平面向量综合试题

A

C

平面向量

一.选择题

: 1. 在平面上，已知点A (2，1)

，B (0，2)，C (－2，1)，

O (0，0)．给出下面的结论： ①=- ②=+ ③2-= 其中正确．．结论的个数是 （ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2． 下列命题正确的是 （ ）

A ．向量的长度与向量的长度相等

B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同

C ．若非零向量与C

D 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 D ．若→

a P →

b P →

c ，则→

a P →

c

3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于(?? ) A.+ B. C. D.+

4． 若，且与也互相垂直，则实数的值为(?? )

A ． C.

5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（??? ）A. B. C. D. 6． 己知 (2,－1) .(0,5) 且点P 在的延长线上,, 则P 点坐标为(?? ? )

A.(－2,11)

B.(

C.(,3)

D.(2,－7)

7．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a

b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

8．已知D 点与ABC 三点构成平行四边形，且A （－2,1），B （－1,3），C （3,4），则D 点坐标为（ ） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是

（A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r

（C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22

()()AC AB BA BC CD AB

???=u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r 10． 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若

2,a b =r r 则m

λ的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8]

C.(,1]-∞

D.[1,6]-

10．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q

等于( )A ．{(1,1)} B ．{(－1,1)} C ．{(1,0)} D ．{(0,1)}

二. 填空题:11．若向量a b r r ，

的夹角为ο

60，1a b ==r r ，则()

a a

b -=r r r g ． 12．向量2411()()，，

，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ13．向量a r 、b r =1，3-=3，则 +3 =

14． 如图，在ABC ?中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=?==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =u u u r u u u r

g .

15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，

若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r

，则m n +的值为

．

三. 解答题：

16.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果=e 1+e 2,=2e 1+8e 2,=3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线; ⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.

17. 已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量的坐标.

17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－5

5，α∈(0，π)．(1)求sin?α－π2?－cos?3π

2＋α?

sin?π－α?＋cos?3π＋α?

的值；(2)求cos(2α

－3π

4)的值．

18．已知矩形相邻的两个顶点是A （－1，3），B （－2，4），若它的对角线交点在x 轴上，求另两个顶点的坐标．

19. 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.

20．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22

a b ππθθθ==-<

．(1)若a b ⊥r r ，求θ； (2)求a b +r r 的最大值．

21.设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈r r ，函数

()()f x a a b =?+r

r r . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式3

()2

f x ≥成立的x 的集合.

22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝25

5

．

(1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－5

13

，求sin α．

平面向量参考答案

一、选择题：1-5:BABBC 7. A 【解析】222

()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+g

g g a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴g a b =0， ?⊥a b.

9. C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =???-=??=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222

CD AB AC BC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，通过等积变换判断为正确.

10. A 【分析】由22

(2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2m b m α=+r 2,a b =r r 可得22

22cos 2sin m m λλαα+=??-=+?

，设

k m λ

=代入方程组可得222

22cos 2sin km m k m m αα

+=??-=+?消去m 化简得2

2

22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ?--??，再化简得2

2

422cos 2sin 022k k αα??+-+-= ?

--??

再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1

[1,]8

t ∈--因而

11128

k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A 10. A

二、填空题： 11. 2

1【解析】()

2211

cos60122a a b a a b a a b -=-?=-??=-=r r r r r r r r r g 。

.解析：已知向量2411a b ()()r r ，，

，==．向量(2,4)a b λλλ+=++r r

，()b a b λ⊥r r r

+，则2+λ+4+λ=0，实数λ=－3．

13.

14. 8

3

-【分析】根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r

112()333

AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

,此时

2212122()()33333

AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ··

18183333

=--=-. 15. 解析：由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2

三、解答题：16.⑴∵BD BC CD =+=u u u r u u u r u u u r

5e 1+5e 2=5 , ∴//又有公共点B,∴A、B 、D 共线

⑵设存在实数λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2) ∴ k =λ且k λ=1 ∴k =1± 17.⑴由0=?可知⊥即AB ⊥AC

⑵设D （x,y ）,∴)2,1(),5,5(),4,2(++==--=y x y x ∵⊥ ∴5(x -2)+5(y -4)=0

∵// ∴5(x +1)－5(y +2)=0 ∴???

?

??

?==2

527

y x ∴D(25,

27))2

3

,23(-= 17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)?cos α＝－55，α∈(0，π)?sin α＝25

5

.

sin?α－π2?－cos?3π

2＋α?

sin ?π－α?＋cos?3π＋α?＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－1

3.

(2)∵cos α＝－55，sin α＝255?sin 2α＝－45，cos 2α＝－35.cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22

sin 2α＝－

2

10

. 18．解：因为矩形对角线交点在x 轴上，故设交点为M （x ，0），由|MA|=|MB|得：

22224)2(3)1(++=++x x 解得：x=－5，∴交点为M （－5，0）

又设矩形另两个顶点为C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2）

A

B

D

C

∵M 是AC 的中点，由中点坐标公式得????

?-=-=∴?????

?

?=+-=+-3902

35211

111

y x y x 同理可求得：4,822-=-=y x

故所求两个顶点的坐标为（―9，―3），（―8，―4）。

19. 解：(1)

(3,4)

AB =--u u u r

,

(3,4)

AC c =--u u u r

当c=5时，

(2,4)

AC =-u u u r

cos cos ,A AC AB ∠=<>==u u u r u u u r

进而sin A ∠==(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c-3)+( -4)2

<0解得c>325显然AB 和AC 不共线，故c 的取值范围为[325

，+∞)

20．解：（Ⅰ）若a b ⊥r r ，则sin cos 0θθ-=，由此得：tan 1,()22ππθθ=--<<，所以， 4

π

θ=-．

（Ⅱ）由(sin ,1),(1,cos ),a b θθ==r r

得：

a b +==r

r =当sin()14π

θ+=时，a b +r r 取得最大值，即当4

πθ=时，a b +r

r

1．

21. 解：（Ⅰ）∵()()f x a a b =?+r r r 222

sin cos sin cos cos a a a b x x x x x =?+?=+++r r r r

1131sin 2(cos 21))22224x x x π=+++=++∴()f x

的最大值为322

+，最小正周期是π

（Ⅱ）要使3

()2

f x ≥

成立，当且仅当33)2242x π+

+≥， 即sin(2)04

x π

+≥?2224k x k ππππ≤+≤+?3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈,

即3()2f x ≥

成立的x 的取值集合是3|,88x k x k k Z ππππ??

-≤≤+

∈????

22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2

＝|a |2

－2a ·b ＋|b |2

＝|a |2

＋|b |2

－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2

＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35

．

(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π．由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－5

13得

cos β＝12

13

．

∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝33

65

．