点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点

重点：空间直线、平面的位置关系。

难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

A ∈L

B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。

推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面

②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该

点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L

A ·

α C ·

B

·

A

· α P

· α

L

β

2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面

3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥

b

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线

=>a ∥c

2

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

针对性练习：

1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）

A. α内所有的直线都与a异面；

B. α内不存在与a平行的直线；

C. α内所有的直线都与a相交；

D.直线a与平面α有公共点.

2.已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.

其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0

A 、030

B 、045

C 、060

D 、090 4. 给出下列命题：

（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面

其中错误命题的个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）3 5．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8

6. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心

7.如图长方体中，AB=AD=2

3，CC 1=2

，则二面角

C 1—B

D —C 的大小为（ ）

（A ）300

（B ）450

（C ）600

（D ）900

8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）

A 、若a ?α，b ?α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α

B 、若b ?α, a//b 则 a//α

C 、若a//α,α∩β=b 则a//b

D 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）

A.α内有无穷多条直线与β平行；

B.直线a//α,a//β

C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α

D.α内的任何直线都与β平行 10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：

①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。 A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.已知直线a//平面α，平面α

//平面β，则a 与β的位置关系

为 .

12．已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 . 13如图，ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形

14.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线, 给出四个论断：

① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：______________________________________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

15．如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC

16．在三棱锥S-ABC 中，已知AB=AC ，O 是BC 的中点，平面SAO ⊥平面ABC 求证：∠SAB=∠SAC

C S

P

A

B

C

A

B

C

P

17．如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；

（2）求二面角P—BC—A的大小；（3）求三棱锥P—AEF的体积.

参考答案

1.D；

2.C；

3.D；

4.D；

5.C；

6.B；

7.A；

8.D；

9.D；10.C

11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若②③④则①17.（2）45°A

B

C P

E

F

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α

b β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β a∩

b = P β∥α

b β a∥α b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

练习巩固：

1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( d )

A.平行

B.异面

C.相交

D.平行或异面

2、下列结论中，正确的有( a )

①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b

③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aα

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )

A.平行

B.相交

C.在内

D.不能确定

4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( d )

A.过A有且只有一个平面平行于a,b

B.过A至少有一个平面平行于a,b

C.过A有无数个平面平行于a,b

D.过A且平行a,b的平面可能不存在

A.b∥α

B.bα

C.b与α相交

D.以上都有可能

6、下列命题中正确的命题的个数为( a )

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;

③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.

A.1

B.2

C.3

D.4

7、下列命题正确的个数是( a )

(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α

(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行

(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行

(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是d

①若m⊥α,m⊥β,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;

③若mα,nβ,m∥n,则α∥β; ④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.

A.①和②

B.①和③

C.③和④

D.①和④

9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有(c)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.

其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（b）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题【共4道小题】

1、在棱长为a的正方体ABCD—A

1B

1

C

1

D

1

中，M、N分别是棱A

1

B

1

、B

1

C

1

的中点，P是棱AD上一点，

AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.

平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故. 答案：

2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.

参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内

3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.

参考答案与解析:相交或平行或异面

4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_________.

参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD

，在△BDD1

中，E为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.

又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行

三、解答题【共3道小题】

1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.

①是否一定有AD∥BE∥CF；

②求证：.

参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，

但不一定总有AD∥BE.

同理不总有BE∥CF.

②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.

AGED为平行四边形.∴AG=DE.

同理GH=EF.

又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.

在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.

求证：SA∥平面MDB.

参考答案与解析:解析：要说明SA ∥平面MDB ，就要在平面MDB 内找一条直线与SA 平行，注意到M 是SC 的中点，于是可找AC 的中点，构造与SA 平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB 内，即可得证.

证明：连结AC 交BD 于N ，因为ABCD 是平行四边形，所以N 是AC 的中点.又因为M 是SC 的中点，所以MN∥SA.因为MN

平面MDB ，所以S A∥平面MDB.

3、如图,已知点M 、N 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两棱A 1A 与A 1B 1的中点，P 是正方形ABCD 的中心，

求证：MN ∥平面PB 1C.

参考答案与解析:证明：如图，连结AC ，

则P 为AC 的中点，连结AB 1， ∵M 、N 分别是A 1A 与A 1B 1的中点，∴MN ∥AB 1.

又∵

平面PB 1C

，

平面

PB 1C ，故MN ∥面PB 1C.

4、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面

11BB D D ．

答案：证明：如图，取11D B

OF ∵ 平行且等于1112B C

，BE OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB

EF

∴

//BO ．

EF ?∵平面11BB D D ，BO ?∴EF //平面11BB D D ．

5、如图，在四棱锥P ABCD

-中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN//平面PAD．

答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME

∵M，N分别是AB，PC的中点，

∴//，ME AD

NE PD

//，Array可证明NE//平面PAD，ME//平面PAD．

又NE ME E

，

=

∴平面MNE//平面PAD，

又MN?平面MNE，∴MN//平面PAD．

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

p

α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的

数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

一 选择题

1. 已知直线a ，b 和平面α，有以下四个命题：

若a α//，a b //，则b α//； 若a α?，b A α= ，则与b 异面； 若，b α⊥，则； 若，

，则b α//．

其中真命题的个数是（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ．2 Ｄ．

2. 已知直线l α⊥平面，有以下几个判断：①若m l ⊥，则m α//；②若m α⊥，则m l //；③若m α//，则m l ⊥；④若m l //，则m α⊥．上述判断中正确的是（ ） Ａ．①②③

Ｂ．②③④

Ｃ．①③④

Ｄ．①②④

3. 已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中正确的个数是（ ）

A ．３ Ｂ．２ Ｃ．１

Ｄ．０

4. 在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 及BC 的中点，M 是EF 的中点，沿DE ，DF 及EF 把DAE △，DFC △，EBF △折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记作P ，那么在四面体P DEF -中必有（ ） Ａ．DP ⊥面PEF Ｂ．DM ⊥面PEF Ｃ．PM ⊥面DEF Ｄ．PF ⊥面DEF

5. 直线a 不垂直于平面α，则α内与a 垂直的直线有（ ） Ａ．0条

Ｂ．1条

Ｃ．无数条

Ｄ．α内所有直线

6. 已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ．下面四个命题中，正确的是（ ）

Ａ．

αγαββγ⊥?

??⊥?

// Ｂ．

m l l m ββ?

?⊥?⊥?

// Ｃ．m m n n γγ?

???

////// Ｄ．

m m n n γγ⊥?

??⊥?

// 7. 在空间四边形ABCD 中，若AB BC =，AD CD =，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是（ ） Ａ．平面ABD ⊥平面BDC Ｂ．平面ABC ⊥平面ABD Ｃ．平面ABC ⊥平面ADC Ｄ．平面ABC ⊥平面BED

8. α，β，γ，ω是四个不同平面，若αγ⊥，βγ⊥，αω⊥，βω⊥，则（ ）

9. 设a ，b 是异面直线，下列命题正确的是（ ）

Ａ．过不在a ，b 上的一点P 一定可以作一条直线和a ，b 都相交 Ｂ．过不在a ，b 上的一点P 一定可以作一个平面和a ，b 垂直 Ｃ．过a 一定可以作一个平面与b 垂直 Ｄ．过a 一定可以作一个平面与b 平行

10. 设平面α⊥平面β，且l αβ= ，直线a α?，直线b β?，且a 不与l 垂直，b 不与l 垂直，那么a 与

b （ ）

Ａ．可能垂直，不可能平行 Ｂ．可能平行，不可能垂直 Ｃ．可能垂直，也可能平行

Ｄ．不可能垂直，也不能垂直

二 填空题

11已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是___________．

12. αβ，是两个不同的平面，m n ，是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断： m n ⊥①；

αβ⊥②；n β⊥③；m α⊥④．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确

的一个命题__________．

13. 设O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，P 为平面AC 外一点且有PA PC =，PB PD =，则PO 与平面ABCD 的关系是_____________．

14. 设三棱锥P ABC -的顶点P 在底面ABC 内射影O （在ABC △内部，即过P 作PO ⊥底面ABC ，交于O ），且到三个侧面的距离相等，则O 是ABC △的______心. 4、如图所示，AB 是圆O 的直径，C 是异于A ，B 两点的圆周 上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则PAB △，PAC △，

ABC △，PBC △中，直角三角形的个数是_________．

三 解答题

16已知平面α，β，γ满足αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，求证：l

⊥

17. 如图，已知平面α，β，直线a 满足αβ⊥，a β⊥，a α?，试判断直线a 与平面α的位置关系并证明．

18. 如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于E ，F ，G ．

求证：AE SB AG SD ⊥⊥，．

19. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，EF CD //，AM EF =． 求证：MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线．

α β b a

P

20. 如图，直角ABC △所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；

(2)若AB BC =，求证：BD ⊥面SAC ．

21. 如图所示，平面α⊥平面β，l αβ= ，在l 上取线段4AB =，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，且AC AB ⊥，DB AB ⊥，3AC =，12BD =，求CD 长．

答 案 一 选择题 BBBAC;DDBDB 二 填空题

11.αα?b b 或// 12.（2）（3）（4）?（1）或（1）（3）（4）?（2） 13.垂直 14.内心 15.4

三 解答题

16解：在平面γ内做两条相交直线分别垂直于平面α，β与平面γ的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l γ⊥平面．

17解：在α内作垂直于α与β交线的直线b ，因为αβ⊥，所以b β⊥．因为a β⊥，所以a b //．又因为

a α?，所以a α//．即直线a 与平面α平行．

A

AE SAB ?平面∵，BC AE ⊥∴，SC AEFG ⊥平面∵，SC AE AE SBC ⊥⊥平面，∴，AE SB ⊥∴．同理AG SD ⊥．

19答案：证明：PA ⊥∵底面，PA AB ⊥∴．已知AB AD ⊥，AB ⊥∴面PAD ．BA AE ⊥∴．又

AM CD EF

////，且AM EF =．AEFM ∴是矩形，AM MF ⊥∴． 又AE PD ⊥∵，AE CD ⊥，AE ⊥∴平面PCD ．又MF AE //，MF ⊥∴平面PCD ． MF PC ⊥∴．∴MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线．

20答案：证明：（１）SA SC =∵，D 为AC 的中点，SD AC ⊥∴．

连结BD ．在ABC Rt △中，则AD DC BD ==．ADS BDS ∴△≌△，SD BD ⊥∴． 又AC BD D = ，SD ⊥∴面ABC ．

（２）BA BC =∵，D 为AC 的中点，BD AC ⊥∴． 又由（１）知SD ⊥面ABC ， SD BD ⊥∴．于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线．∴BD ⊥面SAC ．

21答案：解：连结BC ．AC AB ⊥∵，AC β⊥∴，AC BD ⊥．BD AB ⊥∵，BD α⊥∴，

BD BC ⊥．CBD ∴△是直角三角形．在BAC Rt △中，BC =5==，在C B D

Rt △

中，13CD ==．CD ∴长为13．