2020届江苏高三数学模拟试题以及答案

江苏省2020届高三第三次调研测试

1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，

，则U

A = ▲ ．

2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．

3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ．

5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ．

6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ?-=?--

，≥，

，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．

7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．

8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b

-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B

两点．若△AOB 的面积为4

ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在

的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3

．

10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在()

2

ππ，上交点的横坐标为α，

则sin 2α的值为 ▲ ．

11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE

λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ．

12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则

离墙 ▲ m 时，视角θ最大．

13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1

g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()()

f x

g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．

（第3

题）

F （第11题）

A

（第12题）

14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=?， 2AB =，1AD =．

若43AB AC BA BC CA CB ?+?=?， 则12CB CD +的最小值为 ▲ ．

15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．

（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．

16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，

BP BC =，E ，F 分别是PC ，AD 的中点． 求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面PAB ．

17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b

+=：（0a b >>）

的上顶点为()

03A ，，圆2

224

a O x y +=：

经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆

O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．

18．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪

风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到

A EF '处，点A '落在牛皮纸上，沿A E '，A F '裁剪并展开，得到风筝面AEA F '，如图1．

（1）若点E 恰好与点B 重合，且点A '在BD 上，如图2，求风筝面ABA F '的面积； （2）当风筝面AEA F '的面积为23m 时，求点A '到AB 距离的最大值．

A

B

C

D

P

E

F

（第16题）

x

O

A

（第17题）

y M N P

Q

（图1）

A

D F A '

（图2）

A

（E ）

C

D F A '

19．已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n n

b n a =-（n *∈N ）．

（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；

（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．

① 求数列{}n a 的通项公式；

② 证明：111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-．

20．已知函数2

()1ln ax f x x

=+（0a ≠），e 是自然对数的底数．

（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；

（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；

（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．

21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]

已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -??=????A 的逆矩阵1

11c d -??=????

A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．

B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()

5π4

，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．

（1）求直线AB 的直角坐标方程；

（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． C ．[选修4-5：不等式选讲]

已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．

22．现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．

已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟 积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频 学习积分的概率分布表如表2所示．

（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；

（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及

数学期望．

23．设202(1)i n

n i i n P C =-=∑，212(1)j n

n j

j n

j

Q C =-

?=∑． （1）求222P Q -的值；（2）化简n n nP Q -．

表1

表2

参考答案

1、 {12}-，

2、3-

3、1-

4、145

5、12

6、(20)(2)-+∞，，

7、14 8、2 9、73π 10

、 11、43 12

、13- 14

15、（1）π3C =．（2

）sin B =．

16、略

17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=． （2）若1l 的斜率为0

，则PQ ，2MN =， 所以△PQN 的

，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由2

2143

1

y x y kx ?+

=???=+?，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，

，()22Q x y ，，

则1x =

，2x

所以PQ

12x -=

直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以．

MN = 所以△PQN

的面积12S PQ MN =

?132==，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3

．

方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==， 所以2

2tan 34

1tan θθ=-， 解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3

AF AB θ==． 所以△ABF 的面积为

21222m 233

??=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．

（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AE a =，AF b =，()00A x y '，

，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022

y a

x b bx ay ab ?=????+-=??，，

解得20

222a b y a b =+． 因为四边形AEA F '

所以ab =，

所以033

y a a

==+． 因为02a <≤，302b <≤，

以2a ≤． 设33()f a a a =+

，2a ≤．

49()1f a a '=-=

， 令

()0f a '=

，得a =

a =（舍去）． 列表如下：

当a ()f a

， 所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD

上，a =1b =． 答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2

．

方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面

AE AF ?

2tan a θ=

tan θ．过点A '作

AB 的垂线A T '，垂足为T ，则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=?=?=

2224322sin

cos 2tan 33sin cos tan 1

1a a a a a a a θθθθθθ=?=?=?=++++．因为02AE <≤，302AF <≤2a ≤． （下同方法一）

19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -??

-=--????

，即12n n b b -=

因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以1

2n n b

b -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．

（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=， 所以21121222n n n n b b b b ---===

=，即112n n

n a λ--=?，所

以112k k k a λ-=?+．因为1k a ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+?++?++=?++， 所以120k λ-?=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n

=．

② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则

111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->． 设1()2ln f x x x x

=--（1x >），

则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12ln x x x ->，

因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()(

)

1

10e e --+∞，，． 由， 22

2

112(1ln )2(ln )

2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-?+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得1

2e x ->， 因为1

12

e

e -->，()

f x 的单调增区间是(

)

1

2e -+∞，

． A '

A

B

C

D

F

E

T

（2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意； 当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或1

1

2

e e x --<<， 所以()

f x 在区间(

)1

0e

-，和()

1

1

2

e

e

--，上单调递减． 因为(

)

1

121e e 2

-

-∈，，且()f x 在区间

()

12

e

-+∞，上单调递增，所以()f x 在12

e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ． 若12

x ?≥，1()2e b f x -≥，

则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤． 设()e b

b g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，

上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e e

b

b ≤，所以b a 的最大值为1e ． （3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值， 当0a <时，()f x 在()

10e -，和(

)1

12

e e

--，上单调递

增；在(

)

12

e -+∞，上单调递减，所以()

f x 在12e x -=处取极大值， 所以12

2(e )2e

a f -==-，即e a =-． 设

()()e x F x f x =+，即2e ()e 1ln x

x F x x

=-+， 当()

10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >； 当()1e x -∈+∞，，2

e (12ln )

()e (1ln )

x x x F x x +'=-

+， 由（2）知，e e x x ≤，又212ln (1ln )x x ++≤， 所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零， 所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<， 即不等式的解集为()1e 1-，

． 21A 、由题意得，11001-??=????AA ，即2122100101a c a d

ac b d bd b ---????????

==????????????????

， 所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-??

=????A ． 设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，， 则 1201x x y y '-??????=??????'??????，即2.x x y y y '=-??'=?， 由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=， 所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()

π42A ，

，()

5π

4

B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． （2）曲线

C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有

一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB

=r ．

21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根， 所以164(1)0a a ?=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，

得5

12

a ≤≤； 当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<； 当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤， 综上：所求a 的取值范围为3522

a -≤≤．

22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：

因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229

P =?+?+?+?=，所以每日学习积分不低

于9分的概率为59

．

（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．

()()

3

4

64=0=9

729P ξ=；()()()

2

13

54240=1=C 99

729P ξ=；()()()

2

23

54300=2=C 9

9729

P ξ=；()()3

5

125=3=9

729

P ξ=． 所以，随机变量ξ的概率分布列为

所以642403001255()01237297297297293

E ξ=?+?+?+?=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．

23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，212344444

1234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．

（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n n

n n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-???+--+-+???+ 0123222222123n

n n n n n

n n n n n C C C C C ----=-+-+???+ ① 因为222k n k n n C C -=， 所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+???+0123222222123n

n n n n n n n n n n C C C C C ----=-+-+???+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．