专题08 平面向量(教案)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习 专题08 平面向量 教案

一、平面向量的概念

1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。

2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的

方向表示向量的方向.用小写字母a ，b

…或用，，…表示.

注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.

3．模：向量的长度叫向量的模，记作a

.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0

；零向量的方向不确定. 注意：0和0 是不同，0是一个数字，0

代表一个向量，不要弄混.

5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.a

a

a =0

注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。

6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量

也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a

,，若存在非零常

数λ使b a

λ=是b a ∥的充要条件.

7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 例1下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =；

③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；

⑥若b c b a

∥∥,，则.c a ∥

正确的是_________ 【答案】④⑤

【解析】①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b

可能是

零向量

二、平面向量的数量积及坐标表

1、向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线

,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与b 的夹角．θ的取值范围是0θπ≤≤

（1） 当0θ=时，表示向量a 与b 方向相同；

（2） 当θπ=时，表示向量a 与b 方向相反；

（3） 当2

π

θ=

时，表示向量a 与b 相互垂直。

【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和π的实际意义。】

例题2已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为

4

π

，当向量a b +与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。 【答案】）

，（），（∞+?115

12

-

【解析】提示：当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90°）；锐角时，数量积大于0且不等于1.

2、 向量的数量积

已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ（0θπ≤≤），则把cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ?．即||||cos a b a b θ?= （1）两个向量的数量积是一个实数；

（2）2

0a a a ?=≥，当且仅当0a a ?=时，0a =

（3）已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．

显然b 在a 方向上的投影等于

||

a b

a ?． （4）a

b ?的几何意义： a b ?等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．

例题3已知向量a 与b 的夹角为θ，且3

sin ,||55

a θ==，则a 在

b 的方向上的投影是 ； 【答案】±4

【解析】提示：投影是数值，可能是正的也可能是负的。

3、向量数量积的运算律 ①交换律成立：a b b a ?=?

②对实数的结合律成立：

()()()()R ∈?=?=?λλλλ

③分配律成立：()

?±?=?±()

±?= 特别注意：

（1）结合律不成立：()()

??≠??；

（2）消去律不成立?=?不能得到?=

（3）b a ?=0不能得到a =0或b =0

④但是乘法公式成立： ()()

2

2-=-=-?+；()

2

22

2+?±=±

2+?±=；等等。

⑤两个向量垂直的充要条件是：0a b ?= 4、向量数量积的坐标表示

设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ?=+，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

a 与

b 夹角为θ，则

cos θ=

a 与

b 的夹角为锐角等价于12120x x y y +>且1221x y x y ≠

a 与

b 的夹角为钝角等价于12120x x y y +<且1221

x y x y ≠

例题4

（2020·上海高三专题练习）已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、

()cos ,sin C αα，3,

22

ππ

α??∈ ???

. （1）若AC BC =，求角α的值；

（2）若1AC BC ?=-，求22sin sin21tan αα

α

++的值.

【答案】（1）54π

；（2）95

- 【解析】

（1）∵AC BC =，

化简得tan 1α=，

∵3,22ππα??

∈ ???

，∴54πα=

． （2）∵ 1AC BC ?=-，

∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-?-=-，

∴2sin cos 3αα+=

，∴52sin cos 9

αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25

2sin cos 1tan sin cos 9

ααααααααααα++==-++＝．

三、平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．

例题5（2019·上海浦东新高三期末）已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线y =上任意一点，则AP AB ?的取值范围为（ ）

A ．[]1,7

B ．[]1,7-

C ．1,3?+?

D ．1,3?-+?

【答案】A

【解析】

解：设(),P x y 则由y =()221043x y y +=≥，

令2cos ,x y θθ==，[]

(0,θπ∈，

()1,2AP x y ∴=-+，()1,2AB =，

124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ?

?∴?=-++=++=++=++ ???，

0θπ≤≤，

76

6

6

π

π

π

θ∴

≤+

≤

， 1sin 126πθ?

?-

≤+≤ ??

?， 14sin 37

6πθ?

?∴≤++≤ ???，

专项训练

1．（2019·上海市嘉定区安亭高级中学高二月考）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =

A ．

31

44AB AC - B ．

13

44AB AC - C ．31

44

+AB AC D ．

13

44

+AB AC 【答案】A 【解析】

根据向量的运算法则，可得

()

111111

222424BE BA BD BA BC BA BA AC =

+=+=++ 11131

24444BA BA AC BA AC =++=+， 所以31

44

EB AB AC =

-，故选A. 2．（2018·上海高三期中）已知点A （﹣2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2PA PB x ?=，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

【答案】D 【解析】

∵动点P （x ，y ）满足2PA PB x ?=， ∴（﹣2﹣x ，﹣y ）?（3﹣x ，﹣y ）=x 2， ∴（﹣2﹣x ）（3﹣x ）+y 2=x 2，解得y 2=x+6， ∴点P 的轨迹是抛物线． 故选D ．

3．（2020·上海高三专题练习）若平面向量(1,2)a =-与b 的夹角是180°，且35b =，则

b 等于( )

A ．(3,6)-

B ．(3,6)-

C ．(6,3)-

D ．(6,3)-

【答案】A 【解析】

设(,)b x y =，则cos1802,a b x y =-(1)2x y -=-（1）

=2）， 由（1）（2）可解得x=-3,y=6故选A ；

4．（2016·上海宝山高三一模）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ） A ．ABC 内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上

【答案】B 【解析】

根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+?-=?=，

∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.

5．（2020·上海市七宝中学高三三模）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物

线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个

C ．有限个，但多于2个

D ．无限多个

【答案】A 【解析】

设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，

由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心，

又131132(1,0),1,033

x x x y y y

F ++++∴

==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()22222

2323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()

2221232y y y ∴≤+，

22

2

312244

4y y y ??∴≤+ ???，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.

6．（2020·上海闵行高三二模）已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物

线于M ．N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ） A ．2- B ．1

2

-

C ．1

D ．1-

【答案】D 【解析】

解：根据条件可得F （1，0），

则设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），

所以E （0，﹣k ），联立2

(1)

4y k x y x

=-??

=?，整理可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 则x 1+x 2＝22

24

k k +，x 1x 2＝1，

因为1EM MF λ=，2EN NF λ=， 所以λ1（1﹣x 1）＝x 1，λ2（1﹣x 2）＝x 2，

即有λ1＝111x x -，λ2＝2

2

1x x -，

所以()221212122122

112

22124

2212411111

k x x x x x x k x x x x x x k k λλ+-+-=

+===-+---++-++. 故选：D.

7．（2016·上海奉贤高三一模）已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为_________．

【答案】

【解析】

设点，，因此，得，得点．

8．（2020·上海长宁高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()

a b c //+，

()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.

【答案】－3 【解析】

因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()

//a b c +，()

//b a c +，

()

,0a m b c m ∴=+≠， 1

c a b m

∴=

- ()

,0b n a c n ∴=+≠ 1

c b a n

∴=-

1

111m n ?=-??∴??-=??

，解得11m n =-??=-?

c xa yb =+

1x y ∴==- 23x y ∴+=-

故答案为：3-．

9．（2018·上海市七宝中学高三三模）设点O 在ABC ?的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD OE +=，则23OA OB OC ++=___________

【答案】2 【解析】

∵点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，∴2OA OC OD +=，2OB OC OE +=， ∴23OA OB OC ++=2()OA OC OB OC +++24222OD OE OD OE =+=+=．

故答案为：2．

10．（2020·上海高三专题练习）平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中α,β，R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为

【答案】250x y +-=

【解析】

因为OC OA OB αβ=+,且α+β=1，所以A,B,C 三点共线，

因此点C 的轨迹为直线AB:13

1(3)250.31

y x x y --=

-∴+-=+

11．（2020·上海高三专题练习）如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，

3CP PD =，2AP BP ?=，则AB AD ?的值是______________.

【答案】22 【解析】

13

()()()()44

AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ?=+?+=+?- 2

231

162AD AB AB AD =-

-?311

256413222.1622

AB AD AB AD AB AD =-?-?=-?=∴?=

12．（2020·上海高三专题练习）设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ?的面积与AOC ?的面积的比为 . 【答案】3 【解析】

分别取AC 、BC 的中点D 、E,

230OA OB OC ++=,

2()OA OC OB OC ∴+=-+,

即24OD OE =-,

O ∴是DE 的一个三等分点,

3ABC

AOC

S S ?∴

=, 故答案为:3.

13．（2020·上海高三其他）已知()

1212*,,,,

,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足

12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,

,i j k ==)，则k 的最大值为______

【答案】6 【解析】

根据条件不妨设()10,0a =，()20,1a =，(),j b x y =，

{}1,2i j a b -∈，

当2

2

111j a b x y -=?+=，表示圆心为原点，半径为1的圆，

22124j a b x y -=?+=，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示，

当()2

2

2111j a b x y -=?+-=，表示圆心为()1,0，半径为1的圆，

()2

22214j a b x y -=?+-=，表示圆心为()1,0，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色

线表示，

由条件可知点(),x y 既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即k 是最大值是6. 故答案为：6

14．（2020·上海高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(

,m =，

(sin ,cos )n x x =，(0,)2

x π

∈．

（1）若m n ⊥，求tan x 的值；

（2）若m 与n 的夹角为

3

π

，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512

π

． 【解析】

（1），m n ⊥，

，0m n ?=，

故

cos 022

x x -=， ，tan 1x =．

（2），m 与n 的夹角为

3

π

，

，2122cos ,112x x

m n m n m n ?<>===?||||

，

故1sin()42

x π

-=

， 又(0,

)2

x π

∈，，(,)4

44

x π

ππ

-

∈-

， 4

6

x π

π

∴-

=

，即512

x π=

． 故x 的值为

512

π．

15．（2020·上海闵行高三二模）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆2

2:12

x y Γ+=的上、

下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．

（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值;

（2）若3b =，且3

2

PD PC =

，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为1

3

？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

2π

（2）23

Q x =；（3）(0,3)P 【解析】

（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1）， 则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；

（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），

∵3

2

PD PC =

， ∴()()22113,3,32x y x y -=

-，即2121333,222

x x y y ==-， 而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2

212

x y +=上，

代入得()2211221122

9912

4

2x y x y ?+=?

?+-=??，解得1

79y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93

x x =

=， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，

联立211

y x y x =-??=-+?，解得2

3x =，

∴Q 点的横坐标为

23

； （3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），

联立22

22

y kx b x y =+??+=?，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0， 由△＝16k 2b 2

﹣8（2k 2

+1）（b 2

﹣1）＞0，得22

1

2

b k ->，

由1222

12242122

21kb x x k b x x k ?

+=-??+?-?=?+?

，可得()2121212b kx x x x b -=+， 直线BC 的方程为1111y y x x +=

-，直线AD 的方程为22

1

1y y x x -=+，

而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立1122

1

11

1y y x x y y x x +?=-??

?

-?=+??

，

得()()()()

()()

()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-=

=-++-++

＝()()()()12212211211

3

x x b x x b x x b x x b ++-==-++， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为

1

3

. 16．（2020·江苏镇江高三三模）已知动点P （x ，y ）满足|x ﹣1|+|y ﹣a |＝1，O 为坐标原点，

若PO

的最大值的取值范围为2?，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】][113322?

?

--????

?

，

，

． 【解析】

考虑|x ﹣1|+|y ﹣a |＝1的图象，如图，

x 必然是在0到2之间 x 取到0或2那么y 只能取a

x 在两者之间y 可以取两个值 x 取到1则y 可以取a +1或a ﹣1，

图象是（0，a ），（1，a ﹣1），（1，a +1），（2，a ）为端点的正方形，那么和O 最远的应该是最远的两个端点之一，

如果a ＞0就是（1，a +1）或（2，a ） 如果a ＜0就是（1，a ﹣1）或（2，a ） 这样一来，|PO |平方的最大值就是： 当a ＞0，（a +1）2+1或 a 2+4 当a ＜0，（a ﹣1）2+1或 a 2+4 比较它们的大小：

当a ≥1时，（a +1）2+1(

)

2

4220a a -+=-≥，则（a +1）2+1更大； 当0＜a ＜1时，（a +1）2+1-(a 2+4)220a =-<且当﹣1＜a ＜0时，

()

()

2

2114220a a a -+-+=--<，则当﹣1＜a ＜1时，a 2+4更大；

当a ≤﹣1时，()()

2

2

114220a a a -+-+=--≥，则（a -1）2+1更大；

作以上函数图象，再读出|PO |2取值范围为[

17

4

，17]，即有

()()22

217

1117,1134171417,1114217311117,14

a a a a a a a a a ?≤++≤≥?≤≤?????≤+≤-<

-≤≤-???≤-+≤≤-??

或112a ≤< 所以a 取值范围是][113322??

--?????

，

，

． 故答案为：][113322?

?

--?????

，

，

．