=j j j x x x
例3：请写出下列的线性规划问题的对偶问题
分析：首先将上述非对称型问题转换为我们所熟悉的对称型问题，然后按照对称型问题的方法将原问题转化为对偶问题。第一，在第一个约束条件的两边同乘以-1.第二，将第三个约束方程分解成13321≤+-x x x 和13321≥+-x x x 再将约束条件13321≥+-x x x 两边同时乘以-1，即13321-≤-+-x x x
解：原问题转换为如下的对称型：
现在四个约束，分别对应四个对偶变量''3'321,,,y y y y ，按表1可得到下面的对偶问题：
再设3''3'3
y y y =-，代入上面的数学模型就可得出原问题的对偶问题为： 评注：将上面对偶问题同原问题对比发现，无论是对称的形式或者是非对称形式的线性规划问题在写出它的对偶问题时，表格中前四行的对应关系都适应，区别的只是约束条件的形式与其对应变量的取值.
4.5对偶问题的应用
设有如下线性规划问题：
已知它的最优解为T X )0,0,9,50,50,0(=，求对偶问题的最优解.
解：根据对偶规则，我们很容易的写出了原问题的对偶问题：
根据对偶性质，有如下对应关系：
将对偶问题标准化为：
由于651,,y y y 为零，上述约束条件简化为：
由此的对偶问题的最优解为：0,0,4,2,8,0654321======y y y y y y
评注：线性规划问题中，有时为了计算变得简单，我们常常需要把线性规划问题的原问题转换为它的对偶问题进行解决. 5结论
5.1主要发现
对偶理论是线性规划问题的重要内容之一，任何一个线性规划都有一个伴生的线性规划，称之为原问题的对偶规划问题.本文主要探究了原问题与对偶问题之间的关系，原问题与对偶问题转化的具体步骤和对偶理论的应用.用科学的方法对生产计划进行预测，及时调整、科学决策，使企业决策更加合理.
5.2启示
线性规划中常常用到对偶问题，它的思想方法是利用线性代数的方法找出线性规划模型中目标函数与约束条件的可行解.同时利用对偶问题能够快速的找出问题的最优解，对解的特性的判断起关键作用.在计算工具不断发展的今天，用对偶问题处理生产、经营上的问题已经越来越广泛.企业经营者可以根据市场的具体情况，建立相应的数学模型，然后用对偶问题加以分析，科学的为决策者提供理论依据.
5.3局限性
本文主要研究了对称型与非对称型的线性规划原问题转化为对偶问题的具体步骤.对偶问题是一组线性约束条件下的线性规划问题，它只能处理单个目标函数的优化问题.而实际问题中往往要考虑多个目标函数，这些目标函数之间可能是相互矛盾、相互排斥的.
5.4努力方向
虽然对偶问题的适用范围很大，但受实际问题中约束条件的制约，只能处理单目标的优化问题,所以研究线性规划最优解的求解方法是有必要的.因此，线性规划的对偶理论，单纯形法求最优解这些都值得进一步的研究.
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校,2007:120-121.
致谢
在论文即将完成之际，首先感谢我的指导老师程老师，从开始选题到论文的顺利完成，都离不开程老师的细心指导和关怀.他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．在论文的写作过程中，在我每次遇到困难时，总能得到程老师的耐心指导，让我豁然开朗.在我情绪低落时，老师总是那么热忱的给予我深深的鼓励和支持.在此向程老师深深地鞠上一躬，感谢程老师长久以来对我的关怀和指导.谢谢！
同时，我要向数学与信息科学学院的全体教师说一声：谢谢你们，在你们的精心指导教育下，我才能得以在这四年里学到了宝贵的知识，你们的教诲让我终生受益，在此请接受我诚挚的谢意.也感谢学院给我创造了优越的条件，在此向学院的领导表示我最诚挚的敬意！
感谢我们小组成员林瑶，周秀凤，向春运等同学对我论文所做出的帮助，也感谢全班同学这四年大学生活中在生活上及学习上给与我的帮助.
线性规划的对偶原理
线性规划的对偶原理 3.1 线性规划的对偶问题 一、 对偶问题的提出 换位思考 家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。 目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金 2150120min y y w += 所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益 1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收 入 502421≥+y y 2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收 入 30321≥+y y 3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y 二、 原问题与对偶问题的数学模型 1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。 原问题： ?? ? ??≥≥=0min X b AX CX z 对偶问题： ?? ? ??≥≤=0max Y C YA Yb w 2. 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即 ?? ? ??≥==0min X b AX CX z 则其对偶问题的数学模型为 ?? ? ??≤=是自由变量Y C YA Yb w max 可把原问题写成其等价的对称形式： min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0 即 min z =CX ? ? ????-A A X ≥??????-b b X ≥0 设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题 Last revised by LE LE in 2021
第二章线性规划的对偶问题 习题 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x 1＋ x 2 ＋2x 3 (2) max z ＝2x 1 ＋ x 2 ＋3x 3 ＋ x 4 st. x 1＋ x 2 ＋2 x 3 ≤10 st. x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ≤5 4x 1＋ x 2 ＋ x 3 ≤20 2x 1 － x 2 ＋3x 3 ＝－4 x j ≥0 （j＝1,2,3） x 1 － x 3 ＋ x 4 ≥1 x 1 ，x 3 ≥0，x 2 ，x 4 无约束 (3) min z ＝3x 1＋2 x 2 －3x 3 ＋4x 4 (4) min z ＝－5 x 1 －6x 2 －7x 3 st. x 1－2x 2 ＋3x 3 ＋4x 4 ≤3 st. －x 1 ＋5x 2 －3x 3 ≥15 x 2 ＋3x 3 ＋4x 4 ≥－5 －5x 1 －6x 2 ＋10x 3 ≤20 2x 1－3x 2 －7x 3 －4x 4 ＝2 ＝ x 1 － x 2 － x 3 ＝－5 x 1≥0，x 4 ≤0，x 2， ，x 3 无约束 x 1 ≤0， x 2 ≥0，x 3 无约束 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 1 'x代换。 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x 1＋2x 2 ＋ x 4 ≥3 3x 1＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ≥6 x 3 ＋ x 4 ＝2 x 1 ＋ x 3 ≥2 x j ≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x 1 ＋x 3 ＋ x 4 ≤8 y 1 2x 1＋2x 2 ＋x 3 ＋2x 4 ≤12 y 2 x j ≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x 1＋4 x 2 ＋2x 3 ≤60 2x 1＋ x 2 ＋2x 3 ≤40 x 1＋3x 2 ＋2x 3 ≤80 x j ≥0 （j＝1,2,3）（1）写出其对偶问题
线性规划的对偶问题
第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋x4≥3 3x1＋x2＋x3＋x4≥6 x3 ＋x4＝2 x1 ＋x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
线性规划的对偶问题
第二章 线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 ⑴ max z = 10x i + X 2 + 2x 3 st. x i + X 2 + 2 X 3W 10 4x i + X 2 + X 3 W 20 X > 0 (j = 1,2,3) (3) min z = 3x i + 2 X 2 — 3x 3 + 4x 4 st. x i －2x 2+ 3x 3+ 4x 4W 3 X 2 + 3X 3 + 4X 4》一5 2x i — 3x 2 — 7x 3 — 4x 4= 2 = x i >0, X 4W 0, X 2，, X 3 无约束 (2) max z = 2x i + x 2+ 3x 3+ x 4 st. x i + x 2+ x 3 + x 4 W 5 2x i － x 2+ 3x 3 =－ 4 X i — X 3 + X 4> i X i , X 3 > 0, X 2, X 4 无约束 (4) min z =— 5 x i — 6x 2— 7x 3 st. — X i + 5X 2— 3X 3 > i5 — 5X i — 6X 2+ i0X 3 W 20 X i — X 2 — X 3=— 5 X i W 0, X 2>0 , X 3 无约束 2.2已知线性规划问题 max z = CX , AX=b , X >0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的 变化： (1 )问题的第k 个约束条件乘上常数 入(炉0); (2) 将第k 个约束条件乘上常数 入(苗0)后加到第r 个约束条件上； (3) 目标函数改变为 max z = 2CX (入工0)； 4)模型中全部 X i 用 3 X'i 代换。 2.3 已知线性规划问题 min z = 8X i + 6X 2+ 3X 3+ 6X 4 st. x i + 2X 2 + X 4》3 3x i + X 2 + X 3+ X 4 A 6 X 3 + X 4= 2 X i + X 3 A 2 X j A 0(j =i,2,3,4) (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为 X*=(i ，i ，2，0) ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题 min z = 2X i + X 2+ 5X 3+ 6X 4 对偶变量 st. 2X i + X 3+ X 4W 8 y i 2X i + 2X 2+ X 3+ 2X 4W i2 y 2 X j A 0(j =i,2,3,4) 其对偶问题的最优解 y i *=4； y 2*=i ，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题 maX z = 2X i + 4X 2+ 3X 3 st. 3X i +4 X 2+ 2X 3W 60 2X i + X 2+ 2X 3W 40 X i + 3X 2+ 2X 3W 80 X j A 0 (j = i,2,3) ( i )写出其对偶问题 ( 2)用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； ( 3)用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶 问题的解； ( 4)比较( 2)和( 3)计算结果。 2.6已知线性规划问题 max z = 10x i + 5x 2
用对偶单纯形法求解线性规划问题
用对偶单纯形法求解线性 规划问题 The final edition was revised on December 14th, 2020.
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 .-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 . 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX . ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX . ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y . ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用 摘要 线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解. 关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化
Linear Programming is the Original Problem and the Transformation of the Dual Problem and Applications Abstract: Linear programming in operational research is research earlier, rapid development and wide application, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Can from different angles to linear programming dual problem for policy makers to provide more scientific theory basis. This article mainly probes into the linear programming problem and the relationship between the dual problem, linear programming problem and the transformation of the dual problem, the application of linear programming dual problem. This article is the complex of the original problem into its dual problem to be solved, simplifies the linear programming problem, enables us to rapidly find the optimal solution of linear programming problem. Keywords: linear programming; the original problem; the dual problem; conversion
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3） x1－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束 x1≤0， x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 'x代换。 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6
x3 ＋ x4＝2 x1 ＋ x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划原问题与对偶 问题的转化及其应用 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用 摘要 线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解. 关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDu alProblemandApplications Abstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,目录
1引言 线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息. 2文献综述 国内外研究现状 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性.崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第二章线性规划的对偶问题 习题 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3） x1－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束 x1≤0， x2≥0，x3无约束 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6
x3 ＋ x4＝2 x1 ＋ x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。 8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0线性规划的对偶问题及其经济含义
线性规划的对偶问题及其经济含义 信息工程学院 数学121 12421001 崔旭
在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。对偶理论主要研究经济学中的相互确定关系，涉及到经济学的诸多方面。产出与成本的对偶、效用与支出的对偶，是经济学中典型的对偶关系。当然，经济系统中还有许多其他这样的对偶关系。 对偶理论有许多重要应用：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是影子价格。 对偶定理：有一对对偶的线性规划问题，若其一有一个有限的最优解，则另一个也有最优解，且相应的目标函数值相等。若任一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。对称形式的对偶：原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。例如： 原问题：minz=CX AX>=b X>=0 对偶问题：max=Yb YA<=C X>=0 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 弱对偶性定理：若()0 Y分别是原问题和对偶问题的可行解，则有 X和()0 C()()0 0b ≥ X Y 最优性定理：若()0 Y分别是原问题和对偶问题的可行解，且有 X和()0 ()0 CX=()0 bY，则()0 Y分别是原问题和对偶问题的最优解。 X和()0
最优对偶变量（影子价格）的经济解释：由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题和对偶问题的目标函数值相等。如果在得到最优解时，某种资源并未完全利用，其剩余量就是该约束中剩余变量的取值，那么该约束相对应的影子价格一定为零。因为在得到最优解时，这种资源并不紧缺，故此时再增加这种资源不会带来任何效益。反之，如果某种资源的影子价格大于零，就说明再增加这种资源的可获量，还回带来一定的经济效益，即在原问题的最优解中，这种资源必定已被全部利用，相应的约束条件必然保持等式。 用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。影子价格是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。这个定义是基于线性规划中的合理利用有限资源以求得最好的经济效果的规划问题。影子价格正是这种假设条件中单位资源对目标极值的贡献，是资源的单位价格，反映资源在企业内部运用的贡献情况，称之为资源的影子价格。 如果目标函数是利润，这里的就是影子利润（意义不大）；如果目标函数是销售金额，这里的才是影子价格。人们通常讨论的是后一种，目标函数是销售金额，是影子价格。从对公式的解读中，人们看
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题 Min z =5x 1+3x 2 X 1 - 6 x 2 A 4 在表4-17中,b=-16<0,而yA 0,故该问题无可行解. 注意：对偶单纯形法仍是求解原问题 ，它是适用于当原问题无可行基 ，且所有检验数均为负 的情况. 若原问题既无可行基，而检验数中又有小于 0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时，只有人工变量法，没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知，在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系 从求解原问题的最优单纯形表中 ，得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(P)为 Min z= ex s.t. -2 X i + 3x 2 A 6 A 0 (j=1,2 ) 解：将问题转化为 Xj Max z = -5 X 1 -3 x 2 s.t. 2 x i - 3x X 3 = -6 -3 x i + 6 X 2 + x 4A -4 Xj 其中，X 3 , X 4 ,3,4 ) A 0 (j=1,2 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表 4-17. ,可以根据这些关系，
Xj > 0 (j=1,2 , 3,4 ) 则标准型 (LP) 为 AX b s.t. X0 Max z=CX AX b s.t. X0 其对偶线性规划(D )为 Max z=b T Y AX b s.t. X0 用对偶单纯形法求解 时，有 Pj=-e i ， c j =0 (LP ),得最优基B 和最优单纯形表 T ( B )。对于(LP )来说，当j=n+i T (B )中，对于检验数，有 (b n+1,b n+2???b n+m) = (C n+i , c n+2…，c n+m ) -C B B -1 (Pn +1,Pn+2 …,Pn+m ) =- C B B -1 (-I) 于是，Y*= (b n+1,b n+2…b n+m T 。可见，在(LP )的最优单纯形表中，剩余变 量对应的检验数就是对偶问题的最优解。 同时，在最优单纯形表 T ( B )中，由于剩余变量对应的系数 所以 从而，在最优单纯形表 b n +2 …b B 1 = ( -y n+1 , -y n+2 …-y n+m ) 例 4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. X i + 2x 2 >20 X 1 + 2x 2 A 50 Xj > 0 (j=1,2 ) 解： 将问题转化为 Max z =-6x 1-8x 2 s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20 -3 X 1 - 2X 2 + X 4 =50
线性规划的对偶
第四章 线性规划的对偶理论 一、填空题 1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦 然。 2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。 5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。 6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。 7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为C B，则其对偶问题的最优解Y﹡= C B B－1。 8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX ﹡= Y﹡b。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有 CX≤Yb。 10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。 11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的对偶变量的数量表现。 13．线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为A T 。 14．在对偶单纯形法迭代中，若某b i<0，且所有的a ij≥0(j=1，2，…n)，则原问题_无解。 二、单选题 1．线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为A形式。 A．“≥” B．“≤” C，“>” D．“=” 2．设、分别是标准形式的原问题与对偶问题的可行解,则 C 。 3．对偶单纯形法的迭代是从_ A_开始的。 A．正则解 B．最优解 C．可行解 D．基本解 4．如果z。是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡A。
线性规划 对偶问题
任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题。本章将讨论线性规划的对偶问题及灵敏度分析，从而加深对线性规划问题的理解，扩大其应用范围。 §1 对偶问题的一般概念 1.1 对偶问题的提出 在第一章中我们研究过一个生产计划问题，其数学模型为： 例1 (2.1) 现在，从另一个角度来考虑该问题，假设这家企业想将自己生产产品改为对外加工，此时，工厂决策者必须考虑怎样为这三种资源定价的问题。设分别代表转让两种资源和出租设备的价格和租金。定价的原则是：生产一个单位的甲产品需消耗9个单位的钢材、4个单位的铜材、3个单位的设备台时，获利70个单位；那么，将这些资源全部转让时所获得的利润应不少于70个单位，即 （2.2） 同样的分析，有 （2.3） 此时，企业的总获利（即对方的总付出）为 （2.4） 为使对方容易接受，该厂只能在约束条件（2.2）和（2.3）下求（2.4）式的最小值，即 （2.5） 上述两个模型（2.1）和（2.5）是对同一问题的两种不同考虑的数学描述，其间有着一定的内在联系，我们对此进行比较分析，并从中找出规律，两个模型的对应关系有： （1）两个问题的系数矩阵互为转置； （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数； （3）一个问题的右端系数是另一个问题的目标函数的系数；
（4）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类型，另一个问题的目标函数为极小化，约束条件为“≥” 我们把这种对应关系称为对偶关系，如果把（2.1）式称为原问题，则（2.5）式称为对偶问题。 1.2 对偶问题的形式 一、对称形对偶问题 定义1设原线性规划问题为 （2.6）则称下列线性规划问题 （2.7）为其对偶问题，其中称其为对偶变量，并称（2.6）和（2.7）式为一对对称型对偶问题。 原始对偶问题（2.6）和对偶问题（2.7）之间的对应关系可以用表2-1表示。