高中数学平面向量测试题
平面向量板块测试
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(1235′=60′)
1.下列五个命题:①|a 2|=2a ;②a
b a
b
a =?2;③222)(
b a b a ?=?;④2222)(b b a a b a +?-=-;
⑤若a 2b =0,则a =0或b =0.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②③
B.①④
C.①③④
D.②⑤ 2.若AB =3e ,CD =-5e 且|AD |=|BC ,则四边形ABCD 是 ( )
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.非等腰梯形 3.将函数y =sin x 按向量a =(1,-1)平移后,所得函数的解析式是 ( ) A.y ′=sin(x ′-1)-1 B.y ′=sin(x ′+1)-1 C.y ′=sin(x ′+1)+1 D.y ′=sin(x ′-1)+1 4.若有点1M (4,3)和2M (2,-1),点M 分有向线段2
1M M 的比λ=-2,则点M 的坐标
为 ( )
A.(0,-3
5) B.(6,7) C.(-2,-3
7) D.(0,-5)
5.若|a +b |=|a -b |,则向量a 与b 的关系是 ( )
A.a =0或b =0
B.|a |=|b |
C.ab =0
D.以上都不对 6.若|a |=1,|b |=2,|a +b |=7,则a 与b 的夹角θ的余弦值为 ( ) A.-2
1 B.
2
1 C.
3
1 D.以上都不对
7.已知a =31e -42e ,b =(1-n )1e +3n 2e ,若a ∥b 则n 的值为 ( ) A.-5
4 B.5
4 C.4 D.2
8.平面上三个非零向量a 、b 、c 两两夹角相等,|a |=1,|b |=3,|c |=7,则|a +b +c |等于 ( )
A.11
B.27
C.4
D.11或27 9.等边△ABC 中,边长为2,则AB 2BC 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2
10.已知△ABC 中,)(2222444b a c c b a +=++,则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y =f (x )cos x 的图象按向量a =(
4
π,1)平移,得到函数x y 2sin 2=的图象,那么函
数f (x )可以是 ( )
A.cos x
B.2cos x
C.sin x
D.2sin x
12.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC =αOA +βOB ,其中α、β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为 ( )
A.3x +2y -11=0
B.5)2()1(22=-+-y x
C.2x -y =0
D.x +2y -5=0
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(434′=16′)
13.已知|a |=3,|b |=5,a 2b =12,则a 在b 上的投影为 . 14.设a =(-4,3),b =(5,2),则2|a 2|-2
1ab = .
15.已知a =(6,2),b =(-4,2
1),直线l 过点A (3,-1) ,且与向量a +2b 垂直,则直线l 的一般式
方程是 .
16.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移后,得到22x y =的图象,且a ⊥b ,c =(1,-1),b 2c =4,则b = . 三、解答题(5312′+14′=74′)
17.若向量a 的始点为A (-2,4),终点为B (2,1).求: (1)向量a 的模.
(2)与a 平行的单位向量的坐标. (3)与a 垂直的单位向量的坐标.
18.设两向量1e 、2e 满足|1e |=2,|2e |=1,1e 、2e 的夹角为60°,若向量2t 1e +72e 与向量1e +t 2e 的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.
19.已知向量a =(x 23cos
,x 2
3sin
),b =(2
cos
x ,2
sin
x -),且x ∈[-
3
π,
4
π].
(1)求a 2b 及|a +b |;
(2)若f (x )=a 2b -|a +b |,求f (x )的最大值和最小值.
20.设a=(-1-x)i,b=(1-x)i+y j(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量),且|a|=|b|.
(1)求点M (x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点,设OP=OA+OB,求证:四边形OAPB为矩形.
21.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(4,8),C(6,-4).M点在线段AB上,且AM=3MB,P点在线段AC上,△APM的面积是△ABC的面积的一半,求点M、P的坐标.
22.如图所示,有两条相交成60°角的直路XX′和YY′,交点是O,甲、乙分别在OX、OY上,起初甲离O点3 km,乙离O点1 km,后来两人同时用4 km/h的速度,甲沿XX′方向,乙沿Y′Y的方向步行.
(1)起初,两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t h后两人的距离.
(3)什么时候两人的距离最短?
第22题图
参考答案
1.B 由向量的数量积的定义即知.
2.C ∵AB ∥CD ,且AD =BC ,AB ≠CD ,故选C.
3.A 点(x ,y )按向量a =(1,-1)平移后的点(x ′,y ′), ∴??
?-='+='1
1y y x x 即 ??
?+'=-'=1
1y y x x
∴y ′+1=sin(x ′-1),即y ′=sin(x ′-1)-1.
4.D 设点M (x ,y ),∴???
????-=--?-==-?-=521)1(2302
1224y x
∴点M 的坐标为(0,-5).
5.C 设a =(1x ,1y ),b =(2x ,2y ),由|a +b |=|a -b |,
得221221221221)()()()(y y x x y y x x -+-=+++,即1x 2x +1y 2y =0. 又a 2b =1x 2x +1y 2y ,∴ab =0.
6.B |a +b |2|=α??-+cos ||||2||||22b a b a , ∴7=1+4-4cos α即cos α=-2
1,∴a 与b 的夹角θ的余弦值为2
1
.
7.A ∵a =(3,-4),b =(1-n ,3n ),∴9n =-4(1-n ),∴n =-5
4,故选A.
8.D 若两两夹角为0°,则|a +b +c |=|a |+|b |+|c |=11;
若两两夹角为120°,则
|a +b +c 2|=|a 2|+|b 2|+|c 2|+2|a ||b |cos120°+2|b ||c |cos120°+2|a ||c |cos120° =1+9+49+23(-2
1)3(133+337+137)=28,|a +b +c |=27.
9.D AB 2BC =222cos120°=-2.故选D. 10.C 由)(2222444b a c c b a +=++, 得2222222)(b a c b a =-+,
∴222c b a -+=±2ab =2abc cos C ,∴cos C =±2
2,∴C =45°或135°.
11.D 由平移公式,应有x x f x cos )(1)4
(sin 22=-π+
.
即 x x f x x c o s )(2s i n )2
2c o s (==π+
-,∴f (x )=2sin x .
12.D 设C (x ,y ),∵OC =αOA +βOB ,
∴(x ,y )=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β). ∴???β
+α=β-α=33y x 又∵α+β=1,∴x +2y -5=0.
13.
5
12 ∵a 2b =|a |2|b |2cos θ,∴a 在b 上的投影为
5
12.
14.57 2|a 2|-
2
12a 2b =2(16+9)-
2
1 (-20+6)=50+7=57.
15.2x -3y -9=0 设l 的一个方向向量为(m ,n ).a +2b =(-2,3),直线l 与向量a +2b 垂直,即-2m +3n =0,直线l 的斜率k =
3
2=m n ,直线l 的方程为y +1=
3
2(x -3),即2x -3y -9=0.
16.(3,-1) 22)1(23542-=-+-=x y x x y , ∴a =(-1,-3),
设b =(0x ,0y ),则???-==????=-=--13
4030
00000y x y x y x .
17.解 (1)a =AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3),∴|a |=5)3(422=-+. (2)与a 平行的单位向量是±
|
|a a =±
5
1(4,-3)=(
5
4,-
5
3)或(-
54,
53).
(3)设与a 垂直的单位向量是e =(m ,n ),则a 2e =4m -3n =0,∴4
3=
n
m .
又∵|e |=1,∴122=+n m .解得m =5
3,n =
5
4或m =-
5
3,n =-
5
4.
∴e =(
5
3,
5
4)或(-
5
3,-
5
4).
18.解 21e =4,22e =1,21e e ?=2313cos60°=1,
∴(2t 1e +72e )2(1e +t 2e )=2t 21e +(22t +7) 1e 22e +7t 22e =22t +15t +7. ∴22t +15t +7<0,∴-7 1. 设2t 1e +72e =λ(1e +t 2e )(λ<0)??? ?λ =λ=t t 72 ?22t =7?t =- 2 14, ∴λ=-14. ∴当t =- 2 14时,2t 1e +72e 与1e +2e 的夹角为π, ∴t 的取值范围是(-7,-2 14)∪(-2 14,- 21). 19.解 (1)a 2b =cos 2 3x cos 2 x -sin 2 3x sin 2 x =cos2x . |a |=|b |=1,设a 与b 的夹角为θ, 则cos θ= x x b a b a 2cos 1 12cos | |||=?=?. ∴|a +b 2|=2a +2a 2b +2b =1+231312cos2x +1=2+2cos2x =4x 2cos cos2x , 又x ∈[-3 π, 4 π],cos x >0,∴||b a +=2cos x . (2)f (x )=cos2x -2cos x =22 3)21(cos 21cos 2cos 2 2- -=--x x x . ∵x ∈[-3 π, 4 π],∴ 2 1≤cos x ≤1. ∴当cos x =2 1时,f (x )取得最小值- 2 3;当cos x =1时,f (x )取最大值-1. 20.(1)解 由已知|a |=|b |,即2 2 2)1()1(y x x +-=--, 整理得 x y 42= ① (2)证明 由已知只需证OA ⊥OB 即可,即证OA 2OB =0. 设A (1x ,1y ),B (2x ,2y ), 当l ⊥x 轴时,A (4,4),B (4,-4),∴1x 2x +1y 2y =0,即OA ⊥OB . 当l 不与x 轴垂直时,设l 的斜率为k ,l 的方程为y =k (x -4)(k ≠0), ② 将②代入①得016)48(2222=++-k k x x k . ∴2 2148k x x + =+,1x 2x =16. 1y 2y =16]16)48(416[)4)(4(2 2 212 -=++ -=--k k x x k . ∴1x 2x +1y 2y =0,∴OA ⊥OB .故得证. 21.解 如图,M 分AB 的比λ=3,则M 的坐标为??? ????=+?+==+?+=63183033 1430M M y x 由 2 1= ??ABC AMP S S ,得2 1sin 2 1sin 2 1 = ????A AC AB A AP AM . 又∵4 3=AB AM ,∴ 3 2= AC AP . ∴ 1 2= PC AP ,即P 分AC 所成的比λ=2. ??? ??? ?-=+-?+==+?+=3821)4(2042 1620P P y x 则M (3,6),P (4,- 3 8)为所求. 22.解 (1)设甲、乙两人起初的位置是A 、B , 则由余弦定理???-+=60cos 2222OB OA OB OA AB =2213+-2333132 1=7. 所以甲、乙两人的距离是AB =7km. (2)设甲、乙两人t h 后的位置分别是P 、Q ,则AP =4t ,BQ =4t . 当0≤t ≤4 3时,由余弦定理得??+?--++-=60cos )41()43(2)41()43(222t t t t PQ , 当t > 4 3时,??+?--++-=120cos )41()34(2)41()34(222t t t t PQ . 注意到上面两式实际上是统一的,所以 ,72448 )3816()1816()92416(2 2222 +-=--+++++-=t t t t t t t PQ 即PQ =724482 +-t t . (3)∵4)4 1(482 +- =t PO ,∴当t = 4 1时,PQ 的最小值是2.即在第15 min 末PQ 最短. 第21题图解 第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值. 向量 1、在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则( ) A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是( ) A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中,正确的结论为( ) (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件;(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件;(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件;(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1,|AC u u u r |=2,若∠BAC =60°,则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ,且|AB u u u r |=|AD u u u r |,则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,求证:KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点,最后又改变方向,向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D },求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、(A B +CD )+B C B 、(A D +MB )+(BC +CM ) C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心,则下列各向量中与AB 共线的是 ( ) 第9题图 平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4) 高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.2021年高中数学-平面向量专题
高中数学平面向量复习题及答案
高中数学平面向量测试题及答案[001]
高中数学数列专题大题训练
高中数学平面向量公式(精选课件)