最新全等三角形专题分类复习讲义

第三章全等三角形专题分类复习

一．考点整理 1.三角形的边角关系

2.三角形全等

3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质）在三角形中，三角形的三线分别交于一点。注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳：

（1）

(2)

__________D ∠= ___________D ∠=

（3）

__________D ∠=

3.尺规作图

（1）作满足题意的三角形

（2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题）

角：内角和180度，余角和90度

边：构成三角形三边的条件

（1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ）

（2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形）（3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短）

（4）证线段之间的位置关系（垂直或平行方法：证明角等代换）

A D

C A

考点1：证明三角形全等

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：

ACF BDE ???。

练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB

（2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数.

考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短）

例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ．

A B

P Q C

B A

例2：如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．变式：

如图，已知在ABC 内，0

60BAC ∠=，0

40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ

分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

练习：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB

＝AD+BC 。

例3：练习：在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

练习：1.在△ABC 中，,∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明

例4：如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。

考点3：线段之间的位置关系

例1：如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE GC ，．（1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

练习：如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

C A M N

E 1

全等三角形培优讲义

全等三角形常见辅助线作法 1 ------------------- 精准诊查高与三角形有关的线段中线角平分线性质直角三角形判定多边形及其内角和【导学】全等三角形第一部分：知识点回顾常见辅助线的作法有以下几种： 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” ? 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻【知识导图】概念 ( <~ 1 三边之和大于等于第三边稳定性三角形与三角形有关的角三角形内角和定理三角形的外角 “对折”.

转折叠” 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 第二部分：例题剖析一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5 AC=3贝忡线AD的取值范围是___________________ A 例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.

全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形

全等三角形培优竞赛讲义（四）等腰三角形【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线

全等三角形的性质及判定(讲义)

全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1

三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（）或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A

全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)

B P A a 专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型： ① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA % ③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS 典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . ，【例2】作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB 。求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB 【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a ，b ，c. ' 求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m ，n, ∠ .

求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. … 【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c. @ 随堂练习 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（） A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定 2． 3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（） A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角 # C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角 4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（） A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半 % C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析

八年级数学上册全等三角形讲义 (新版)苏科版

全等三角形重难点易错点解析题一题面：下列说法中： ①能够完全重合的两个三角形是全等三角形； ②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后一定能重合； ③大小相同的两个图形是全等图形； ④一个图形经过平移、翻折、旋转后.得到的图形一定与原图形全等. 其中正确的个数有（）. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个全等的定义与形成两个能够完全重合的图形叫做全等形我们可以通过平移、翻折、旋转得到全等图形题二（1）已知△ABC≌△ABD，AB=6，AC=7，BC=8，则AD=（） A．5 B．6 C．7 D．8 （2）已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=23°，那么∠D=（）A．87°B．97° C．83° D．37° 全等的性质全等图形对应边相等，对应角相等金题精讲题一题面：（1）如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠ACD等于（）A．80°B．60°C．40°D．20°

E D B A C （2）如图所示，△ACE ≌△DBF ，AD =9cm ，BC =5cm ，则AB 的长是（）cm A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 B F C A D E 全等图形边和角的性质题二题面：如果△ABC 的三边长分别为5，12，13，△DEF 的三边长分别为5，52x ，x 24，若这两个三角形全等，则x 为 . 全等三角形对应边相等题三题面：（1）在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ，其中A （4，0）、B （0，2），当△COB ≌△AOB 时，点C 的坐标为 . （2）在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ，其中A （4，0）、B （0，2），当点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 全等时，点C 的坐标为 . 全等三角形的性质

人教版--全等三角形讲义

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全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作．．．．． “全等于” ．．．．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC? ?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC? ? ?。 F D A B C 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；．．．．．．．．．．．．全等三角形的对应角相等。．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） A．①②③④ B．①③④C．①②④D．②③④ 2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______． 3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______． 4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________． 5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____． 2题3题4题5题

八年级数学全等三角形一对一辅导讲义

八数第二周辅导资料（TH）2016.09.10 辅导容：全等三角形（1）知识梳理：一、全等图形（概念及其性质）二、全等三角形（概念及其性质）三、全等三角形的判定（1）、判定全等三角形的方法：（2）、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。（1）缺个角的条件： 1、公共角 2、对顶角 3、两全等三角形的对应角相等 4、等腰三角形 5、同角或等角的补角（余角） 6、等角加（减）等角

7、平行线8、等于同一角的两个角相等（2）缺条边的条件： 9、两全等三角形的对应边相等 8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 7、等面积法 6、等腰三角形 5、角平分线性质 4、等量差 3、等量和 2、中点 1、公共边

10、等于同一线段的两线段相等基础测试： 1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________． 2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________． 3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．图（1）图（2）图（3）如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________ 如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．不能确定两个三角形全等的条件是（） A．三边对应相等B．两边及其夹角相等 C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等

全等三角形的讲义讲义

全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空： (1)AB 与是对应边，BC 与是对应边， CA 与是对应边； (2)∠A 与是对应角，∠ABC 与是对应角， ∠BAC 与是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。 (1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ . 【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠ 度数是（） A.72° B.60° C.58° D.50° D A B C O E A B C D

【例题3】（）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则 1C ∠= ．【练习2】如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（） A 20° B ．30° C ．35° D ．40° 【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ，且∠ABD=90°。（1）△ABD 和△EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE 的长吗？（3）直线AD 和直线CE 有怎样的位置关系？请说明理由。专题二全等三角形的判定【知识点1】SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS". 【例题1】如图，AB=AD ，BC=CD 求证：∠BAC=∠DAC 。 A B C C 1 A 1 B 1 C B B ' A '

全等三角形专题分类复习讲义

第三章全等三角形专题分类复习一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3." 4.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质）在三角形中，三角形的三线分别交于一点。注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： __________D ∠= ___________D ∠= （3）， __________D ∠= 3.尺规作图（1）作满足题意的三角形（2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题）角：内角和180度，余角和90度边：构成三角形三边的条件

考点1：证明三角形全等例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 $ 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. $ 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短）例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． & ; D A B C % G E F

P Q C B A E D A : 例2：如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ． ? 变式：如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP ；练习：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

课题全等三角形及三角形全等的条件 1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。教学目的 2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容一、课前检测 1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________． 2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________． 3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．图（1）图（2）图（3） 4．如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________ 5．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________． 6．不能确定两个三角形全等的条件是（） A．三边对应相等B．两边及其夹角相等 C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等 7·△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要（） A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．前三种情况都可以 8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′ ⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（） A．具备①②④B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥D．具备①②③ 参考答案：1．△ADB△ADC2．ASA（或AAS）SSS3．9 cm12 cm11 cm4．∠ACB=∠DBC或AB=CD 5．△ACB AA S 6·D 7·D 8·A 二、知识梳理知识要点：要点1：全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等

2020年中考数学全等三角形专题复习讲义(含答案)

2020年中考数学全等三角形专题复习讲义一、基础达标训练 1. 下列说法正确的是() A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 2. 如图，在△AB C和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF() 第2题图 A. ∠A＝∠D B. ∠ACB＝∠DFE C. AC＝DF D. BE＝CF 3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠F AB ＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，其中正确结论的个数是() 第3题图第4题图 4.如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的

周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 5.如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，已知FB ＝CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件________使得△ABC ≌△DEF . 第5题图第6题图 6. 如图，Rt △ABC ≌Rt △DCB ，两斜边交于点O ，如果AC ＝3，那么OD 的长为________． 7.△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是________．第8题图 8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；④四边形ABCD 的面积S ＝1 2AC ·BD . 正确的是__________．(填写所有正确结论的序号) 9.如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF . 求证：∠ABC ＝∠DEF .

第一讲_全等三角形的提高拓展训练讲义(讲义)

第一讲全等三角形的提高拓展训练讲义（讲义）一、基础知识精讲 1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 2、全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 3、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．二、典型例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中，60A ∠= ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A 4321 F D O E C B A 【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ?≌BFO ?，∴12∠=∠， ∵60A ∠=?，∴1 901202 BOC A ∠=+∠= ，∴120DOE ∠= ， ∴180A DOE ∠+∠= ，∴180AEO ADO ∠+∠= ，∴13180∠+∠= ， ∵24180∠+∠= ，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ?≌CFO ?，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

全等三角形讲义

全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作“全等．．．．．．．．于” ．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC? ?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC? ? ?。 F D A B C 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） A．①②③④ B．①③④C．①②④D．②③④ 2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______． 3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______． 4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是 ______________,对应角是____________________． 5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____． 2题3题4题5题

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

初中数学全等三角形综合复习讲义——全面完整版一、基础知识 1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1 图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。图 13-3 图13-4 （3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。图13-5 表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。（6）全等多边形的识别对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。 2.全等三角形的识别 A B D C E B ’ A ’ C ’ D ’ E ’

（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据SSS 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。（3）根据SAS 如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。（4）根据ASA 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（5）根据AAS 如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 3.直角三角形全等的识别（1）根据HL 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。 4.证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD,∠B=∠B，但△ABC 与△ABD不全等。

全等三角形的性质及判定讲义

全等三角形的性质及判定知识要点 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB = . E D C B A M D A

【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ???，则AB=? ?，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=?? . 、三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴ _____________( ) ∴____________________ ∴__________（）或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中 F E D C B A B A

全等三角形专题分类复习讲义

3.尺规作图（1）作满足题意的三角形（2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题）第三章全等三角形专题分类复习角：内角和180度，余角和90度 1.三角形的边角关系 2.三角形全等J 边：构成三角形三边的条件（1）（2）（3）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形）证 “ AE=BD+CE 等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短）（4 ）证线段之间的位置关系（垂直或平行方法：证明角等代换）（角平分线、中线和高线的性质） 3.三角形当中的三线在三角形中，三角形的三线分别交于一点。注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳: （1）

考点1 ：证明三角形全等例 1.如图，A,F,E,B 四点共线， AC CE , BD DF , AE BF , AC BD 。求证: ACF BDE 。练习：已知，如图，△ ABC 是等边三角形，过 AC 边上的点 D 作DG// BC 的延长线上取点 E ,使DE = DC 连接AE BD. (1) 求证：△ AGE^A DAB (2) 过点E 作EF// DB 交BC 于点F ,连结AF ,求/ AFE 的度数. 考点2:求证线段之间的数量关系(截长补短) 例 1:如图所示，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=ACAD 平分/ BAC 交 BC 于 D,求证： AB=AC+CD 在 GD 交AB 于点G E

例 2:如图，在△ ABC 中，/ ABC=60 , AD CE 分别平分/ BAG / ACB 求证：AC=AE+CD 变式: 练习：如图， AD// BC EA,EB 分别平分/ DAB,/ CBA CD 过点E ,求证;AB = AD+BC 如图，已知在VABC 内, 0 BAC 60， 400，P, Q 分别在BC, CA 上，并且AP, BQ 分别是 BAC , ABC 的角平分线。求证: BQ+AQ=AB+BP

八年级数学上册全等图形和全等三角形专题讲义

知识点1：全等图形【知识要点】 1．全等图形能完全 _的图形叫做全等图形．因此，两个图形全等，它们的形状、分别相同，它们的面积和周长也，与图形的没有关系． 2．图形的全等变换 (1)如图，观察图①，我们发现经过图②的 _、图③的、图④的一运动后，虽然图形的改变了，但和没有改变，所以运动前后的两个图形是图形． (2)我们将、、这样的图形变换称为图形的全等变换．考点1：全等图形的判断【例1】下列各组图形中，全等的图形是( ) 【例2】下面的说法正确的是( ) A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等考点2：全等变换【例1】观察如图①、②中的多边形，其中一个经过怎样的变换可以和另一个重合（图中每一个小方格的边长为1 个单位长度）?

【例2】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E 分别是边AB、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A'重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2 等于( )．A．150°B．210°C．105°D．75° 【例3】如图，等边△ABC 的边长为1 cm，D、E 分别是AB、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A' 处，且点A' 在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm．【例4】如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB、AC 边翻折180°形成的，若∠BAC 的度数为150°，则∠θ的度数是．

知识点2：全等三角形【知识要点】 1．全等三角形的概念及表示方法 (1)概念：两个能_的三角形叫做全等三角形．如上图所示的△与△ 是全等三角形． (2)对应关系：全等三角形重合在一起，重合的点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做．如图①、②，点 A 与点 D、点 B 与点、点与点 F 是对应顶点；AB 与、与 EF、与是对应边；∠A 与∠、∠与∠E、∠与∠是对应角． (3)表示方法：我们用符号“_”表示全等，读作“”．如△ABC 与△DEF 全等，记作“”，读作“” 注意：表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上． 2．全等三角形的性质由于全等三角形能够完全重合，我们容易得出全等三角形具有：（1）“对应边，对应角”的性质（2）全等三角形的周长、面积_．考点1：全等三角形的概念【例1】下列判断正确的是（） A．形状相同的图形叫全等形B．图形的面积相等的图形叫全等形 C．部分重合的两个图形全等D．两个能完全重合的图形是全等形【例2】下列说法中，错误的是（） A．全等三角形的面积相等B．全等三角形的周长相等 C．面积相等的三角形全等D．面积不等的三角形不全等

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