吉林大学线性代数试题(B_2009.6
2009.6 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）
1. 设?????
????
???-=*
80
3
010*********A ，则A ＝ 2 .
2. A 为n 阶方阵,T A A =E 且=+ 3．设方阵12243,3 1 1t -?? ?? =????-?? A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t -3 . 4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组 ,,,,21m ααα β 的秩为 m +1 . 5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =____y 1-A __ ． ６．设3R 的两组基为() T 11,1,1a =，() 21,0,1a T =-，() 31,0,1a T =； T 1(1,2,1,)=β,()()232,3,4,3,4,3ββ==T T ，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡 矩阵P =???? ? ?????---10 1 010432 ． 二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 设n D 为n 阶行列式，则n D ＝0的必要条件是[ D ]. (A) n D 中有两行元素对应成比例； (B) n D 中各行元素之和为零； (C)n D 中有一行元素全为零；(D)以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ C ]. (A) α必可由β，γ，σ 线性表示. (B) β必可由α，γ，σ 线性表示. (C) σ必可由β，γ，α 线性表示. (D) γ必可由β，α，σ 线性表示. ３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1， P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ B ]. (A)1000100 0?? ?? -?????? ； (B) 0 000100 1???? -?????? ； (C) 0 0001000 1?? ?? ? ????? －；(D) 1 000000 1?? ?? ?????? －． ４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ D ]． （A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵43?A 有一个3阶子式不为0，则[ C ]. （A ）Ｒ(A )=1； （B ） Ｒ(A )=2； （C ） Ｒ(A )=3；（D ） Ｒ(A )=4 ． ６．实二次型f ＝x 'Ax 为正定的充分必要条件是 [ A ]． (A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n . 三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） 1.求1122331 00110011001 1b b b D b b b --= ----的值 解：111222233 33 3 1 0010010001 0010010 1.011001 0010 1 10 110 1b b b b b b D b b b b b b = ===------ ２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组， 并把其余的向量用该极大无关组线性表出. 解：极大无关组12,αα， 12332ααα-=，1242ααα-=. ３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 1 00010,0 0?? ?? ?????? P A P=若 P =(α1,α2,α3),Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ． 解：由于 Q =(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) 1001 00110110,0 10 1???? ????=??? ????????? P 于是Q T AQ = T T 1001 001 101 001101100101100 0100 10 10 1? ?? ??????? ?? ? ?????????= ? ????????? ? ??????????????? ?? ? ??? P A P P A P 1 101 001 002 10010010110110.0 10 000 100 0???????? ????????==???????????????????????? 4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+. 解: 由O A A =+22知, A 的特征值-2或0,又)0()(n k k R <<=A ,且A 是n 阶实对称 矩阵,则2 2 ~0 0-?? ????? ?-? ????????? A (k 个-2)，故E A 3+3n k -=． 5.设矩阵220820 6a ???? ?????? A =相似于对角矩阵Λ，求a . 解： 由|A -λE |=0，得A 的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2.由于A 相似于对角矩阵，R （A -6E ）=1，即 4202 1084~000 00 0a a --???? ????-???????????? ， 显然，当a =0时，R （A-6E ）=1，A 的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量． 四、（本题满分 10分）对线性方程组231121312312223223 1 32333231 42434. x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=?++=??++=??++=?，， ， (1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？ (2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解． 解：（1） 0))()()()()((1 111 3424142313123 4 2 4 4 332 333 22 2231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ， ()()R R ≠ A b A ，无解． （2）2)(=A R ，3=n ，故通解 21121()01, ()21k k k -???????? =-+=+∈????????-???? x ξξξR ． 五、（本题满分8分）设二次曲面的方程122=++byz xz axy ）0>a 经正交变 换x y z ξηζ???? ???? =???????????? Q ，化成122 22 =-+ζ ηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q . 解：设0120210a a b b ? ? ?? ?? ? ?=????????? ? A ，由0,20-=+=A E A E 知1,2-==b a ． 当1λ=时，1 111 11111~0001 1 10 0---???? ????-=--????????--???? A E ，t )0,1,1(1=ξ，T )2,1,1(2-=ξ 当2λ=-时，1012~0110 0????+-?????? A E T 3(1,1,1).=-ξ 故正交阵1110-=??? Q . 六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特 征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交． 证 ：依题意得Aα=λα， A T β=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αT A T =λαT ，在上式的两边右乘β得，αT A T β =λαT β，即μαT β=λαT β，亦即（μ-λ）αT β=0，由于λ≠μ，所以αT β=0，故α与β正交． 2009.6 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分） 1. 设????? ???? ???-=* 80 3 010*********A ，则A ＝ 2 . 2. A 为n 阶方阵,T A A =E 且=+ 线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 （） （A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（） 2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则 111)(---=A B AB 。（） 全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? ? ? ? ? ?诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！ ?线性代数期末考试试卷及答案 ? ? ? 号?注意事： 1.考前将密封内填写清楚； 位? 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ； 座? 3．考形式：开（）卷； ? 4.本卷共五大，分100 分，考 120分。 题号一二三四五总分? ?得分 ?评卷人 ? ? ? ?一、（每小 2 分，共 40 分）。 ? 业? 专?1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是? ?【】 ? ? ) ? 封A B. ABC C . BCA D. CAB ?. BAC 2 答?＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】 2. n 方 A 足 A 院不 ? A.矩 A 不是矩 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 ? 学内 ? ? 封?3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密 ? (? A. －2－2 n－2n ? B. C. D. 1 ? ?4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】? ? A. 必存在一个行向量零向量 ? ? B. 必存在两个行向量，其分量成比例 ? C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合 号? 密 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合 学 ? ? 5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】? ?A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2 ? C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1 ? D. ? ? 名? 6. 向量 (I):a1 ,, a m (m 3) 性无关的充分必要条件是【】 姓? ? ? ? ? ? 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λs αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解 （试卷一） 一、 填空题（本题总计20分，每小题2 分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若1 22 21 1211 =a a a a ，则=1 6 03032221 1211 a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则 CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5.设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵，???? ? ??=-1230120011 A ，则=* A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有 非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式 1 2345 3201111111 2140354321=D ，则 = ++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）______________。 10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,2 1 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s < 2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ．8 Ｂ．8- Ｃ．34 Ｄ．3 4- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则 ( d ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()* kA 等于_____。c )(A * kA )(B * A k n )(C * -A k n 1 )(D * A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的 线性代数习题和答案 第一部分选择题 (共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs =0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 广东海洋大学 2013 —— 2014学年第一学期 《线性代数》课程试题 课程号： √考 试 √ A 卷 √ 闭卷 □考查 □ B 卷 □ 开卷 一、填空题（30分） 1、设|A|=2，|B|=3，则|AB -1|= 。 2、设A 可逆，则矩阵方程XA=B 的解为X= 。 3、设A ，B 均可逆，则= 。 4、两个向量α与β线性相关? 。 5、非齐次线性方程组AX=b 有解? 。 6, n 阶方阵A 可逆? 。 7、设 ，则R （A ）＝ 。 8、设D 是三阶行列式，则231322122111A a A a A a ++= 。 班级： 姓名： 学号： 加白纸 张 密 封 线 1 00-??????B A ?? ?? ??????---→221002*********A 9、向量组 。 10、设n 元齐次线性方程组AX=0，R （A ）=r ，则其基础解系由 个向量构成。 二、计算行列式的值（10分） 三、设A= ，B= ，求X ，使AX=B 。 （12分） 3 3514 31511022 113------=D ??????????--113122214???? ??????--132231线性T T T )7,4,2(,)3,2,0(,)1,1,1(321===ααα 四、求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量由此极大无关组线性表示（14分） T T T T 1234(111(110(100(123αααα====， ， ），， ， ），， ， ），， ，－） 五， 设 A= ，求A 1- （12分） ???? ??????--523012101 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的 秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=33133212311113121123 2221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） （线性代数） （ A 卷） 专业年级： 学号： 姓名： 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设n m A ?为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T 为正定矩阵的 (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。 2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-== βαααA ， 1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A (A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。 3．设向量组s ααα，，， Λ21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，，Λ21线 性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组s βββ，，， Λ21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，， Λ2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，， Λ2线性无关； (D) 向量组s ααα，，， Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价。 4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是 (A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。 5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，* A 为A 的伴随矩阵，则 √ √ 第一周作业解答 习题 1.1(A) 2. 设甲省两个城市a 1,a 2和乙省三个城市b 1,b 2,b 3的交通路线如图1, 3. 乙省三个城市b 1,b 2,b 3和丙省两个城市c 1,c 2,的交通路线如图2, 4. 其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数 . 试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息. 解 用a ij 表示联结a i 与b j 的不同道路的总数,则甲乙两 省的通路信息可用矩阵 ??? ? ??301213 表示; 用b ij 表示联结b i 与c j 的不同道路的总数,则乙丙两省 的通路信息可用矩阵 ???? ? ??214312 表示. 习题1.2(A) 1. 计算下列矩阵的乘积: ;20411122013 143110412 )2??????? ? ?--???? ??- ; 11 )5??? ? ??--???? ??b a b a mb ma b a 解 ???? ??--=? ???? ? ? ??--???? ??-1052087620413121013143110412 )2 ???? ? ?=???? ??--???? ??000011 )5b a b a mb ma b a 2. 设矩阵 ,111111111? ?? ? ? ??--=A ,150421 32 1???? ? ??--=B 求3AB -2A 及A T B. 解 ????? ??--=11111111 1AB ????? ??--150421321???? ? ??-=092650 85 0 ??? ? ? ??---????? ??-=-22222222 20276181502415023A AB ????? ??----=22942017222132 ??? ?? ??--=111111111T B A ???? ? ? ?--150421 321???? ? ??-=092650850 3. 已知A =PQ ,其中 ()2,1,2,121-=??? ? ? ??=Q P 求 A 及A 100. 解 线性代数期末考试试题含 答案 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） 线性代数习题和答案一、单项选择题（ 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 线性代数（试卷一） 1、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是。 2. 若，则 3. 已知阶矩阵、和满足，其中为阶单位矩阵，则。 4. 若为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系数矩阵的齐次线性方程 组的解空间维数为__2___________。 6. 设A为三阶可逆阵，，则 7.若A为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式，则 9. 向量的模（范数）。 10.若与正交，则 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组线性相关且秩为s，则(D) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2. 若A为三阶方阵，且，则(A) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．设向量组A能由向量组B线性表示，则( d ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4. 设阶矩阵的行列式等于，则等于。c 5. 设阶矩阵，和，则下列说法正确的是。 则 ,则或 三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分） 1. 计算阶行列式。 2．设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求. 3．求矩阵的逆 4. 讨论为何值时，非齐次线性方程组 ①有唯一解；②有无穷多解；③无解。 5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程 组的通解。 6.已知向量组、、、、，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量 用该最大无关组线性表示． 7. 求矩阵的特征值和特征向量． 四、证明题（本题总计10分） 设为的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系，证明线性无关。 （答案一） 、填空题（本题总计20分，每小题 2 分） 15；2、3；3、；4、；5、2；6、；7、；8、0；9、3；10、1。.二、选择题（本总计 10 分，每小题 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B 、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分） 1、解： ------3分 -------6分 ----------8分 此题的方法不唯一，可以酌情给分。） ------1分 ------5分 --------8分 为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求.因A＝，故 3分 8分 ---3分 -------8分（利用公式求得结果也正确。） ---------3分 （1）唯一解： ------5分 （2）无穷多解： --------7分 （3）无解： --------9分（利用其他方法求得结果也正确。） --------3分吉林大学线性代数试题(B_2009.6
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