上海交大版大学物理第五章参考答案

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习题5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

ma T mg 222=-┄①

ma mg T =-1┄②

2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④

βr a = ，2

/2J m r =┄⑤

联立，解得：g a 4

1=

，mg T 8

11=

。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：l

m =

λ，在杆上取

一小质元d m d x λ=，有微元摩擦力：

d f d m g g d x μμλ==，

微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=， 考虑对称性，有摩擦力矩：

20

124

l

M g x d x m g l μλμ==

?；

（2）根据转动定律d M J J

dt

ω

β==，有：0

0t M d t Jd ω

ω-=

??，

2

0114

12

m g l t m l μω-=-

，∴03l

t g

ωμ=

。

或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，2

112

J m l =

，

T

有：03l

t g

ωμ=

。

5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量

可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M 、半径为

R ,其转动惯量为2/2

MR

，试求该物体由静止开始下落的过程中，

下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：

m g T m a -=┄①

βJ TR =┄② a R β= ，2

12

J m R =

┄③ 联立，解得：22m g a M m

=+，2M m g T M m

=

+，

考虑到dv a dt

=

，∴0

22v t m g dv dt M m

=+??

，有：22m g t v M m

=+。

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，均

匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一：

分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 A Ma T Mg =-1人

B a M g M T 442=

-

物

αJ R T R T =-21滑轮

由约束方程: αR a a B A ==和4/2

MR J =,解上述方程组 得到2

g a =.

解二：

选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重 物上升的速度，注意到u 为匀速，

0d u d t

=，系统对轴的角动量为：

2

13()(

)4

4

2

M L M v R M u v R R M v R M u B A R

ω=

--+=

-()()

体人(物物体)

而力矩为：13M 4

4

M g R M g R M g R =-

+=

， 根据角动量定理dt

dL M =有：

)2

3(4

3MuR MvR dt d MgR -=，∴2

g a =

。

5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度3

34m R

ρπ=

，

考虑均质球体内一个微元：2sin d m r d rd d ρθθ?=， 由定义：考虑微元到轴的距离为sin r θ

2

(sin )J r d m θ=

?，有：

2220

(sin )sin R

J r r d rd d ππθρθθ?=

????

5

2

12[(1cos )cos ]5

R r

d π

πρθθ=?

?--?2

25

m R =

。

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/k N m =，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置？

解：以图示下方的三角桩为轴，从0

0~90θθ==时， 考虑机械能守恒，那么： 0θ=时的机械能为：

22

()(2)1123l

m g m l ω?

+（重力势能转动动能），

90θ=时的机械能为：

2

12

k x

有：2221112232

l

m g m l k x ω?

+=（） 根据几何关系：22215.1)5.0(+=+x ，得：128.3-?=s rad ω

5-7．如图所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕O 轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：（1）设虚线位置的C 点为重力势能的零点，

下降过程机械能守恒， 有：2

2

1ωJ mgR = ，而22

2

132

2

J m R m R m R =

+=

∴R

g 34=

ω 3

4Rg R v c =

=ω

2A v R ω==

（2）2

7

3

y F mg

mR mg ω=+=（重力）（向心力），方向向上。

5-8．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 31

和

l 3

2．轻杆原来

静止在竖直位置。今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，求碰撞后小球的反弹速度和轻杆所获得的角速度。

解：设碰撞后小球的反弹速度为v ，轻杆所获得的角速度为ω。 根据角动量守恒，有：

2

20222(

)2()3

333

l

l m v l m v l m m ωω?=-??

++? 根据动能守恒，有：

2

2

2

2

0)3

1(221

)3

2(

2

1212

1ωωl m l m mv

mv +

+=

联立上述两个方程，可解得

0061,55

v v v l

ω=

=

5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中

心O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为

2

2

1MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)

解：（1）利用角动量守恒：ωω2

2

2

1mR MR mvR +=

得：2(2)m v

m M R

ω=

+；

（2）选微分d m r d r d σθ=，其中：面密度2

M

R

σπ=

，

2

22π3

R f

M

M

g r d m gr

r dr M g R R

μμμπ=

==

??

∴由f M t J ω??=??有：2

2

21(

)03

2

M g R t M R m R μω??=+-，

知：()224M m t R M g ωμ+?=

将()22m M

m R

ω=

+v 代入，即得：32m v

t M g

μ?=

。

5-10．有一质量为

1m 、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后

的速度分别为1v 和2v

，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O 点的转动惯量2

13

1l m J =

)

解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1v 和2v

方向相反，以逆时针为正向，有：

2211221

3m v l m l m v l ω=

-，得：l

m v v m 1212)(3+=

ω 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：

110

12

l f

m M

g x d x m g l l

μ

μ=

=

?

，利用f

d M

J

dt

ω-=，有：

2

10

011

31

2

t

m l d dt m g l

ωω

μ=-??，得：21212()

23m v v l t g

m g

ωμμ+==

。

5-11．如图所示，滑轮转动惯量为2m kg 01.0?，半径为cm 7；物体的质量为kg 5，用一细绳与劲度系数N/m 200=k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x ，下落最大距离为m ax x 。 由机械能守恒：

2

m ax m ax 12

k x m g x =，有：

m ax 20.49m g x m k =

=；

（2）当物体下落时，由机械能守恒：2

2

2

1112

2

2

k x m v J m g x ω

++

=，

考虑到v R

ω=

，有：

2

2

2

2

1112

2

2

k x m R J m g x ωω+

+

=，

欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令

0d d x

ω=，有：

2

1()22

d k x m R J m g d x

ωω

+

+?=，将

0d d x

ω=代入，有：)(245.0m k

mg x ==

，

∴当0.245x =m 时物体速度达最大值，有：

2

2

m ax

21

21()2m gx kx v J m r

-=+，代入数值可算出：max 1.31/v m s = 。

5-12．设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度ω成正比，比例系数的k ，并已知叶片转子的总转动惯量为J 。（1）原来静止的电扇通电后t 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（1）已知f

M

k ω=-，而动力矩ω

P

M =，

通电时根据转动定律有：f

d M M

J

d t

ω+=

代入两边积分有：

ωω

ωω

d k P J dt t ?

?

-=

2

，可求得：)1(2t

J k e k

P --=ω；

（2）见上式，当t →∞时，电扇稳定转动时的转速：ω=稳定；

（3）断开电源时，电扇的转速为0ω=

，只有f M 作用，那么：

d k J

d t

ωω-=，考虑到

d d d t

d ωωω

θ

=，有：0

k d d J

θ

ω

θω-

=

??，

得：0J

k θω=

=

。

5-13．如图所示，物体A 放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为μ，细绳的一端系住物体A ，另一端缠绕在半径为R 的圆柱形转轮B 上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0ω绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A 的速度多大？物

体A 运动后，细绳的张力多大？ 解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A 和转轮B 、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，

A Rmv J J +=ωω0，又R v A ω=，

2

21mR J =

03

1ωω=

?

（2）物体A 运动后，由牛顿定律：ma mg T =-μ （1）

对转轮B ，由定轴转动定律： βJ TR =-，（2）约束关系：βR a =（3） 可求出：13

T m g μ=

。

5-14. 质量为m 的小孩站在半径为R 、转动惯量为J 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度ω为多少？

解：此过程角动量守恒：0m R v J ω+=，有： m R v J

ω=-

。

5-15．以速度0v 作匀速运动的汽车上，有一质量为m （m 较小），边长为l 的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A 边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A 边所受的支反力。 解：（1）货箱对过A 点垂直于平面的转轴角动量守恒：

ωA J l mv =?

2

A J 为货箱对A 轴的转动惯量，结合平行轴定理可得：

2

2

2

3

2)2

2(

61ml l m ml

J A =

+=

代入解得：l

v 043=

ω

货箱翻转时，只受重力距作用，根据转动定律有：

2

223

l m g

m l β=，34g l

β=

；

（2）汽车刹车后停止瞬间，货箱以角速度ω绕A 轴转动，此时，质心角速度的切向和法向分量分别为：g l a t

C 8

232

2=

?=

β，l

v l a n C 2

02

32

292

2=

?=

ω

由质心运动定理：

45

cos 45cos n n x C C C x ma ma ma N -==-

45cos 45cos Ct C Cy y

ma ma ma mg N

n --==-

解得货物箱A 边所受的支反力为： )8

3329(

2

g l

v

m N x +

-=，)32985(

20

l

v

g m N y -

=

y

思考题

5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为

M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量1m 和2m 的物体 (1m <2m )，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？ 解：

a m T g m

111=- （1）

a m g m T 222=- （2） βJ r T T =-)(21 （3）

βr a = （4）

联立方程可得 1T 、2T ， 21T T > 。

5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O 以角速度ω按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度ω怎样变化？ 答：增大

5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A ）机械能守恒，角动量守恒；（B ）机械能守恒，角动量不守恒； （C ）机械能不守恒，角动量守恒；（D ）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C ）

5-4．在边长为a 的六边形顶点上，分别固定有质量都

是m 的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a 所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b 所示。

答：以Ⅰ为轴转动惯量 2

9ma J =；

以Ⅱ为轴转动惯量 2

3ma J =；

以Ⅲ为轴转动惯量 25.7ma J =。

5-5．如图a 所示，半径分别是1R 和2R 、转动惯量分别是1J 和2J 的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转

动，最初大圆柱体的角速度为0ω，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。 由ωω201J J =，有小圆柱的最终角速度为： 2

1J J ωω=

。

5-6．均质细棒的质量为M ，长为L ，开始时处于水平方位，静止于支点O 上。

一锤子沿竖直方向在d x =处撞击细棒，给棒的冲量为0I j

。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。