2020版高考总复习必考知识点数学人教B版第五章导数及其应第2节 向量的分解与向量的坐标运算

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： ） AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 ) （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

高中数学平面向量知识点总结[1]

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

重点高中数学平面向量知识点总结

重点高中数学平面向量知识点总结

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平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：AB 可表示为a 3.模的概念：向量AB 的大小——长度称为向量的模。 记作：|AB | 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的。 注意0与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：a =b 规定：0=0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + A A A B B B C C C a + a + a a b b b a a

1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：a +b =b +a 3?向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：AB 表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ =0 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：

高二数学向量知识点总结

高二数学向量知识点总结 高二数学向量知识点总结(一) 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是能够自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则实行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会实行平面向量积的运算，能使用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来协助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。因为向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析

几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难 度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的 要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向 量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函 数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入 向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就能够将“形” 和“数”紧密地结合在一起.所以，很多平面几何问题中较难解决的问题，都能够转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形 放到适当的坐标系中，赋予几何图形相关点与平面向量具体的坐标， 这样将相关平面几何问题转化为相对应的代数运算和向量运算，从而 使问题得到解决. 【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。 高二数学向量知识点总结(二) 平面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：

高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

向量的概念 一、高考要求： 理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律. 二、知识要点： 1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为 始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度. 2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向 量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有: (1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长, 即a 和b 相等,记作a =b . (2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定. (3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置 被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量. (4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然, ()0a a +-=. (5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记 作0a ,容易看出:0a a a =│ │ . (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些 向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记 作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行). 三、典型例题： 例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且 AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结： 1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据. 2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同, 模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等. 五、基础知识训练： （一）选择题： 1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向 量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( ) A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量 3. a b =的充要条件是( )

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC uuu r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

高考数学-平面向量(知识点归纳+习题)

高中数学向量专题 【基础知识精讲】 1.向量的定义 既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的 向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量). 2.向量的模 所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作｜AB｜或者｜a｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向 量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量. 4.平行向量、共线向量 方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行. 根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量. 由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形， 则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量. 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 【重点难点解析】 通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念. 例1判断下列各命题是否正确 (1)若｜a｜=｜b｜，则a=b (2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件. (3)若a=b,b=c,则a=c (4)两向量a、b相等的充要条件是 (5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分条件.

2020高考数学专题复习《平面向量知识点》

a 0 a 数学必修 4 第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如 AB , a 的模分别记作| AB |和 | a | 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。3. 几类特殊向量 (1) 零向量：长度为 0 的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行， 零向量a ＝ 0 ? ｜ a ｜＝0。由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量， 故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与 0 的区别） (2) 单位向量：模为 1 个单位长度的向量，向量 为单位向量?| a 0 |= 1 。将一个 e r = r 向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为： a | a | (3) 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥ b 。 规定： 0 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意 选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义， 要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作-a 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ② - (-a ) = a ； ③ a + (-a ) = 0 ； ④若a 、b 是互为相反向量，则a = - b , b

向量知识点题型归纳

专题--平面向量 1.向向量的相关概念、、 2.向量的线性运算 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______ （答：1322 a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24 e e =-=- （答：B ）； （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____ （答：24 33 a b +）； （4）已知A B C ?中，点D 在BC 边上，且?→??→?=DB CD 2，?→ ??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是 （答：0） 四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： ()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ ＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。 五．平面向量的数量积： 1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝ 2 π 时，，垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的 数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 （1）△ABC 中，3||=?→ ?AB ，4||=?→ ?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?BC AB _________ （答：－9）； （2）已知1 1(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为 4 π ，则k 等于___（答：1）； （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____ ； （4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30） 3．在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知3||=→ a ，5||=→ b ，且12=?→ →b a ，则向量→ a 在向量→ b 上的投影为______ （答：5 12 ） 4．a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=； ②当，同向时，?＝a b ，特别地，2 2 2 ,a a a a a a =?== ； 当与反向时，?＝－a b ；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、 不同向，0a b ?>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、 不反向，0a b ?<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b θ?=；④||||||a b a b ?≤。如 （1）已知)2,(λλ=→ a ，)2,3(λ=→ b ，如果→ a 与→ b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43 λ<- 或0λ>且1 3λ≠）； （2）已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→ ??→?FQ OF ，若2 3 21<

高一数学向量知识点46776知识讲解

3eud教育网https://www.360docs.net/doc/0e12591550.html, 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 第五章知识点回顾 一、本章知识 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a； 坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.单位向量a O为单位向量?｜a O｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） ? ? ? = = ? 2 1 2 1 y y x x (6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型几何方法坐标方法运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212 (,) a b x x y y +=++ r r a b b a +=+ r r r r ()() a b c a b c ++=++ r r r r r r AC BC AB= + 向量的 减法 三角形法则 1212 (,) a b x x y y -=-- r r() a b a b -=+- r r r r AB BA =- u u u r u u u r ,AB OA OB= -数 乘 向 量 1.aλ r 是一个向量,满 足:|||||| a a λλ = r r 2.λ>0时, a a λ r r 与同向; λ<0时, a a λ r r 与异向; λ=0时, 0 a λ= r r . (,) a x y λλλ = r ()() a a λμλμ = r r ()a a a λμλμ +=+ r r r () a b a b λλλ +=+ r r r r // a b a b λ ?= r r r r 向 量 a b? r r 是一个数 1.00 a b == r r r r 或时，1212 a b x x y y ?=+ r r a b b a ?=? r r r r ()()() a b a b a b λλλ ?=?=? r r r r r r

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点 的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x

高中数学必修4平面向量知识点总结

高中数学必修4 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的 起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法 ),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向 量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在 有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可 以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一

高中数学平面向量知识点总结

平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：a ∥b ∥c 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：a =b 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a

1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa 定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa 1?|λa |=|λ||a | 2?λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0 2．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③ 3.向量共线充要条件：

高考数学平面向量知识点总结及解题思路方法

高考数学平面向量知识点总结及解题思路方法 考试内容： 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式． §05. 平面向量知识要点 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；

坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） . (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜ . (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） ?? ?==?21 2 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量 . 3. 向量的运算 ()(a b c a b ++=++AC BC AB =+ AB BA =-,AB OA OB =-||||a a λλ=>0时, a a λ与同()()a a λμλμ= )a a a μλμ+=+ )a b λλ=+ //b a b λ?=

向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞ 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||b a ||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AC BC AB =+;CB AC AB =-

高中的文科数学平面向量知识点整理

高中文科数学平面向量知识点整理 1、概念 向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ?b =-a ?a+b =0 向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 2 2 222||,||a x y a a x y =+==+。） 零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4） 若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ ）； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()() a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． b a C B A a b C C -=A -AB =B