复变函数复习题

复变函数复习题（2012-4-10） 第一章自测题

(一)填空题（每题3分，共15分）

1．复数10

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)i z i θθθθ+=-的复指数表示式为__________________;

2．设11i

z i

+=

-，则1005025____________________;z z z ++= 3．设35,arg(),4

z z i π

=-=则______________;z = 4．不等式225z z -++<所表示的区域是_____________________; 5．方程232z i +-=所代表的曲线是__________________________.

（二）选择题（每题3分，共15分）

1．设34,z i =-+则幅角的主值arg (

)z

4

4

.arctan .arctan 33

4

4

.arctan .arctan

3

3

A B C D π

π

π

+-+-

2．41(

)-=

22222

2

2

2

.cos sin .cos

sin

4

4

4

4

33222222

2

2

.cos sin .cos

sin

44

4

4

k k k k A i B i k k k k C i D i π

π

π

π

πππππππ

π

ππ

ππ++-

+-

+++++-+-

++-

(0,1,2,3)k =

3．设(i z t t t

=+为参数)，则其表示(

)图形。

.A 直线； .B 双曲线； .C 圆； .

D 抛物线。

4．一个向量顺时针旋转

,3

π

向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为13i -，

则原向量对应的复数是();

.2;.13.3.3A B i C i D i +-+

5．设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（ ）

3333

.;

.

;.

;.

4

4

4

4

A i

B i

C i

D i -++---。 （三）计算题（每题5分，共50分）

1．设11i i z i i

-=

+-，求出它的实部、虚部、共轭复数、模及幅角（包括主幅角）； 2．将()7

22z i =--表示成x iy +的形式，并写出其三角和复指数表示式； 3．试求使等式成立的实数x 与y ：2

6

()5()1x y i x y x y i i

+--=-++- 4．求解方程2(23)130z i z i -+++=； 5．求值：4

5

(1)i -；

6．利用棣莫弗公式，试把cos3θ与sin 3θ分别表示为cos θ与sin θ的幂；

7．化简

(13)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i i θθθθ-+--

8．求z 平面上的直线2x =经(1)2w i z i =++-映射到w 平面上的图形； 9．函数2

w z =把z 平面上实轴及平行于实轴的直线映射成什么样的曲线？ 10．设复数,z i ≠±试求使

2

1z

z

+为实数的条件。 （四）证明题（每题10分，共20分）

1．设n 为正整数，试证：3131

1313()()122

n n i i ++-+--+=- 2．证明函数(1)

1i z w z

-=+把单位圆内部映射成上半平面()Im 0.z >

第二章自测题

（一）填空题：（每题3分，共15分） 1． 设()()01,01,f f i '==+则()0

1

lim

_________________z f z z

→-=； 2． 设()5

1(1)5

f z z i z =

-+，则方程()0f z '=的所有根为___________； 3． 函数()()()Im Re f z z z z =-仅在点__________________z =可导； 4． 设()f z u iv =+在区域D 内解析，如果u v +是实常数，那么()f z 在D 内是

______________

5． 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是

_______________________________。

（二）选择题：（每题3分，共15分）

1．如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 处一定（ ）

.A 不解析； .B 不可导； .C 可导； .D 解析。

2．函数()2

1

1f z z =

+在圆域1z <内（ ） .A 可导； .B 不连续； .C 不可导； D 连续不可导。

3．下列函数中为解析函数的是（ ）

()()233..23A f z x iy B f z x i y =-=+ ()()22..

sin cos C f z xy ix y

D f z x chy i x shy =+=?+?

4．下列命题中，正确的是（ ）

.A 设,x y 为实数，则cos()1x iy +≤；

.B 若0z 是函数()f z 的奇点，则()f z 在0z 一定不可导；

.C 若,u v 在区域D 内满足柯西—黎曼方程，则()f z u iv =+在区域D 内解析；

.D 若()f z 在区域D 内解析，则()i f z 在区域D 内也解析。 5．设()sin ,f z z =则下列命题中，不正确的是（ ）

().A f z 在复平面上处处解析； ().B f z 以2π为周期；

().2iz iz

e e C

f z --=

().D f z 是无界的。

（三）计算题（每题5分，共50分） 1． 求函数

()

2

2

2

1(1)

z z z ++-的奇点；

2． 设()()

2

2

2

3

1(1)f z z z =-+，求其解析性区域，并求出其导数；

3． 问函数()()Re f z z z =+在何处可导，何处解析；在可导处求出其导数； 4． 求实常数k ，使得函数()(cos sin )x

f z e ky i ky =+在z 平面上处处解析；

5． 已知2

2

,u v x y -=-试确定()f z u iv =+；

6． 求值：（1）23

i

e

π-；（3）()cos 5i π+；

7． 求值：（1）(1)i

i +；（2）()Ln i - 8． 求解方程：13z

e i =+； 9． 求解方程:sin cos 4z i z i +=； 10. 设,z x iy =+求2i z e -. (四)证明题 (每题10分,共20分) 1.1tan 21i iz Arc z Ln iz

+=-

-; 2.若函数()f z 在上半平面内解析,则()

f z 在下半平面内也解析.

第三章 自测题

(一) 填空题 (每题3分，共15分) 1.设c 为正向圆周2z =,则积分

_____________________c z z dz z +=? ；

2.设()2

20z z f z dz z z ==-? ,其中0z 不在2z =上,则()________f i '-=;

3.

010________,0

1

________,

()n z z r n dz n z z +-=≠?=?

=-?? 4. 设()2sin()

2f z d z

ξπ

ξξξ==-? ,其中2z ≠,则()3_____________f '=; 5. 若函数()32

,u x y x axy =+为某一解析函数的虚部,则常数_____________a =;

(二)选择题(每题3分，共15分) 1.设c 为从原点沿2

y x =至1i +的弧段,则2

()c

x iy dz +=?( )

15151515 (66666666)

A i

B i

C i

D i -

-+--+

2.设c 为不经过点1与-1的正向简单闭曲线,则

2(1)(1)c z

dz z z -+? 为( )

.

..0 (2)

2

i

i

A B C D A B C ππ-

都对

3.设1:1c z =为负向,2:3c z =为正向,则

12

2sin c c z

dz z +=?( ) .2.0.2.4A i B C i

D i πππ-

4.设c 为正向圆周1

,2z =

则321

cos

2(1)c

z z dz z --? =( ) .2(3cos1sin1)

.0

.6cos1

.2sin1A i B C i D i πππ--

５. 设c 为正向圆周2220x y x +-=，则2sin()

41c

z dz z π

=-? （ ）

22.

.2.0.2

2

A i

B i

C

D i πππ-

(三)计算题.(每题5分，共30分) 1.

c

z zdz ? ,其中c 是一条闭曲线,由直线段:11,0x y -≤≤=与上半单位圆周组成.

2. ()2

Re z

c

e

z dz ?

,其中c 为从10z =到21z i =+的直线段组成.

3.

2sin i

i

zdz ππ

-?,其中积分路径为从i i ππ-→的任意简单闭曲线.

4.

22

132

z z

dz i z -=-+

? 5.

26(1)(2)z r

z

dz z z =-+? ,其中0,1,2r r >≠ 6.

3(1)c

dz

z z -? ,其中c 为z 平面上一简单闭曲线(1)0在c 内,1在c 外;(2)1在c 内, 0 在c 外;(3) 0和1都在c 内.

7. 设()21(2)

e f z d πξ

ξξξ==-? ,求: (1)()()0,2;f f (2)()()0,2f f '' 8. 设()22

371

f z d z ξξξξξ=+-=-? ,求: ()()1,1f i f i '''++ 9. 问函数(),arctan

(0)y v x y y x x

=+>能否成为某一解析函数的虚部,若能,试求

出满足条件()11f =的解析函数()f z u iv =+.

10. 若调和函数,u v 满足22

()(4)u v x y x xy y +=-++2()x y -+,试确定解析函数

()f z u iv

=+. (四) 证明题 (每题10分，共20分)

1.求积分1

z

z e dz z =? 值,并证明cos 0cos(sin )e d θπθθπ=?. 2.设()f z 在(1)z r

r <>内解析,且()()01,02,f f '==试计算积分

()2

21

(1)z f z z dz z =+? ;并由此证明 220cos ()22i f e d πθθθπ=?.

第四章 自测题

（一）填空题 （每小题3分，共15分）

1．若幂级数

()

n

n n c z i ∞

=+∑在z i =处发散，那么该级数在2z =处的敛散性为_______；

2．级数312n

n n z n

∞

=∑的收敛半径为_______；收敛圆为_______；

3．若级数

1

n

n z

∞

=∑收敛，则

1

n

n z

∞

=∑_______收敛；若

1

n

n z

∞

=∑发散，则

1

n

n z

∞

=∑_______收敛；

4．洛朗级数

1

(1)

n

n z ∞

=--∑的收敛域为_______；

5．设()1

(1)

f z z z =

-，则()f z 在01z <<内的洛朗展开式_______；

（二）选择题 （每小题3分，共15分） 1．幂级数在收敛圆周上（ ）

.A 一定收敛； .B 一定发散； .C 可能收敛可能发散；.D ,,A B C 均不对。 2．在点0z （ ）的函数一定可以在0z 的邻域内展开为泰勒级数； 3．若lim 0n n z →∞

=，则复数项级数

1

n

n z

∞

=∑（ ）

.A 收敛； .B 发散； .C 可能收敛可能发散；.D ,,A B C 均不对。

４．级数1

(1)n

n z n ∞

=-∑的收敛半径及收敛圆为（ ）

.1,11;.2,11;.1,1;

.2,

1

2;

A R z

B R z

C R z

D R z =-<=-<=<

=-<

５．设幂级数

,,,1n

n

n

n

n

n

n n n c c z nc z z

n ∞∞∞

===+∑∑∑的收敛半径分别为123,,R R R ，则123,,R R R 之

间的关系是（ ）

123123123

123

....A R R R B R R R C R R R D R R R <<>>=<==

(三)计算题

1．求下列幂函数的收敛半径 （每小题5分，共10分）

（1）12n n n n z ∞

=∑ （2）20

(1)(2)!n n

n z n ∞

=-∑

2．求级数

1

(1)(3)

n n n z ∞

+=+-∑的收敛域以及和函数。（本小题5分）

3．将下列函数在指定点展开为幂级数，并指出它的收敛半径（每小题5分，共15分）

（1）

(1)(2)

z

z z ++ 02z =

（2）ln(1)z

z

e e + 00z = （3）sin z 0z k π=

4．将下列函数在指定圆环域内展开为洛朗级数 （每小题5分，共20分）

（1）

3

1

(2)z z + 022z <+<

（2）2(1)z

e z z + 01z <<

（3）

2

2(1)(3)

z z z -+ 在01z =的邻域内

（4）

sin z

z π

- 在以0z π=为中心的圆环内 5． 把函数()f z =

1

(1)(2)

z z z --在以下面的0z 为中心的可能解析的圆环域内展开成洛朗

级数。 （每小题5分，共10分）

00(1)1;(2)

2z z ==

6．求积分

()3

z f z dz =?

（每小题5分，共10分）

） （1） ()2(1)z f z z z

+=+ （2） ()2

1

5z f z z e =

第五章 自测题

（一）填空题 （每小题3分，共15分） 1．0z z =为解析函数()f z 的m 级零点是0z z =为

()

1f z 的m 级极点的______条件；

2．()f z 在孤立奇点0z 的去心邻域内洛朗级数中负幂项____________时，称0z 为()f z 的本性奇点；

3．设0z =为函数32

sin z z -的m 级零点，则_________m =；

4．设函数()22

1,z z f z e +

=则()Re [,0]___________s f z =；

5．函数

cot 23

z

z π-在2z i -=内的奇点个数为_________________。 （二）选择题 （每小题3分，共15分） 1．1z =是函数1

(1)sin

1

z z --的（ ） .A 可去奇点；.B 一级极点； .C 一级零点； D 本性奇点。

2．设函数()f z 与()g z 分别以z a =为本性奇点与m 级极点，则z a =为函数()()f z g z 的确（ ）

.A 可去奇点；.B m 级极点； .C 小于m 级的极点； D 本性奇点。

3．设0z =为函数41sin z

e z z

-的m 级极点，那么(

)m =

.

5.4.3.2A B C D

4．下列命题中正确的是（ ）

.A 设()()()0(),m f z z z z z ??-=-在0z 点解析，()00z ?≠，m 为自然数，则0z 为()f z 的m 级极点；

.B

设()()()0(),m f z z z z z ??-=-在0z 点解析，()00z ?≠，m 为自然数，则0z 为()f z 的m 级零点；

.C 如果()0Re [,]0s f z z =，则0z 是()f z 的可去奇点；

.D 若()0,C f z dz =? 则()f z 在c 内无奇点。

5．下列命题中不正确的是（ ）

A ．若0z 为()f z 的解析点或可去奇点，则()0Re [,]0s f z z =

B ．若()(),P z Q z 在0z 解析，0z 为()Q z 的一级零点，则()()()

()

000Re [,]P z P z s z Q z Q z =

' C ．若0z 为()f z 的m 级极点，n m ≥为自然数，则

()()()0

1

001Re [,]lim[]!n z z s f z z z z f z n +→=

- D ．如果0z 是()f z 的m 级极点，则0z 是1f z ??

???

的m 级零点。 （三）计算题

1．指出下列函数的孤立奇点，是极点请指明其级数。（每小题5分，共20分）

（1）322

1

(1)z z -； （2）2sin z e z

z

； （3）ln(1)

z z

+； （4）1

z z e -；

2．求下列函数在孤立奇点处的留数 （每小题5分，共20分）

（1）

12212,02z z z z z +==-

（2）

,cos 2

z z z

π

=

（3）24

1,0z

e z z -=

（4）

3

sec ,0z

z z =

3．利用留数定理计算围线积分 （每小题5分，共20分）

（1）

12

22(1)(2)z z

dz z z -=--? （2）22sin 2

z z dz z =-? （3） 3tan()z z dz π=? （4）1

321z z z e dz z =+?

（四）证明题 （本小题10分）

设z a =为()f z 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为()f z 的m 级极点的充要条件是

()lim()m z a

z a f z b →-=，其中0b ≠为有限数